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第1课时　一次函数与二元一次方程(组)的关系
第12章　12.3　一次函数与二元一次方程
1.理解一次函数与二元一次方程的关系,会用其解决有关问题.(重点)
2.掌握一次函数与二元一次方程组的关系,能用图象法解二元一次方程组.(难点)
学习目标
1.一次函数与一元一次方程的关系
课堂引入
2.一次函数与一元一次不等式的关系
一、一次函数与二元一次方程的关系及应用
问题1　方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.
提示　方程x+y=5的解有无数个,如
问题2　等式x+y=5还可以看成一个一次函数,把它变成y=kx+b的形式是　　 　 .
y=-x+5
问题3　先画出y=-x+5的图象,再回答下面问题.
(1)以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？
提示　都在.
(2)在一次函数y=-x+5的图象上任取一点,点的坐标适合方程x+y=5吗？
提示　都适合.
(3)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
提示　相同.
知识梳理
一般地,一个二元一次方程可以转化成一次函数 (k,b为常数,且k≠0)的形式,所以每个二元一次方程都对应一个 函数,也对应一条_____.这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的 ；同样的,以这个二元一次方程的解为坐标的点也都在这条 上.
y=kx+b
一次
直线
解
直线
例1
　 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是
√
解析　对于二元一次方程x-2y=2,当x=0时,y=-1；当y=0时,x=2,故直线与两坐标轴的交点应该是(0,-1),(2,0).
反思感悟
直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y=0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x=0时y的值,注意数形结合.
　(1)(2025·广西南宁江南区质检)把方程x-3y=8写成y=kx+b的形式,正确的是
A.y=-+ B.y=-
C.y=- D.以上都不对
跟踪训练1
√
解析　x-3y=8,
所以3y=x-8,
所以y=-.
(2)若一次函数y=2x-4的图象上有一点的坐标是(　,2),则方程2x-y=4必有一
个解为　　　　.
解析　当y=2时,2x-4=2,解得x=3,
所以一次函数y=2x-4的图象上有一点的坐标是(3,2),
所以方程2x-y=4必有一个解为
3
二、一次函数与二元一次方程组的关系及应用
　 (课本P50例1)(1)在同一平面直角坐标系中,画出直线l1：y=-x+1与直线l2：y=2x+6；
例2
解　图象如图所示.
(2)如果直线l1与l2交于点P,写出点P的坐标；
解　由图可知,直线l1与l2交于点P,点P的坐标为(-2,2).
(3)说明点P的坐标是否为下面方程组的解.
解　方程x+2y=2可以转化成一次函数y=-x+1的形式,因此,直线l1：y=-x+1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解.同理,得直线l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,点P的坐标是二元一次方程组的解.
反思感悟
对于当a1∶a2≠b1∶b2时,两直线相交,故方程组有唯一解.
　 (课本P51例2)利用函数图象解方程组：
例3
解　对于方程①,有
x … 0 2 …
y … -2 3 …
过点A(0,-2)和B(2,3)画出方程①所对应的直线l：y=x-2.同样地,点A(0,-2)和B(2,3)也在方程②所对应的直线上.所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A和B两点的直线l,如图,就是说,这两条直线重合.
显然,直线l上每一个点的坐标都是方程组的解,所以方程组有无穷多组解.
反思感悟
对于当a1∶a2=b1∶b2=c1∶c2时,两直线重合,故方程组有无穷多组解.
　 (课本P51例3)利用函数图象解方程组：
例4
解　方程3x+2y=-2对应直线l1：y=-x-1.
方程6x+4y=4对应直线l2：y=-x+1.
作出直线l1和直线l2,如图,两条直线平行,故方程组无解.
反思感悟
对于当a1∶a2=b1∶b2≠c1∶c2时,两直线平行,故方程组无解.
　(1)二元一次方程2x-y=-1与x+2y=12所对应直线的交点坐标是
A.(-1,-1) B.(2,5)
C.(1,6) D.(-2,5)
跟踪训练2
√
解析　由题意得
解得
所以对应直线的交点坐标为(2,5).
(2)判断下列二元一次方程组解的情况,有唯一解的用图象法求出它的解.
解　因为1∶2≠(-1)∶(-1),
所以方程组有唯一解,
如图所示.
两函数图象交于(2,1),
因此方程组的解为
解　因为1∶2=(-1)∶(-2)=1∶2,
所以方程组有无数个解.
解　因为1∶2=(-1)∶(-2)≠1∶4,
所以方程组无解.
1.将一次函数y=3(x-2)+1写成y=kx+b的形式,则k与b的值分别为
A.k=3,b=1 B.k=-2,b=1
C.k=3,b=-5 D.k=3,b=-2
√
解析　y=3(x-2)+1=3x-6+1=3x-5,
所以k=3,b=-5.
2.两条直线y=2x-与y=-x+的图象交点坐标为　　　　.
解析　解方程组得
所以直线y=2x-与y=-x+的图象交点坐标为.
3.如图,直线l1：y=2x+1与直线l2：y=-x+4相交于点P(1,b),直线l1,l2与x轴分别交于A,B两点.
(1)求b的值,并结合图象写出关于x,y的方程组的解；
解　由条件可得b=2×1+1=3,
所以P(1,3),
所以方程组的解为
所以方程组的解为
(2)求三角形ABP的面积.
解　对于直线l1：y=2x+1,
令y=0,则2x+1=0,解得x=-
所以A
对于直线l2：y=-x+4,
令y=0,则-x+4=0,解得x=4,
所以B(4,0),所以AB=4-=
所以S三角形ABP=AB·yP=××3=.
本课结束

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