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浙江省杭州市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 杭州模拟）下列表达式中，x为自变量，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣2x2+x﹣1
C．y＝4﹣x3 D．
2．（3分）（2024春 崇明区期末）下列事件是确定事件的是（　　）
A．方程x3+27＝0有实数根
B．上海明天下雨
C．抛掷一枚硬币正面朝上
D．买一张体育彩票中大奖
3．（3分）如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则圆心角∠AOB等于（　　）
A．40° B．80° C．100° D．120°
4．（3分）（2022秋 余杭区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2﹣1，则（　　）
A．当x＝0时，y有最小值﹣1
B．当x＝1时，y有最小值﹣2
C．当x＝0时，y有最大值﹣1
D．当x＝1时，y有最大值﹣2
5．（3分）（2023秋 惠阳区校级期中）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．其他
6．（3分）（2024春 宁远县期中）在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（　　）
A．1.25 B．0.98 C．0.52 D．0.03
7．（3分）（2024秋 马鞍山期中）下列二次函数图象经过原点的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣3x
C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣x2﹣3x+1
8．（3分）（2023春 阜新期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转a，得到△AB′C″若点 E 恰好在线段BC的
延长线上，且∠ABC＝40°，则旋转角α的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．100°
9．（3分）（2024秋 江夏区校级月考）以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（　　）
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.9秒 D．第3.2秒
10．（3分）（2023秋 玉环市校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝6，EG＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．16 D．14
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 西安校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连接BD，∠BDC的度数为 　 　 .
12．（3分）小颖同学设置了五位数的手机开机密码，每个数位上的数字都是0～9这10个数字中的一个，粗心的小颖有一次忘记了密码的后三位数字，她尝试一次就能打开手机的概率是 　 　 ．
13．（3分）已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有 　 　 个．
14．（3分）已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为 　 　 ．
15．（3分）（2022 大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 　 　 （填写序号）．
16．（3分）（2023秋 临潼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AM⊥CB交CB延长线于点M，BA平分∠MBD，连接BD，若AM＝4，，则MC的长为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2020秋 台州期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（1，0），B（5，1），C（2，4）．
（1）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°所得的△AB1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，直接写出△BB1C1的外接圆圆心的坐标．
18．（6分）（2024 渭南二模）中央电视台大型文化节目《典籍里的中国》自播出以来，带动了社会上有关中华典籍传承与解读的热潮．九年级
（1）班同学对此深有感触，自主开展了“品读中华典籍 感悟传统文化”项目学习活动，班长根据中国古代典籍的四大部类（经、史、子、集），制作了四张背面完全相同的卡片，其正面内容如图所示，将卡片背面朝上洗匀后，学习委员先从四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，放回并洗匀，文艺委员再从四张卡片中随机抽取一张，两人分别以自己抽到的卡片正面内容为准，诵读一篇该部类的经典著作．
（1）学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为 　 　 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率．
19．（8分）（2023秋 官渡区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OD交BC于点H．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）已知DH＝2，BC＝8，求∠BAC正弦值．
20．（8分）（2022秋 萧山区期中）已知一个二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，2）和（1，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
21．（10分）（2024秋 无锡期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形．
（2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长．
22．（10分）（2023 深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m的解集为 　 　 ．
23．（12分）（2024春 海淀区校级月考）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2ax+1（a是常数）．
（1）当a＝2时，求函数图象的顶点坐标；
（2）若函数图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）已知函数图象经过点A（﹣4，y1），B（a+2，y2），点C（m，y3），若对于任意的5≤m≤8都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
24．（12分）（2022 南岗区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，D在⊙O上，连接CD、BD，CD交AB于点F，过点C作CE⊥DB于点E，CE＝DE，连接OE．
（1）如图1，求证：∠BOC＝90°；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于H，求证：HF＝DH；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EG∥AB交CD于点G，若点F为BH的中点，EG＝5，求线段DH的长．
浙江省杭州市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024 杭州模拟）下列表达式中，x为自变量，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣2x2+x﹣1
C．y＝4﹣x3 D．
【考点】二次函数的定义．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次函数的定义逐一判断解题即可．
【解答】解：A．y＝ax2+bx+c中，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意；
B．y＝﹣2x2+x﹣1，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
C．y＝4﹣x3，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；
D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数是解题的关键．
2．（3分）（2024春 崇明区期末）下列事件是确定事件的是（　　）
A．方程x3+27＝0有实数根
B．上海明天下雨
C．抛掷一枚硬币正面朝上
D．买一张体育彩票中大奖
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、方程x3+27＝0，解得x＝﹣3，有实数根，是确定事件，符合题意；
B、上海明天下午是不确定事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币正面朝上是不确定事件，不符合题意；
D、买一张体育彩票中大奖不确定事件，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查随机事件，掌握确定事件与不确定事件的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则圆心角∠AOB等于（　　）
A．40° B．80° C．100° D．120°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的性质可得：∠A＝∠B＝40°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（3分）（2022秋 余杭区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2﹣1，则（　　）
A．当x＝0时，y有最小值﹣1
B．当x＝1时，y有最小值﹣2
C．当x＝0时，y有最大值﹣1
D．当x＝1时，y有最大值﹣2
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣1，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1），
∴当x＝0时，y有最大值﹣1；
∴C正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．（3分）（2023秋 惠阳区校级期中）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．其他
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离2，根据点P在圆内 d＜r解答即可．
【解答】解：∵r＝3，OP＝2，
∴OP＜r，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；①点P在圆内 d＜r．
6．（3分）（2024春 宁远县期中）在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（　　）
A．1.25 B．0.98 C．0.52 D．0.03
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
【解答】解：由题意可知摸到白球的概率，
摸到白球的频率最有可能接近的数值为0.52，
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．
7．（3分）（2024秋 马鞍山期中）下列二次函数图象经过原点的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣3x
C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣x2﹣3x+1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】将x＝0分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案．
【解答】解：A、将x＝0代入y＝x2+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
B、将x＝0代入y＝x2﹣3x可得y＝0，故经过原点，符合题意；
C、将x＝0代入y＝（x+1）2可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
D、将x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）（2023春 阜新期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转a，得到△AB′C″若点 E 恰好在线段BC的
延长线上，且∠ABC＝40°，则旋转角α的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，∠BAB′＝α，
∴AB＝AB′，∠AB′B＝∠ABB′，
∵∠ABC＝40°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝40°，
∴∠BAB′＝α＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
9．（3分）（2024秋 江夏区校级月考）以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（　　）
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.9秒 D．第3.2秒
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由h＝at2+bt（a＜0），可知抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，由小球在第2秒与第4秒高度相等，可知抛物线的对称轴为直线，由|3﹣1.9|＞|3﹣2.2|＞|3﹣3.2|＞|3﹣2.9|，可知小球飞行高度最高的时间是第2.9秒，然后作答即可．
【解答】解：由抛物线的不只是知，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，
∵小球在第2秒与第4秒高度相等，
∴小球在第2秒与第4秒对应的点坐标关于抛物线的对称轴直线对称，
∵|3﹣1.9|＞|3﹣2.2|＞|3﹣3.2|＞|3﹣2.9|，
∴小球飞行高度最高的时间是第2.9秒，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（3分）（2023秋 玉环市校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝6，EG＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．16 D．14
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝4，
∴EF＝2，
∵AE＝ED＝6，
∴CF＝AF＝8，
∴AC＝16，EC＝10，
∴BC＝10，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝5，，
∴AM＝AC﹣CM＝11，
∴．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 西安校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连接BD，∠BDC的度数为 　36°　 .
【考点】多边形内角与外角．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】36°．
【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠ABC和∠C的度数，CB＝CD，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理可求出∠CBD的度数，从而可求出∠CDB的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴CB＝CD，∠C＝∠ABC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CBD36°，
∴∠CDB＝∠CBD＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求出∠ABC，∠C以及∠CBD的度数是解题的关键．
12．（3分）小颖同学设置了五位数的手机开机密码，每个数位上的数字都是0～9这10个数字中的一个，粗心的小颖有一次忘记了密码的后三位数字，她尝试一次就能打开手机的概率是 　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】首先应用乘法原理，求出密码的后三位数字一共有多少种情况；然后应用概率公式，求出她尝试一次就能打开手机的概率是多少即可．
【解答】解：1÷（10×10×10）
＝1÷1000
∴她尝试一次就能打开手机的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（3分）已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有 　2　 个．
【考点】确定圆的条件．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据圆的定义，经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，则利用AB的长可判断AB垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个，即可得答案．
【解答】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，
而AB＜4，
∴AB垂直平分线上点到点A和B的距离＝2的点有2个，
∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆的认识：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
14．（3分）已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为 　55°或125°　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】55°或125°．
【分析】分两种情况，一是点C与圆心O在直线AB的同侧，则∠ACB∠AOB＝55°；二是点C与圆心O在直线AB的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线AB的同侧，连接AD、BD，则∠D∠AOB＝55°，所以∠ACB＝180°﹣∠D＝125°，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点C与圆心O在直线AB的同侧时，如图1，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ACB∠AOB110°＝55°；
当点C与圆心O在直线AB的异侧时，如图2，
在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线AB的同侧，连接AD、BD，
∵∠D∠AOB＝55°，且∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠D＝180°﹣55°＝125°，
综上所述，∠ACB的度数为55°或125°，
故答案为：55°或125°．
【点评】此题重点考查圆周角定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据顶点C的不同位置正确地求出∠ACB的度数是解题的关键．
15．（3分）（2022 大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 　①②④　 （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】由于方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，则根据根与系数的关系得到﹣3+1，于是可对①进行判断；由x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根得到a+b+c＝1，则利用b＝c得到a＝﹣2c，所以方程cx2+bx+a＝0化为x2+x﹣2＝0，然后解方程可对②进行判断；由a+b＝c＝0得到b＝﹣（a+c），再计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣c）2≥0，然后根据根的判别式的意义可对③进行判断；根据二次函数的性质，由0＜a＜c得到抛物线开口向上，由于1，于是可判断点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，
∴﹣3+1，
∴b＝2a，所以①正确；
∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴a+b+c＝1，
当b＝c时，a+c+c＝0，
∴a＝﹣2c，
∴方程cx2+bx+a＝0化为cx2+cx﹣2c＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确；
∵a+b＝c＝0，
∴b＝﹣（a+c），
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵（a﹣c）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个的实数根，所以③错误；
∵0＜a＜c，
∴抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线x，
∵1，
而x1＜x2＜1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式、根与系数的关系和二次函数的性质．
16．（3分）（2023秋 临潼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AM⊥CB交CB延长线于点M，BA平分∠MBD，连接BD，若AM＝4，，则MC的长为 　4　 ．
【考点】圆内接四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】4．
【分析】连接AC，如图，先根据圆内接四边形的性质得到∠ABM＝∠ADC，再证明∠ACD＝∠ADC得到AC＝AD＝4，然后利用勾股定理计算MC的长．
【解答】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABM+∠ABC＝180°，
∴∠ABM＝∠ADC，
∵BA平分∠MBD
∴∠ABD＝∠ABM，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝4，
∵AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
在Rt△AMC中，MC4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（2020秋 台州期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（1，0），B（5，1），C（2，4）．
（1）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°所得的△AB1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在（1）的条件下，直接写出△BB1C1的外接圆圆心的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；三角形的外接圆与外心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析，（﹣3，1）；
（2）（1，0）．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1C1即可；
（2）由作图可知AB＝AC＝AC1，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求，C1（﹣3，1）；
（2）△BB1C1的外接圆圆心为点A，坐标为（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
18．（6分）（2024 渭南二模）中央电视台大型文化节目《典籍里的中国》自播出以来，带动了社会上有关中华典籍传承与解读的热潮．九年级
（1）班同学对此深有感触，自主开展了“品读中华典籍 感悟传统文化”项目学习活动，班长根据中国古代典籍的四大部类（经、史、子、集），制作了四张背面完全相同的卡片，其正面内容如图所示，将卡片背面朝上洗匀后，学习委员先从四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，放回并洗匀，文艺委员再从四张卡片中随机抽取一张，两人分别以自己抽到的卡片正面内容为准，诵读一篇该部类的经典著作．
（1）学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为 　　 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【解答】解：（1）∵有经、史、子、集四部著作，
∴学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为．
（2）将经、史、子、集依次记为A、B、C、D，画树状图如下：
∵由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的结果有4种，
∴学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率为：．
【点评】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
19．（8分）（2023秋 官渡区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OD交BC于点H．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）已知DH＝2，BC＝8，求∠BAC正弦值．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴，
∴OD⊥BC；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴∠OHB＝90°，BHBC＝4，
∴OH2+BH2＝OB2，
∴（OB﹣2）2+42＝OB2，
解得OB＝5，
∴sin∠BAC．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，垂径定理，弧长的计算，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
20．（8分）（2022秋 萧山区期中）已知一个二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，2）和（1，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+10；
（2）顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x＝3．
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）由题意得，
解这个方程组得，
所以所求二次函数的解析式是y＝x2﹣6x+10；
（2）y＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
所以顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x＝3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（10分）（2024秋 无锡期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图①，过点D作DG∥BC交AB于点G，求证：△GBD是等腰三角形．
（2）如图②，若AC＝8，BC＝6，求CD的长．
【考点】勾股定理；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）3．
【分析】（1）先根据BD是△ABC的角平分线得出∠ABD＝∠DBC，再由DG∥BC得出∠DBC＝∠BDG，故可得出∠BDG＝∠ABD，据此得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得出CD＝DE，故可得出Rt△BCD≌Rt△BED，故BE＝BC＝6，设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE，再利用勾股定理求出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DG∥BC，
∴∠DBC＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠ABD，
∴DG＝BG，即△GBD是等腰三角形；
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD是△ABC的角平分线．
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝6，
设CD＝x，则AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3．
【点评】本题考查的是勾股定理，角平分线的定义，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
22．（10分）（2023 深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　﹣2　 ，a＝　3　 ，b＝　4　 ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m的解集为 　x＜0或x＞4．　 ．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）﹣2，3，4；
（2）见解析；
（3）x＜0或x＞4．
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【解答】解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，
∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，
解得：m＝﹣2，
∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；
当x＝1时，y＝3；
当x＝4时，y＝4；
∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m的解集，
实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，
故答案为：x＜0或x＞4．
【点评】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
23．（12分）（2024春 海淀区校级月考）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2ax+1（a是常数）．
（1）当a＝2时，求函数图象的顶点坐标；
（2）若函数图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）已知函数图象经过点A（﹣4，y1），B（a+2，y2），点C（m，y3），若对于任意的5≤m≤8都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（2，﹣3）；
（2）证明见解析；
（3）2＜a＜3或a＞10．
【分析】（1）当a＝2时，代入函数解析式，进而可求顶点坐标即可；
（2）将点（1，p），（﹣1，q），代入y＝x2﹣2mx+1得，p＝2﹣2m，q＝2+2m，则pq＝（2﹣2m）（2+2m）＝4﹣4m2≤4，进而结论得证；
（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝a，则B（a+2，y2）在对称轴右侧，由对于任意的5≤m≤8都满足y1＞y3＞y2，则点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及y1＞y3＞y2，列不等式求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质分别求解满足要求的解集即可．
【解答】（1）解：当a＝2时，函数解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）；
（2）证明：∵函数图象经过点（1，p），（﹣1，q），
∴p＝1﹣2a+1＝2﹣2a，q＝1+2a+1＝2+2a．
∴pq＝（2﹣2a）（2+2a）＝4（1﹣a2），
∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∵1﹣a2≤1，
∴pq≤4；
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝a，则B（a+2，y2）在对称轴右侧，
∵对于任意的5≤m≤8都满足y1＞y3＞y2，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当﹣4＜a+2＜m时，，
∴，且5≤m≤8，解得2＜a＜3；
情况2，如图2，
当﹣4＜m＜a+2时，．
∴，
∴a＞m+2，且5≤m≤8，
解得a＞10，
综上所述，2＜a＜3或a＞10．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．
24．（12分）（2022 南岗区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，D在⊙O上，连接CD、BD，CD交AB于点F，过点C作CE⊥DB于点E，CE＝DE，连接OE．
（1）如图1，求证：∠BOC＝90°；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于H，求证：HF＝DH；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EG∥AB交CD于点G，若点F为BH的中点，EG＝5，求线段DH的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）先证明△DCE为等腰直角三角形，得出∠CDE＝45°，根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠CDB＝90°；
（2）连接OD，根据切线的性质得出∠HDO＝90°，即∠HDF+∠CDO＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCD，，利用同角的余角性质得出∠HDF＝∠OFC＝∠HFD，即可得证；
（3）连接AD，先证△CEO≌△DEO（SSS），再证△GDE≌△PED（ASA），得出GE＝OD＝5，根据HD＝FH，点F为BH的中点，得出HD＝HF＝BF，设HD＝x，最后证明△AHD∽△BHD，得出，即，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥DB，CE＝DE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵∠CDB与∠COB是弧BC所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOC＝2∠CDB＝90°；
（2）证明：连接OD，
∵HD为⊙O的切线，
∴∠HDO＝90°，即∠HDF+∠CDO＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠COB＝90°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∴∠HDF＝∠OFC＝∠HFD，
∴DH＝HF；
（3）解：连接AD，
在△CEO与△DEO中，
OC＝OD，EO＝EO，CE＝DE，
∴△CEO≌△DEO（SSS），
∴∠DEO＝∠CEO，
∵∠GDE＝45°＝∠OED，OD＝OB，
∴∠ODE＝∠OBD，
∵GE∥FB，
∴∠GED＝∠OBD＝∠ODE，
∵DE＝ED，
∴△GDE≌△PED（ASA），
∴GE＝OD＝5，
∵HD＝HF＝BF，
设HD＝2x，
∴BH＝2x，
∵AB＝2OD＝10，
∴HA＝2x﹣10，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠ADO＝90°﹣∠OAD﹣∠ABD，
∵∠DHA＝∠BHD，
∴△AHD∽△BHD，
∴，
即，
∴x，
经检验，x符合题意，
∴线段DH的长为．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上各定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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