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浙江省杭州市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 临川区校级期中）若4x﹣3y＝0，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2023 合江县校级开学）张亮、王丽、李萍三人各有一只大小、形状、材质完全相同的玩具熊，只是颜色各不相同．把这三只玩具熊放到一个袋子中，每人任意摸出一只．下列描述正确的是（　　）
A．张亮一定能摸到自己的玩具熊
B．王丽一定能摸到别人的玩具熊
C．李萍不可能摸到自己的玩具熊
D．李萍可能摸到张亮的玩具熊
3．（3分）（2024秋 新昌县期末）抛物线y＝x2﹣2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣5
4．（3分）（2023 临邑县校级开学）在一个比例尺是200：1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（　　）
A．4米 B．1米 C．0.1毫米 D．0.4毫米
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ccosB
6．（3分）（2025 双柏县一模）如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则AC的长度为（　　）
A．2 B．6 C．3 D．4
7．（3分）（2024秋 临泉县月考）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2与抛物线的相同点是（　　）
A．对称轴相同 B．顶点相同
C．顶点都在x轴上 D．形状相同
8．（3分）如图，AB是斜靠在墙上的一架梯子，梯子的下端B距墙脚C处1.4m，D是梯子上的一点，若BD＝0.5m，点D距离墙面1.2m，则梯子的长度是（　　）
A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2m
9．（3分）（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
10．（3分）（2024 亭湖区三模）已知y1，y2均为关于x函数，当x＝a时，函数值分别为b1，b2，若0＜a＜1时，都有0＜|b1﹣b2|＜1，则称y1，y2为“复兴”函数，则以下函数是“复兴”函数的是（　　）
A．， B．，y2＝2x﹣1
C．， D．，y2＝2x﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 湘潭县月考）已知α为锐角，且tanα＝1，则α＝　 　 ．
12．（3分）（2024春 南京期末）下面是“抛掷图钉试验”获得的数据：
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 427 488
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.61 0.61
据此，可以估计“钉尖不着地”的概率为 　 　 ．
13．（3分）（2024 凤城市一模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 　 　 ．
14．（3分）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛到目标的距离OF为200m，若射击时，由于抖动导致目标偏离了25cm，射击到点D处，已知AB∥FD，则视线偏离准星（即BE长） 　 　 mm．
15．（3分）（2023秋 上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．
x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 …
y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n …
则方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　 ，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　 ．
16．（3分）（2025春 埇桥区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E，F分别是AB，BC上一点，将△ADE沿着直线DE对叠得到△HDE，再将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在线段EH上，落点为点G，连接DG．
（1）∠DEF＝ 　 　 °；
（2）若，则tan∠GDH的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023 宿迁模拟）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
18．（8分）（2024 雁塔区校级三模）某校一年一度的英语风采大赛总决赛即将举行，现需从七、八年级遴选2名主持人．七年级推荐了1名女生和2名男生，八年级推荐了2名女生和1名男生．
（1）若从推荐的女生中，随机选一人，则来自七年级的概率是 　 　 ；
（2）若从七、八年级分别随机选一位主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好是一男一女的概率．
19．（8分）（2024秋 海门区校级期末）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
20．（8分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
（1）已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点（2，8）；
（2）已知图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2），且图象经过点（1，10）．
21．（8分）（2023秋 拱墅区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F．
（1）求证：AE CE＝AC EF；
（2）若AB＝2，求AF的值．
22．（10分）（2022秋 盐湖区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB上一点，AE＝2，点F是BC上一动点，连接BD，EF，BD与EF交于点G．
（1）如图1，若点G是EF的中点时，求证：△BEF∽△CDB；
（2）如图2，当△BEF∽△CBD时，求BG的长．
23．（10分）（2022秋 玄武区期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣3），B（2，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象与x轴交于C、D两点，则△ACD的面积为 　 　 ；
（3）将该二次函数图象向上平移 　 　 个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
24．（12分）（2024 江岸区校级开学）[基础巩固]（1）如图1，在△ABC中，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝∠A．求证：AC BF＝AD BD；
[尝试应用]（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝60°，若AC＝16，BF＝9，求线段CF的长；
[拓展提高]（3）在△ABC中，AB＝4，∠CAB＝45°，以B为直角顶点作等腰直角△ADE，点D在线段AC上，点E在线段BC上．若CE＝2，直接写出CD＝　 　 ．
浙江省杭州市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 临川区校级期中）若4x﹣3y＝0，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据条件得到：4x＝3y，则，代入到代数式化简即可得出答案．
【解答】解：∵4x﹣3y＝0，x≠0，
∴，y≠0，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y表示x是解题关键．
2．（3分）（2023 合江县校级开学）张亮、王丽、李萍三人各有一只大小、形状、材质完全相同的玩具熊，只是颜色各不相同．把这三只玩具熊放到一个袋子中，每人任意摸出一只．下列描述正确的是（　　）
A．张亮一定能摸到自己的玩具熊
B．王丽一定能摸到别人的玩具熊
C．李萍不可能摸到自己的玩具熊
D．李萍可能摸到张亮的玩具熊
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、张亮不一定能摸到自己的玩具熊，故本选项描述不正确，不符合题意；
B、王丽不一定能摸到别人的玩具熊，故本选项描述不正确，不符合题意；
C、李萍可能摸到自己的玩具熊，故本选项描述不正确，不符合题意；
D、李萍可能摸到张亮的玩具熊，描述不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2024秋 新昌县期末）抛物线y＝x2﹣2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣5
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2先向左平移1一个单位得到解析式：y＝（x+1）2﹣2再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（3分）（2023 临邑县校级开学）在一个比例尺是200：1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（　　）
A．4米 B．1米 C．0.1毫米 D．0.4毫米
【考点】比例尺．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”计算即可，注意单位换算．
【解答】解：2÷200＝0.01厘米＝0.1毫米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例尺和有理数的除法，正确列出算式、掌握运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ccosB
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA；据此逐项判断即可．
【解答】解：sinB，那么c，则A不符合题意；
sinB，那么b＝csinB，则B符合题意；
tanB，那么a，则C不符合题意；
cosB，那么a＝ccosB，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（3分）（2025 双柏县一模）如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则AC的长度为（　　）
A．2 B．6 C．3 D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，
∴，
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
7．（3分）（2024秋 临泉县月考）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2与抛物线的相同点是（　　）
A．对称轴相同 B．顶点相同
C．顶点都在x轴上 D．形状相同
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据抛物线的解析式确定抛物线的对称轴，开口方向，顶点坐标，两抛物线的形状，即可得到答案．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，顶点为（4，0）
∴的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），
两条抛物线的a值不相等，故形状不同，
∴两个抛物线的顶点都在x轴上．
故选：C．
【点评】此题考查了 抛物线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）如图，AB是斜靠在墙上的一架梯子，梯子的下端B距墙脚C处1.4m，D是梯子上的一点，若BD＝0.5m，点D距离墙面1.2m，则梯子的长度是（　　）
A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2m
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】证明△AED∽△ACB，得，再求出AB的长度即可．
【解答】解：由题意可知，BC＝1.4m，DE＝1.2m，BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即，
解得：AB＝3.5（m），
即梯子的长度是3.5m，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（3分）（2023 东阳市三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【考点】解直角三角形；点到直线的距离．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC，通过三角形内角和定理求出∠B的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到BC的距离．
【解答】解：过点作AD⊥BC，垂足为D，
在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ADB中，sin50°，
∴AD＝60sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．
10．（3分）（2024 亭湖区三模）已知y1，y2均为关于x函数，当x＝a时，函数值分别为b1，b2，若0＜a＜1时，都有0＜|b1﹣b2|＜1，则称y1，y2为“复兴”函数，则以下函数是“复兴”函数的是（　　）
A．， B．，y2＝2x﹣1
C．， D．，y2＝2x﹣1
【考点】函数值；函数的概念．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】结合题意，根据二次函数、反比例函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得了答案．
【解答】解：（1）A选项，
∵y1＝x2+1，y2，
∴|y1﹣y2|＝|x2+1|，
当0＜x＜1时，1，且x2+1＞1，
∴|y1﹣y2|＝x2+11，
即此选项不合题意；
（2）B选项，
∵y1＝x2+1，y2＝2x﹣1，
∴|y1﹣y2|＝|x2+1﹣（2x﹣1）|
＝（x﹣1）2+1，
当0＜x＜1时，（x﹣1）2+1＞1，
即此选项不合题意；
（3）C选项，
∵y1＝x2﹣1，y2，
∴|y1﹣y2|＝|x2﹣1﹣（）|
＝|x21|，
当x时，x211，
即此选项不合题意；
（4）D选项，
∵y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1，
∴|y1﹣y2|＝|x2﹣1﹣（2x﹣1）|
＝|x2﹣2x|，
当0＜x＜1时，﹣1＜x2﹣2x＜0，
∴0＜|y1﹣y2|＜1，
即此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式，二次函数、反比例函数的智识，解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图象的性质，从而完成求解．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 湘潭县月考）已知α为锐角，且tanα＝1，则α＝　45°　 ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；数感．
【答案】45°．
【分析】由特殊角的正切值，即可得到答案．
【解答】解：∵α为锐角，且tanα＝1，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值．
12．（3分）（2024春 南京期末）下面是“抛掷图钉试验”获得的数据：
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 427 488
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.61 0.61
据此，可以估计“钉尖不着地”的概率为 　0.61　 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.61．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答即可．
【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近，
所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61，
故答案为：0.61．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
13．（3分）（2024 凤城市一模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】网格型；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由网格可得BC＝1，AD＝2，AC5，BC∥AD，所以△OBC∽△ODA，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：由网格可知：BC＝1，AD＝2，AC5，BC∥AD，
∴△OBC∽△ODA，
∴，
∴，
∴AO，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△OBC∽△ODA．
14．（3分）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛到目标的距离OF为200m，若射击时，由于抖动导致目标偏离了25cm，射击到点D处，已知AB∥FD，则视线偏离准星（即BE长） 　1　 mm．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】1．
【分析】先统一单位，OE＝80cm＝800mm，OF＝200m＝200000mm，DF＝25cm＝250mm，再证明△BOE∽△DOF，得，求得BE＝1mm，于是得到问题的答案．
【解答】解：根据题意得OE＝80cm＝800mm，OF＝200m＝200000mm，DF＝25cm＝250mm，
∵AB∥FD，点E在AB上，
∴BE∥DF，
∴△BOE∽△DOF，
∴，
∴BE1（mm），
∴视线偏离准星1mm，
故答案为：1．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△BOE∽△DOF是解题的关键．
15．（3分）（2023秋 上城区校级期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值．
x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 …
y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n …
则方程ax2+bx+c＝m的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1　 ，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　x＜﹣6或x＞2　 ．
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力．
【答案】x＝﹣3或x＝﹣1，x＜﹣6或x＞2．
【分析】根据函数与方程及不等式的关系求解．
【解答】解：∵当x＝﹣5时，y＝﹣2.79，当x＝1时，y＝﹣2.79，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2．
∵当x＝﹣3时，y＝m，
∴当x＝﹣1时，y＝m．
∴方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1．
∵当x＝2时，y＝0，
∴当x＝﹣6时，y＝0．
∵当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0．
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣6或x＞2．
故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1；x＜﹣6或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16．（3分）（2025春 埇桥区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E，F分别是AB，BC上一点，将△ADE沿着直线DE对叠得到△HDE，再将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在线段EH上，落点为点G，连接DG．
（1）∠DEF＝ 　90　 °；
（2）若，则tan∠GDH的值为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由翻折变换的性质可知∠DEA＝∠DEH，∠FEB＝∠FEG，再根据平角的定义求解；
（2）设AE＝EH＝x，则BE＝5﹣x．证明△DAE∽△EBF，推出，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）由翻折变换的性质可知∠DEA＝∠DEH，∠FEB＝∠FEG，
∴2∠DEH+2∠FEG＝180°，
∴∠DEH+∠FEG＝90°，
∴∠DEF＝90°．
故答案为：90；
（2）设AE＝EH＝x，则BE＝5﹣x．
∵∠A＝∠B＝∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠ADE＝∠FEB，
∴△DAE∽△EBF，
∴，
∴，
解得x＝2或3．
经检验x＝2不符合题意舍去，x＝3是分式方程的解，
∴AE＝EH＝3，BE＝EG＝2，
∴GH＝EH﹣EG＝3﹣2＝1，
∴tan∠GDH．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023 宿迁模拟）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤z≤15）；
（2）当x＝12时，年利润W最大，最大值为49．
【分析】（1）根据题意设
y
与
x
的函数关系式为：y＝kx+bkx+b，将点（5，30），（15，10）代入求解即可得；
（2）根据题意及函数图象可得，需要分两部分进行讨论分析：当5≤x≤10时，根据图象可得：
P
＝60；当10≤x≤15时，Px2﹣4x+75；利用利润列出函数解析式，再将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把x＝5时，y＝30，x＝15时，y＝10代入，
得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤x≤15）；
（2）由题意知，当5≤x≤10时，P＝60，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣60＝﹣2x2+50x﹣260＝﹣2（x）2，
∵﹣2＜0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，Px2﹣4x+m．
把x＝10时，P＝60代入Px2﹣4x+m得，
60102﹣4×10+m，
解得：m＝75，
∴Px2﹣4x+75，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣（x2﹣4x+75）x2+54x﹣275（x﹣12）2+49，
∵0，10≤x≤15，
∴当x＝12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x＝12时，年利润W最大，最大值为49．
【点评】本题主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
18．（8分）（2024 雁塔区校级三模）某校一年一度的英语风采大赛总决赛即将举行，现需从七、八年级遴选2名主持人．七年级推荐了1名女生和2名男生，八年级推荐了2名女生和1名男生．
（1）若从推荐的女生中，随机选一人，则来自七年级的概率是 　　 ；
（2）若从七、八年级分别随机选一位主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好是一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，七年级推荐了1名女生，八年级推荐了2名女生，
∴从推荐的女生中随机选一人，来自七年级的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
女 女 男
女 （女，女） （女，女） （女，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男）
男 （男，女） （男，女） （男，男）
共有9种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有5种，
∴恰好是一男一女的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（8分）（2024秋 海门区校级期末）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，
∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，
∴AB＝2BO＝2×38＝76m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，
∴，
∴，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
20．（8分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
（1）已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点（2，8）；
（2）已知图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2），且图象经过点（1，10）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝2x2；（2）y＝3（x+1）2﹣2．
【分析】（1）依据题意，设所求二次函数表达式为y＝ax2，再将（2，8）代入计算可以得解；
（2）依据题意，设所求二次函数表达式为y＝a（x+1）2﹣2，再将（1，10）代入计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，设所求二次函数表达式为y＝ax2，
又图象过（2，8），
∴8＝a×22．
∴a＝2．
∴所求二次函数表达式为y＝2x2．
（2）由题意，设所求二次函数表达式为y＝a（x+1）2﹣2，
又该图象经过点（1，10），
∴10＝a（1+1）2﹣2．
∴a＝3．
∴所求二次函数表达式为y＝3（x+1）2﹣2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用顶点式是关键．
21．（8分）（2023秋 拱墅区月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F．
（1）求证：AE CE＝AC EF；
（2）若AB＝2，求AF的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）由AB＝AC得出∠B＝∠ACB，结合题意即可得出△AEF∽△ACE即可得证；
（2）过点E作EH⊥DC，根据等腰三角形的性质得出，AD∥EH，进而得出△ABD∽△EBH，根据相似比即可求出AE，再利用△AEF∽△ACE的对应边成比例即可求出AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠AEF＝∠ACB+∠ECA，
∴∠AEF＝∠ECA，
∵∠EAF＝∠CAE，
∴△AEF∽△ACE，
∴，
∴AE CE＝AC EF；
（2）解：过点E作EH⊥DC，如图：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴ED＝EC，
∴EH⊥DC，DH＝CHCD，
∴，AD∥EH，
∴△ABD∽△EBH，
∴，
∵AB＝2，
∴BE＝3，
∴AE＝1，
∵△AEF∽△ACE，
∴，
∴AF．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
22．（10分）（2022秋 盐湖区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB上一点，AE＝2，点F是BC上一动点，连接BD，EF，BD与EF交于点G．
（1）如图1，若点G是EF的中点时，求证：△BEF∽△CDB；
（2）如图2，当△BEF∽△CBD时，求BG的长．
【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半得出BG＝GF，从而∴∠BFG＝∠FBG，结合∵∠EBF＝∠BCD＝90°，可证∴△BEF∽△CDB；
（2）先证明∴∠BGE＝90°，由勾股定理求出BD＝5，再由相似三角形的性质求出，，然后利用等面积法即可求解．．
【解答】（1）证明：∵点G是EF的中点时，
∴BG＝GF，
∴∠BFG＝∠FBG，
∵∠EBF＝∠BCD＝90°，
∴△BEF∽△CDB；
（2）解：∵△BEF∽△CBD，
∴∠BEF＝∠CBD，
∵∠EBG+∠CBD＝90°，
∴∠BEF＝∠EBG＝90°，
∴∠BGE＝90°．
∵AB＝3，AE＝2，
∴BE＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝5．
∵△BEF∽△CBD，
∴，
∴，，
∵，
∴．
解法2：∵△BEF∽△CBD，
∴∠BEF＝∠CBD，
∵∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠BEF+∠ABD＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∵AE＝2，AB＝3，
∴BE＝1，
∵△BEF∽△CBD，
∴，
∴BF，EF，
∵S△BEFBE EF，
∴BG．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
23．（10分）（2022秋 玄武区期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣3），B（2，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）该二次函数图象与x轴交于C、D两点，则△ACD的面积为 　6　 ；
（3）将该二次函数图象向上平移 　3或4　 个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）6；
（3）3或4．
【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝x2+bx+c，然后解关于b、c的方程组即可；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解方程求得C、D的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；
（3）平移后所得抛物线恰好与坐标轴有两个公共点（抛物线开口向上，即与x轴有一个交点），抛物线经过原点或顶点的纵坐标为0．
【解答】解：（1）依题意，得，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），D（3，0），
∴CD＝4，
∴△ACD的面积为6，
故答案为：6；
（3）当抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过原点时，恰好与坐标轴有两个公共点，
∴该二次函数图象向上平移3个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴开口向上，顶点为（1，﹣4），
∴该二次函数图象向上平移4个单位长度，恰好与坐标轴有两个公共点．
故答案为：3或4．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确题意得到新抛物线的顶点纵坐标为0是解决本题的关键．
24．（12分）（2024 江岸区校级开学）[基础巩固]（1）如图1，在△ABC中，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝∠A．求证：AC BF＝AD BD；
[尝试应用]（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝60°，若AC＝16，BF＝9，求线段CF的长；
[拓展提高]（3）在△ABC中，AB＝4，∠CAB＝45°，以B为直角顶点作等腰直角△ADE，点D在线段AC上，点E在线段BC上．若CE＝2，直接写出CD＝　　 ．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）13；
（3）．
【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明△ACD∽△BDF，得即可得证；
（2）如图2中，延长AC交BF的延长线于点T．过C作CM⊥BT于点M．证明△ACD∽△BDF，推出，求出AD，求出CT、FC、CM、MF，再利用勾股定理求解；
（3）过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，由（1）同理得△BAD∽△DFE，可知，再利用△EFC∽△DEC，可得答案；
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠A＝∠CDF，∠A+∠ACD＝∠CDF+∠BDF，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∴AC BF＝AD BD；
（2）解：如图2中，延长AC交BF的延长线于点T，过C作CM⊥BT于点M．
∵∠A＝∠B＝∠CDF＝60°，CM⊥BT
∴∠T＝60°，TA＝TB＝AB，∠TCM＝90°﹣60°＝30°，
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠BDF，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∵AD＝DB，
∴，
∴AD＝12，
∴AB＝2AD＝24，
∴TA＝TB＝24，
∴CT＝24﹣16＝8，TF＝24﹣9＝15，
∵∠TCM＝90°﹣60°＝30°，CM⊥BT，
∴TM，
在直角三角形CTM中，由勾股定理得：CM，
∴MF＝TF﹣TM＝15﹣4＝11，
在直角三角形CMF中，由勾股定理得：；
（3）解：CD．理由如下：
如图，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，
∵∠A＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△BAD∽△DFE，
∴，
∵，，
∴，
∵∠EFD＝45°，∠BED＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∵，
∴EC2＝FC CD＝FC×（8+FC），
∴24＝FC×（8+FC），
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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