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重庆市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2025春 北碚区校级月考）下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B．0.12122 C． D．
2．（4分）（2022秋 永城市月考）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）（2024 永善县二模）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝75°，则∠4的度数是（　　）
A．75° B．95° C．105° D．115°
4．（4分）（2024 凉州区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）（2025 祁阳市校级模拟）下列选项中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）（2024秋 重庆月考）下列命题中：
①直径是弦；
②经过三个点可以确定一个圆；
③三角形的外心到三角形三边的距离相等；
④平分弦的直径垂直于这条弦；
⑤弦的垂直平分线经过圆心；
⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（4分）（2025 盐山县校级模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．48（1+x）＝150 B．48（1+x）2＝150
C．48（1﹣x）2＝150 D．48（1+x）3＝150
8．（4分）（2024秋 无锡期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　）
A．BC＝AB B． C．OD⊥AB D．AC＝CD
9．（4分）（2024秋 上犹县期中）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②3a+c＝0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（4分）（2024秋 徐汇区校级月考）下列数是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分36分）
11．（4分）计算：（π﹣3.14）0　 　 ．
12．（4分）（2025春 乾县校级期末）如图，已知∠MON，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，若∠OAE＝3∠DEN，则∠DEN的度数是　 　 ．
13．（4分）（2024秋 合江县期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x|m|﹣3x+7＝0，则m的值是　 　 ．
14．（4分）（2023秋 蓬江区校级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，点E在上，则∠E＝ 　 　 ．
15．（4分）（2024秋 涵江区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3，当0≤x≤3时，y的取值范围是　 　 ．
16．（4分）（2024春 九龙坡区校级期中）若关于x的方程的解为整数，且关于y的不等式组有解且最多有四个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 　 　 ．
17．（4分）如图，将Rt△ABC的BC边沿着斜边上的中线CD折叠到CF，连接AF、BF．
（1）求证：∠AFB＝90°．
（2）若AC＝8，BC＝15，直接写出AF＝　 　 ．
18．（8分）（2023 北碚区自主招生）对于一个四位数n，其各个数位上的数字都不为0，若n的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n为“等和数”．将“等和数”n的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”n′，记F（n），G（n）．例如n＝1342，n′＝4213，F（1342）55，G（1342）29．计算F（5236）﹣G（5236）＝　 　 ；当，均是整数时，n的最大值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2024 双台子区校级开学）（1）计算：5a3b （﹣3b）2+（﹣6ab）2 （﹣ab）﹣ab3 （﹣4a）2；
（2）化简：．
20．（2023 潼南区一模）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，若CE＝AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌　 　 （ASA），
∴AC＝　 　 ，
∵∠CBF＝∠ACB，
∴AC∥　 　 ．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵　 　 ，
∴平行四边形ABEC是菱形．
21．（2023春 开州区期末）今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“贯彻总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养，夯实以新安全格局保障新发展格局的社会基础”．某中学开展了国家安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用x表示，共分成四组：A.60≤x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：75，69，82，88，92，73，93，81，82，95．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在C组的数据是：86，83，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 82 b
八年级 83 a 95
（1）直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条理由）
（3）若七年级有700人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的约有多少人？
22．（2024春 浙江期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现．受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
23．（2024 城关区校级一模）如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC＝2m，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°．
（1）求旗杆AB部分的长．
（2）求钢丝的总长度．（结果保留根号）
24．（2024秋 衡阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上一点，连接BD，点E，F在AB边上，AC＝AF，连接CF，DE，CF交BD于点G，DB平分∠CDE，∠AFC＝∠BDE．
（1）如图①，当AC＝BC时，求证：DE⊥AB；
（2）如图②，当时，求；
（3）若AE＝12，CD＝5，请求出AB的长．
25．（2024秋 徐州校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求出此时点E的坐标，并求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2023秋 恩平市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝　 　 ，FC＝　 　 ；（用含x的代数式表示）
（2）若△PEF的面积为S，求S与x的函数关系及△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
重庆市2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟测试练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2025春 北碚区校级月考）下列四个数中，是无理数的是（　　）
A． B．0.12122 C． D．
【考点】无理数；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：根据无理数的定义逐项分析判断如下：
A．，是有理数，故该选项不符合题意；
B．0.12122是有理数，故该选项不符合题意；
C．是无理数，故该选项符合题意；
D．是有理数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，熟练掌握概念是根据．
2．（4分）（2022秋 永城市月考）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形定义解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（4分）（2024 永善县二模）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝75°，则∠4的度数是（　　）
A．75° B．95° C．105° D．115°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，由∠1+∠2＝180°，可得a∥b，则∠5＝∠3＝75°，根据∠4＝180°﹣∠5，计算求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∴∠5＝∠3＝75°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键．
4．（4分）（2024 凉州区三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质．
【专题】数形结合；推理能力．
【答案】B
【分析】过点O作AC的垂线，借助于相似三角形可求出CE和GE的长，据此可解决问题．
【解答】解：过点O作AC的垂线，垂足为M，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
又∵点O为BC的中点，
∴OC＝OB＝4，
则cos∠ACB，
∴，
则CM，
又由旋转可知，
FE＝CB＝8，∠ACB＝∠DFE，EO＝OB＝4，
又∵∠FEG＝∠CEO，
∴△EGF∽△EOC，
∴，
则，
∴EG＝5，
∴CG＝CE﹣EG．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
5．（4分）（2025 祁阳市校级模拟）下列选项中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
5和不能合并，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（4分）（2024秋 重庆月考）下列命题中：
①直径是弦；
②经过三个点可以确定一个圆；
③三角形的外心到三角形三边的距离相等；
④平分弦的直径垂直于这条弦；
⑤弦的垂直平分线经过圆心；
⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】命题与定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；圆的认识；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】利用弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．
【解答】解：①直径是弦，是真命题；
②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原命题是假命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
⑤弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；
⑥在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
综上所述，正确的有①⑤，共2个，
故选：A．
【点评】此题考查了弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理等，命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．
7．（4分）（2025 盐山县校级模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．48（1+x）＝150 B．48（1+x）2＝150
C．48（1﹣x）2＝150 D．48（1+x）3＝150
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
48（1+x）2＝150，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．（4分）（2024秋 无锡期中）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　）
A．BC＝AB B． C．OD⊥AB D．AC＝CD
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质、圆周角定理、垂径定理等知识判断求解即可．
【解答】解：过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，
∴AC＝CD'＝CD，
故D不符合题意；
∵AC＝CD'，
∴，
由折叠得：，
∴，
故B不符合题意；
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
故C不符合题意；
根据题意，无法证明BC＝AB，
故A符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、折叠的性质等知识，熟记折叠的性质、圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
9．（4分）（2024秋 上犹县期中）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②3a+c＝0；③若（﹣2，y1）与是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴1，
∴b＝2a＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线开口向下，
∴（﹣2，y1）关于对称轴直线x＝﹣1对称得点为（0，y1）
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝aa，
∵a＜0，
∴当x时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
10．（4分）（2024秋 徐汇区校级月考）下列数是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【考点】实数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，有理数是有限循环小数，由此即可求解．
【解答】解：A、π不是有理数，不符合题意；
B、是开不尽方的数，不是有理数，不符合题意；
C、不是有理数，不符合题意；
D、是分数，属于有理数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的分类，正确记忆相关知识点是解题关键．
二．填空题（共8小题，满分36分）
11．（4分）计算：（π﹣3.14）0　　 ．
【考点】负整数指数幂；有理数的加法；有理数的乘方；零指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝1
．
故答案为：．
【点评】本题考查零指数幂，负整数指数幂以及有理数的乘方，掌握零指数幂，负整数指数幂以及有理数的乘方的计算方法是正确解答的关键．
12．（4分）（2025春 乾县校级期末）如图，已知∠MON，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，若∠OAE＝3∠DEN，则∠DEN的度数是　24°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】24°．
【分析】根据正五边形的性质求出它的外角∠OAE的度数即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∠OAE是它的一个外角，
∴∠OAE72°，
又∵∠OAE＝3∠DEN，
∴∠DEN24°，
故答案为：24°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形的性质以及正五边形一个外角的度数是正确解答的关键．
13．（4分）（2024秋 合江县期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x|m|﹣3x+7＝0，则m的值是　﹣2　 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，列式计算判，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【解答】解：由条件可知m﹣2≠0，|m|＝2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
14．（4分）（2023秋 蓬江区校级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，点E在上，则∠E＝ 　126°　 ．
【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝108°，得∠BAD＝180°﹣∠C＝72°，又AB＝AD，可得∠ADB＝∠ABD（180°﹣∠BAD）＝54°，故∠E＝180°﹣∠ADB＝126°．
【解答】解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝108°，
∴∠BAD＝180°﹣∠C＝72°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD（180°﹣∠BAD）（180°﹣72°）＝54°，
∵四边形AEBD是⊙O的内接四边形，
∴∠E＝180°﹣∠ADB＝180°﹣54°＝126°；
故答案为：126°．
【点评】本题考查圆内接四边形性质和等腰三角形性质，解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补．
15．（4分）（2024秋 涵江区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3，当0≤x≤3时，y的取值范围是　﹣5≤y≤3　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣5≤y≤3．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，3），
∴函数最大值为3，
将x＝0代入y＝﹣2（x﹣2）2+3得y＝﹣5，
将x＝3代入y＝﹣2（x﹣2）2+3得y＝1，
∴当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3，
故答案为：﹣5≤y≤3．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（4分）（2024春 九龙坡区校级期中）若关于x的方程的解为整数，且关于y的不等式组有解且最多有四个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 　4　 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据关于x的方程的解的情况求出m的取值情况，根据关于y的一元一次不等式组的解的情况求出m的取值范围，然后求出满足条件的m的值，即可得出答案．
【解答】解：解分式方程，得x，
∵分式方程有整数解，
∴是整数，且2，
解不等式组，得，
∵不等式组有解且最多有四个奇数解，
∴﹣1＜m+3＜9，
解得：﹣4＜m＜6，
∴整数m为：﹣1，5，
∴所有满足条件的整数m的值之和为﹣1+5＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的关键，本题需注意分式方程的分母不等于0的限制条件．
17．（4分）如图，将Rt△ABC的BC边沿着斜边上的中线CD折叠到CF，连接AF、BF．
（1）求证：∠AFB＝90°．
（2）若AC＝8，BC＝15，直接写出AF＝　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）根据折叠的性质得出CM垂直平分BF，再根据直角三角形的定义证明；
（2）根据勾股定理，列方程组求解．
【解答】（1）证明：由折叠的性质得：BD＝DF，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝DF，
∴∠DBF＝∠DFB，∠DAF＝∠DFA，
∴∠DFA+∠DFB＝∠DBF+∠DAF，
∵∠DFA+∠DFB+∠DBF+∠DAF＝180°，
∴∠DFA+∠DFB＝90°，
∴∠AFB＝90°；
（2）解：延长CD交BF于M，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB17，
∴CDAB＝8.5，
由折叠的性质得：CM垂直平分BF，
∴CM⊥FB，BM＝FM，
∵BD＝AD，
∴DM是△BAF的中位线，
∴AF＝2DM，
令DM＝x，BM＝y，则AF＝2x，MF＝y，CM＝CD+DM＝x+8.5，
∵AF2+BF2＝AB2，FM2+CM2＝CF2，
∴（2x）2+4y2＝172中，y2+（x+8.5）2＝152，
∴x，
∴AF＝2x．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质解勾股定理是解题的关键．
18．（8分）（2023 北碚区自主招生）对于一个四位数n，其各个数位上的数字都不为0，若n的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n为“等和数”．将“等和数”n的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”n′，记F（n），G（n）．例如n＝1342，n′＝4213，F（1342）55，G（1342）29．计算F（5236）﹣G（5236）＝　72　 ；当，均是整数时，n的最大值为 　9647　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】新定义；符号意识；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将n用整式表示，根据定义找出规律．
【解答】解：根据题意，F（5236）﹣G（5236）88﹣16＝72；
故答案为：72．
根据等和数的定义设n＝1000a+100b+10（m﹣a）+（m﹣b）＝990a+99b+11m（1≤a≤9，1≤b≤9，2≤m≤18），则n'＝1000（m﹣a）+100（m﹣b）+10a+b＝1100m﹣990a﹣99b；
由题意得：F（n）11m；
G（n）20a+2b﹣11m．
∵为整数，即为整数，又因为各个数位上的数都不为0，
∴m为13的倍数，且2≤m≤18，
∴m＝13，
∴n＝990a+99b+143＝99（10a+b）+143，
∵为整数，设20a+2b﹣143＝7k，则20a+2b＝7k+143，其中k为整数．
又∵0＜a≤9，0＜b≤9，
∴0＜7k+143＜198．
∴k最大取7，此时20a+2b＝7k+143＝192．
即10a+b最大为：96，
所以最大的n值为：99（10a+b）+143＝99×96+143＝9647．
故答案为：9647．
【点评】本题考查了整式计算、因式分解，及对新定义的理解能力．
三．解答题（共8小题）
19．（2024 双台子区校级开学）（1）计算：5a3b （﹣3b）2+（﹣6ab）2 （﹣ab）﹣ab3 （﹣4a）2；
（2）化简：．
【考点】分式的混合运算；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）﹣7a3b3；（2）．
【分析】（1）先根据单项式乘以单项式计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号里的减法，再算除法即可求解．
【解答】解：（1）5a3b （﹣3b）2+（﹣6ab）2 （﹣ab）﹣ab3 （﹣4a）2；
＝5a3b 9b2+36a2b2 （﹣ab）﹣ab3 16a2
＝45a3b3﹣36a3b3﹣16a3b3
＝﹣7a3b3；
（2）原式
．
【点评】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2023 潼南区一模）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，若CE＝AC，求证：四边形ABEC是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌　△EDB　 （ASA），
∴AC＝　BE　 ，
∵∠CBF＝∠ACB，
∴AC∥　BE　 ．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵　CE＝AC　 ，
∴平行四边形ABEC是菱形．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】作图题；证明题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）△EDB，BE，BE，CE＝AC．
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据菱形的判定即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，射线BF即为所求；
（2）证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（ASA），
∴AC＝BE，
∵∠CBF＝∠ACB，
∴AC∥BE．
∴四边形ABEC是平行四边形．
又∵CE＝AC，
∴平行四边形ABEC是菱形．
故答案为：△EDB，BE，BE，CE＝AC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．（2023春 开州区期末）今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“贯彻总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养，夯实以新安全格局保障新发展格局的社会基础”．某中学开展了国家安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用x表示，共分成四组：A.60≤x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：75，69，82，88，92，73，93，81，82，95．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在C组的数据是：86，83，89．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 82 b
八年级 83 a 95
（1）直接写出a＝　87.5　 ，b＝　82　 ，m＝　40　 ；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条理由）
（3）若七年级有700人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的约有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）87.5，82，40；
（2）见解析；
（3）530人．
【分析】（1）根据中位数、众数的计算方法进行计算即可求出a、b的值，根据C组频数和A、B组的百分比即可求出m；
（2）通过中位数、众数进行分析得出答案；
（3）求出七年级和八年级成绩在90分及以上的百分比即可．
【解答】解：（1）八年级成绩在“C组”的有3人，占3÷10＝30%，
所以“D组”所占的百分比为1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，
因此m＝40，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是86，89，因此中位数是a87.5；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是82，因此众数是82，即b＝82，
故答案为：87.5，82，40；
（2）八年级的成绩较好，
理由：八年级成绩的中位数、众数都比七年级的高，所以八年级的竞赛成绩更好；
（3）700800530（人），
答：估计七年级、八年级竞赛在90分以上的人数约为530人．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
22．（2024春 浙江期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现．受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据该品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了96%，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设应该再增加m个工厂，则每个工厂的最大产能是（6﹣0.2m）万辆/季度，根据该企业要保证每季度生产汽车27万辆，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，
根据题意得：（1+x）2＝1+96%，
解得：x1＝﹣2.4（不符合题意，舍去），x2＝0.4＝40%．
答：该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）设应该再增加m个工厂，则每个工厂的最大产能是（6﹣0.2m）万辆/季度，
根据题意得：（2+m）（6﹣0.2m）＝27，
整理得：m2﹣28m+75＝0，
解得：m1＝25，m2＝3，
又∵要节省投入成本，
∴m＝3．
答：应该再增加3个工厂．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2024 城关区校级一模）如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC＝2m，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°．
（1）求旗杆AB部分的长．
（2）求钢丝的总长度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）旗杆AB部分的长2m；
（2）钢丝的总长度为（24）m．
【分析】（1）可判断出△ABC是含45°的直角三角形，利用45°的正切值可得AB＝BC＝2m；
（2）钢丝的总长度＝AC+AD，根据等腰直角三角形三边的关系可得AC长，根据含30°的直角三角形的三边的关系可得AD长，让它们相加即可求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠ABC＝∠ABD＝90°．
∵∠ACB＝45°，BC＝2m，
∴AB＝BC tan∠ACB＝2×1＝2（m）．
答：旗杆AB部分的长2m；
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝2m，BC＝2m，
∴AC2（m）．
∵∠ABD＝90°，ADB＝30°，AB＝2m，
∴AD＝2AB＝4（m）．
∴钢丝的总长度＝AC+AD＝（24）m．
答：钢丝的总长度为（24）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．找到所求线段所在的直角三角形是解决此类问题的关键．用到的知识点为：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．
24．（2024秋 衡阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上一点，连接BD，点E，F在AB边上，AC＝AF，连接CF，DE，CF交BD于点G，DB平分∠CDE，∠AFC＝∠BDE．
（1）如图①，当AC＝BC时，求证：DE⊥AB；
（2）如图②，当时，求；
（3）若AE＝12，CD＝5，请求出AB的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）30．
【分析】（1）根据AC＝BC，AC＝AF推得∠AFC＝∠ACF＝67.5°，进而再推得∠ADE＝45°，即可求证；
（2）先证得△CGD∽△CAF，得到，再根据GD＝GB，得出S△BCG＝S△CGD，即可求解；
（3）过点E作EH⊥AD于点H，连接GH，先证出H是AD的中点，再根据GD＝GB，得出GH∥AB，，再利用△AEH∽△ABC求解即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
又∵点E，F在AB边上，AC＝AF，
∴，
∵DB平分∠CDE，∠AFC＝∠BDE，
∴∠BDC＝∠BDE＝∠AFC＝67.5°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠AED＝90°，
即DE⊥AB；
（2）解：∵点E，F在AB边上，AC＝AF，DB平分∠CDE，∠AFC＝∠BDE，
∴∠AFC＝∠ACF，∠BDC＝∠BDE＝∠AFC＝∠ACF，
∴GC＝GD，
∴△CGD∽△CAF，
∴，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCG＝∠CBG，
∴GC＝GB，
∴GD＝GB，
∴S△BCG＝S△CGD，
∴；
（3）解：如图②，过点E作EH⊥AD于点H，连接GH，
∵∠EDA＝180°﹣∠BDC﹣∠BDE＝180°﹣2∠BDE，
∠A＝180°﹣∠AFC﹣∠ACF＝180°﹣2∠AFC，
∴∠EDA＝∠A，
∴AE＝DE，
∵EH⊥AD，
∴H是AD的中点，
由（2）已知GD＝GB，
∴GH∥AB，，
∴∠HGC＝∠AFC，
∴∠HGC＝∠GCH，
∴CH＝GH，
∵AE＝12，CD＝5，
设AH＝x，则GH＝CH＝x+5，AC＝2x+5，AB＝2GH＝2x+10，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝10或﹣3（不合题意，舍去），
∴AB＝2x+10＝30．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（2024秋 徐州校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求出此时点E的坐标，并求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点，EC+ED的最小值为；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝∠OCB；点P的坐标为或．
【分析】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得：x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D，将点B、C的坐标代入得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3（与B点重合，舍去），
故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
设直线C′D的解析式为y＝kx+a，将C′、D的坐标代入得：
，
解得，
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，，
故点，
则EC+ED的最小值为；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝∠OCB；理由如下：
①当点P在x轴上方时，如图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，PA＝PB，
过点B作BH⊥AP于点H，则PH＝BH，
设PH＝BH＝m，
则，
在直角三角形ABH中，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即，
解得：，
则，
则；
②当点P在x轴下方时，
同理可得；
综上所述，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝∠OCB；点P的坐标为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用．
26．（2023秋 恩平市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝　3﹣x　 ，FC＝　x　 ；（用含x的代数式表示）
（2）若△PEF的面积为S，求S与x的函数关系及△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）3﹣x，x；
（2），；
（3）不成立，理由见详解．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可证△AEO≌△CFO，可得AE＝CF＝x，由DP＝AE＝x，可得PC＝3﹣x；
（2）由S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得，根据二次函数的性质可求△PEF面积的最小值；
（3）若PE⊥PF，则可证△DPE≌△CFP，可得DE＝CP，即3﹣x＝4﹣x，方程无解，则不存在x的值使PE⊥PF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，
∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE＝x，且DP＝AE，
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x，
故答案为：3﹣x，x；
（2）依题意：S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，
∴，
∵△PEF的面积为S，
∴S与x的函数关系，
∴开口向上，当时，△PEF面积的最小值为；
（3）解：不成立；理由如下：
若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°，
又∵∠EPD+∠DEP＝90°，
∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°，
∴△DPE≌△CFP（AAS），
∴DE＝CP，
∴3﹣x＝4﹣x，
则方程无解，
∴不存在x的值使PE⊥PF，
即PE⊥PF不成立．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，列代数式表达式、全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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