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2.4 有理数的乘方
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 子洲县期末）下列各式中，结果最大的是（　　）
A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．|﹣23| D．﹣（﹣6）
2．（2025 巴中）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（　　）m．
A． B． C． D．
3．（2024秋 东昌府区期末）下列各对数中，相等的一对是（　　）
A．﹣5与﹣（﹣5） B．﹣（﹣5）与﹣|﹣5|
C．与 D．与
4．（2024秋 盐边县期末）下列各式一定成立的个数是（　　）
①a2＝（﹣a）2②a3＝（﹣a）3③﹣a2＝|﹣a2|④a3＝|a3|
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2024秋 玉山县期末）下列化简错误的是（　　）
A．﹣（﹣2）＝2 B．（﹣4）2＝16 C．﹣（+6）＝﹣6 D．﹣|﹣5|＝5
6．（2024秋 偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　）
A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025
7．（2025 潜山市三模）已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最大值﹣1
8．（2025春 天长市期中）当x≥1时，比较两个代数式的大小关系：（x﹣1）2（　　）x2﹣1．
A．大于 B．等于
C．小于或等于 D．大于或等于
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 凉州区校级期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025＝　 　 ．
10．（2025 朝阳区校级模拟）（﹣2）3的底数是 　 　 ．
11．（2025春 秦淮区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．若（5，10]＝a，（2，10]＝b，则 　 　 ．
12．（2025春 明水县校级月考）若a＝﹣22+8，b＝（﹣2）2+2，则a和b的大小关系是　 　 ．
13．（2024秋 沙市区期末）已知x＜0＜y且|x|＝1，|y|＝2，则xy＝　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 周口月考）如图，数轴上点A表示的倒数，点B表示﹣3的绝对值，点C表示（﹣2）2．
（1）写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A，B，C三个点；
（2）若把数轴的原点取在点B处，A、B、C每两点之间的距离不变，求出此时点A和C表示的数．
15．（2024秋 钢城区期末）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　 ，（）⑤＝　 　 ；
（2）以下说法中，正确的有 　 　 （多选题）；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1 ＝1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
E．2③＝（﹣2）③．
（3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于a ＝　 　 ；
（4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3．
2.4 有理数的乘方
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 子洲县期末）下列各式中，结果最大的是（　　）
A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．|﹣23| D．﹣（﹣6）
【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先计算各个选项，再比较大小即可．
【解答】解：根据题意可知，﹣32＝﹣9，﹣|﹣5|＝﹣5，|﹣23|＝8，﹣（﹣6）＝6，
∴﹣9＜﹣5＜6＜8，
∴最大的是|﹣23|＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．
2．（2025 巴中）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（　　）m．
A． B． C． D．
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意列出算式即可．
【解答】解：（）3．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，理解题意是解题的关键．
3．（2024秋 东昌府区期末）下列各对数中，相等的一对是（　　）
A．﹣5与﹣（﹣5） B．﹣（﹣5）与﹣|﹣5|
C．与 D．与
【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据相反数，乘方运算，化简绝对值逐一进行判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，
∴﹣5与﹣（﹣5）不相等，
∴A选项不符合题意；
∵﹣（﹣5）＝5，﹣|﹣5|＝﹣5，
∴﹣（﹣5）与﹣|﹣5|不相等，
∴B选项不符合题意；
∵，，
∴与不相等，
∴C选项不符合题意；
∵，，
∴与相等，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，绝对值，相反数，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
4．（2024秋 盐边县期末）下列各式一定成立的个数是（　　）
①a2＝（﹣a）2②a3＝（﹣a）3③﹣a2＝|﹣a2|④a3＝|a3|
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】有理数的乘方；绝对值．
【答案】D
【分析】根据乘方的运算和绝对值的意义计算．
【解答】解：①（﹣a）2＝a2，故①中正确；
②（﹣a）3＝﹣a3，故②错误；
③|﹣a2|＝a2，故③错误；
④当a＜0时，a3＜0，|a3|＞0，故④错误；
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是有理数的乘方，注意乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．注意任何数的绝对值为非负数．
5．（2024秋 玉山县期末）下列化简错误的是（　　）
A．﹣（﹣2）＝2 B．（﹣4）2＝16 C．﹣（+6）＝﹣6 D．﹣|﹣5|＝5
【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据乘方运算法则，绝对值的化简，相反数逐项化简即可．
【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故本选项不符合题意；
B、（﹣4）2＝16，故本选项不符合题意；
C、﹣（+6）＝﹣6，故本选项不符合题意；
D、﹣|﹣5|＝﹣5，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，解题的关键是熟练掌握乘方的运算法则，绝对值化简，相反数的概念．
6．（2024秋 偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　）
A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2025＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
7．（2025 潜山市三模）已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最大值﹣1
【考点】非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】由a﹣c＝3k，a﹣b＝k知b﹣c＝2k，代入配方成4（k）2﹣1可得答案．
【解答】解：∵a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，
∴a﹣c＝3k，a﹣b＝k，
∴b﹣c＝2k，
∴，
有最小值﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查非负数的性质—偶次方，解题的关键是掌握完全平方公式及非负数的性质．
8．（2025春 天长市期中）当x≥1时，比较两个代数式的大小关系：（x﹣1）2（　　）x2﹣1．
A．大于 B．等于
C．小于或等于 D．大于或等于
【考点】非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】首先把两个代数式作差，再进一步得出答案即可．
【解答】解：∵x≥1，
∴（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝x2﹣2x+1﹣x2+1＝﹣2x+2≤0，
∴（x﹣3）2≤x2﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 凉州区校级期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025＝　﹣1　 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣2|＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
10．（2025 朝阳区校级模拟）（﹣2）3的底数是 　﹣2　 ．
【考点】有理数的乘方．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据有理数乘方的定义进行解答即可．
【解答】解：（﹣2）3的底数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数是解答此题的关键．
11．（2025春 秦淮区校级期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．若（5，10]＝a，（2，10]＝b，则 　　 ．
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意，得到5a＝10，2b＝10，得到（5a﹣1）b﹣1＝5，即可（a﹣1）（b﹣1）＝1，化简即可得到结果．
【解答】解：∵（5，10]＝a，（2，10]＝b，
∴5a＝10，2b＝10，
∴5a﹣1＝2，2b﹣1＝5，
∴（5a﹣1）b﹣1＝5，
∴5（a﹣1）（b﹣1）＝5，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，
∴ab﹣a﹣b+1＝1，
∴ab﹣（a+b）＝0，
∴a+b＝ab，
∴1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了乘方，幂的运算，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．
12．（2025春 明水县校级月考）若a＝﹣22+8，b＝（﹣2）2+2，则a和b的大小关系是　a＜b　 ．
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】a＜b．
【分析】先计算乘方运算，再比较a和b的大小即可．
【解答】解：a＝﹣22+8，b＝（﹣2）2+2，
a＝﹣22+8＝﹣4+8＝4，
b＝（﹣2）2+2＝4+2＝6，
∵4＜6，
∴a＜b，
故答案为：a＜b．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较和有理数的乘方，正确进行计算是解题关键．
13．（2024秋 沙市区期末）已知x＜0＜y且|x|＝1，|y|＝2，则xy＝　1　 ．
【考点】有理数的乘方；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】先根据绝对值的意义和有理数的乘法计算法则求出x、y的值，再代值计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，x＝±1，y＝±2，
∵x＜0＜y，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴原式＝（﹣1）2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了绝对值，有理数的乘方，掌握相应的运算法则是关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 周口月考）如图，数轴上点A表示的倒数，点B表示﹣3的绝对值，点C表示（﹣2）2．
（1）写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A，B，C三个点；
（2）若把数轴的原点取在点B处，A、B、C每两点之间的距离不变，求出此时点A和C表示的数．
【考点】有理数的乘方；数轴；绝对值；倒数．
【专题】实数；应用意识．
【答案】（1）详见解答；（2）点A表示的数是﹣5，点C表示的数是1．
【分析】（1）先利用倒数、绝对值、乘方的定义分别求出A、B、C表示的数，再表示在数轴上；
（2）先计算AB、BC间距离，再当B是原点时求出A、C表示的数．
【解答】解：（1）的倒数是﹣2，﹣3的绝对值是3，（﹣2）2＝4．
所以A表示﹣2，B表示3，C表示4．
描出的A，B，C三个点如图所示：
（2）∵3﹣（﹣2）＝5，∴A、B相距5个单位长度，
∵4﹣3＝1，∴B、C相距1个单位长度．
当原点取在B点时，点A表示的数为 0﹣5＝﹣5．
点C表示的数为0+1＝1．
【点评】本题主要考查了数轴，掌握相反数、绝对值、乘方的定义及数轴与有理数的关系是解决本题的关键．
15．（2024秋 钢城区期末）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　﹣8　 ；
（2）以下说法中，正确的有 　ABD　 （多选题）；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1 ＝1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
E．2③＝（﹣2）③．
（3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于a ＝　　 ；
（4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3．
【考点】有理数的乘方；正数和负数；有理数的除法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1），﹣8；（2）ABD．（3）；（4）﹣142．
【分析】（1）根据新定义展开，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）根据新定义和有理数的运算法则进行判断即可；
（3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式；
（4）先根据有理数的乘方和新定义进行计算，再根据有理数的乘法和除法法则进行计算，再算加法即可．
【解答】解：（1）2③
＝2÷2÷2
＝1÷2
，
（）⑤
＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）
＝﹣8，
故答案为：，﹣8；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故本选项符合题意；
B．对于任何正整数n，1 ＝1，故本选项符合题意；
C．∵3④＝3÷3÷3÷3＝3，
4③＝4÷4÷4＝4，
∴3④≠4③，故本选项不符合题意；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故本选项符合题意；
E.2③＝2÷2÷2，（﹣2）③＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），
∴2③≠（﹣2）③．故本选项不符合题意；
故选：ABD．
（3）a ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2，
故答案为：；
（4）由（3）得：（）④，（）⑥
原式＝﹣16×9﹣16÷（﹣8）
＝﹣144+2
＝﹣142．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和正数、负数等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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