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第14章 全等三角形
第14章 全等三角形
章末复习
1．理解并掌握全等三角形的相关概念及性质；
2．能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，解决有关线段或角相等的综合问题；
3．熟练运用角平分线的性质与判定解决实际问题．
全等形
相关概念
定义
全等三角形
表示方法
对应元素
性质
对应边相等、对应角相等
判定
一般三角形
直角三角形
应用
角的平分线
性质
判定
SAS、ASA、AAS、SSS
HL
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
2．全等三角形有什么性质？
3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？
4．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等证明角的平分线的性质吗？
5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
6．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？
1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫作全等形．
比如：商店售卖的相同型号的长方形橡皮，每一块橡皮的长、宽、高都相同，彼此是全等形；
体育比赛中使用的乒乓球，标准乒乓球的直径和表面形状完全相同，任意两个标准乒乓球都是全等形
2．全等三角形有什么性质？
∵△ABC ≌△DEF，
∴AB =DE，BC =EF，AC =DF
（全等三角形的对应边相等），
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
（全等三角形的对应角相等）．
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？
SAS，ASA，AAS，SSS
HL
4．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等证明角的平分线的性质吗？
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角的平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
6．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？
（1）基本事实是几何推理的 “基石”
（2）推理论证让图形性质更具 “可靠性”
（3）形成 “知识关联网络”
考点一：全等三角形的概念
例1：下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形
B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
D．边长为的等边三角形都是全等三角形
D
考点一：全等三角形的概念
（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；但周长（或面积）相等的两个三角形不一定是全等三角形．
（3）两个形状和大小完全相同的三角形便是全等三角形，与三角形的位置无关．
考点一：全等三角形的概念
变式：如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．
解：∵，
∴的对应边是，的对应边是，的对应边是，
的对应角是，的对应角是，的对应角是．
考点二：全等三角形的性质
例2：如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，，
(1)求的长；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
解：（1） ，
，，
．
考点二：全等三角形的性质
例2：如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，，
(1)求的长；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
（2）
理由： ，
， ，
又A、B、C在一条直线上，
，
，
∴，
∴，
∴．
考点二：全等三角形的性质
利用全等三角形的性质求线段长度的方法
（1）先确定两个三角形中边的对应关系，再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换．
（2）若所求的线段不是全等三角形的对应边，则需要用等式的性质进行转化求解．
利用全等三角形的性质求角的度数的方法
（1）直接求：用全等三角形的对应角相等求角的度数．
（2）间接求：先求得对应角的度数，再结合邻补角、三角形内角和外角等，求出角的度数．
考点二：全等三角形的性质
变式：如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示，．
(2)当与全等时，求v的值．
解：（1）∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动，
∴；
又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，
∴；
考点二：全等三角形的性质
（2）当时，即，，
由（1）知，；，
又∵，，
∴，
又∵点D为的中点，
∴，
∴，解得，
又∵，
∴，解得；
当时，即，，
∴，解得，
∴，解得；
综上，v的值是2或3．
考点三：全等三角形的判定
例3：根据下列条件，能判定的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，与的周长相等
D
考点三：全等三角形的判定
　　判定两个三角形全等的思路
　　（1）已知两边
　　（2）已知一边一角
　　（3）已知两角
找夹角→SAS
找第三边→SSS
边为角的对边→找另一角→AAS
边为角的邻边
找角的另一邻边→SAS
找边的另一邻角→ ASA
找边的对角→AAS
找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
考点三：全等三角形的判定
变式：如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由．
解：有三种组合是成立的：
或或．
对于，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
考点三：全等三角形的判定
对于，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
对于，理由如下：
∵，∴，
∵，，
∴，
∴
考点四：全等三角形的实际应用
例4：如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
A
考点四：全等三角形的实际应用
利用全等三角形解决实际问题，关键是在实际问题中提炼出全等三角形模型，从而利用三角形全等的判定与性质解决实际问题．
基本解题思路：建立数学模型→构造全等三角形→证明线段相等解决问题．
考点四：全等三角形的实际应用
变式：如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米
C．20米 D．30米
C
考点五：角的平分线的性质和判定的应用
例5：如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B．
C． D．
D
考点五：角的平分线的性质和判定的应用
角的平分线的性质和判定都是证明线段或角相等的重要依据，在应用角的平分线的性质和判定时，常常结合全等三角形等有关知识来推导所求证的结论．在解题过程中往往需要添加辅助线来解决问题，通常从角的平分线上的已知点向角的两边作垂线．
考点五：角的平分线的性质和判定的应用
变式：如图，在四边形中，，为的中点，平分．
(1)求证：平分；(2)求证：．
证明：（1）作，垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分；
考点五：角的平分线的性质和判定的应用
变式：如图，在四边形中，，为的中点，平分．
(1)求证：平分；(2)求证：．
（2）由（1）可知：，
在和中，
，
，
，同理可证：
，即．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，．时，的依据是 ．
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：．
解：连接，如图：∵，
在和中，
，
∴，∴，
∵于，于，∴，
在和中，
，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ．
1或
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点．
(1)求证：点到和的距离相等；
(2)若，且的面积是15，求的面积．
证明：（1）过作，
是的角平分线，
，
，
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点．
(1)求证：点到和的距离相等；
(2)若，且的面积是15，求的面积．
（2） 是的角平分线，
到和的距离相等，
，
，，
，
．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ．
1或7
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：．
证明：如图，延长交于点．
，．
∵是角平分线，，
在和中，
，
，
．
又，．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　）
①；
②平分；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，，为外一点，连接，，于点，为延长线上一点．
求证：(1)平分；(2)．
证明：（1）过点作于，
，
，
，
，
平分；
【综合拓展类作业】
5．如图，在中，，为外一点，连接，，于点，为延长线上一点．
求证：(1)平分；(2)．
（2）在和中
，
，
，
，
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第九课时《第14章 全等三角形 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章是初中几何的基础章节，核心围绕“全等”展开，复习课需整合全章知识，构建系统的知识体系。从内容逻辑来看，先以生活中的全等形实例为切入点，让学生感知全等的现实意义，再聚焦到全等三角形，梳理其“性质-判定-应用”的主线。 性质方面，需强调“对应边相等、对应角相等”中“对应”的关键意义，这是后续解决线段和角相等问题的核心依据。判定部分是重点，要区分一般三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）与直角三角形特有的HL判定，明确每种方法的适用条件（如SAS中“夹边”的限定），同时回顾判定方法的推导逻辑——从基本事实（SSS、SAS、ASA）推导出AAS，体现几何推理的严谨性。 应用层面，一是通过全等证明线段、角相等，这是几何证明的基本思路；二是延伸到角平分线的性质与判定，需说明角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）是通过证明三角形全等得出的，建立知识间的关联；此外，尺规作图（作一个角等于已知角、作三角形、作角平分线）也是复习重点，要让学生理解作图的原理本质是利用全等三角形的判定方法，而非单纯记忆步骤。 从学科价值来看，本章是学生首次系统接触几何证明，复习课不仅要巩固知识，更要强化“从已知条件出发，依据判定定理证明全等，再利用性质推导结论”的逻辑思维，为后续学习等腰三角形、四边形等几何内容奠定推理基础。
学习者分析 学生已学完本章所有内容，能初步识别全等三角形，记忆全等三角形的性质和判定方法，也尝试过利用全等证明简单的线段、角相等问题，以及基本的尺规作图操作。但知识掌握存在碎片化问题，学生能单独说出SSS、SAS等判定方法，却难以根据题目条件灵活选择合适的判定；对“对应边、对应角”的识别，在图形复杂如含重叠、旋转的三角形时容易出错，在证明过程中有遗漏关键条件，或推理步骤跳跃。
教学目标 1．理解并掌握全等三角形的相关概念及性质； 2．能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，解决有关线段或角相等的综合问题； 3．熟练运用角平分线的性质与判定解决实际问题．
教学重点 能运用全等三角形的判定与性质解决问题．
教学难点 通过已知条件寻找全等三角形，添加辅助线证明三角形全等的相关问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解并掌握全等三角形的相关概念及性质； 2．能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，解决有关线段或角相等的综合问题； 3．熟练运用角平分线的性质与判定解决实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？ 预设：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫作全等形． 比如：商店售卖的相同型号的长方形橡皮，每一块橡皮的长、宽、高都相同，彼此是全等形； 体育比赛中使用的乒乓球，标准乒乓球的直径和表面形状完全相同，任意两个标准乒乓球都是全等形 2．全等三角形有什么性质？ 预设：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？ 预设：SAS，ASA，AAS，SSS SAS，ASA，AAS，SSS ，HL 4．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等证明角的平分线的性质吗？ 预设：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 预设：一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 6．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？ 预设：（1）基本事实是几何推理的 “基石” （2）推理论证让图形性质更具 “可靠性” （3）形成 “知识关联网络”学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：全等三角形的概念 例1：下列说法正确的是（ ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形D．边长为的等边三角形都是全等三角形 答案：D 解题技巧：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的周长相等，面积相等；但周长（或面积）相等的两个三角形不一定是全等三角形． （3）两个形状和大小完全相同的三角形便是全等三角形，与三角形的位置无关． 变式：如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角． 解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 考点二：全等三角形的性质 例2：如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 解：（1） ， ，， ． （2） 理由： ， ， ， 又A、B、C在一条直线上，， ， ∴， ∴， ∴． 解题技巧：利用全等三角形的性质求线段长度的方法 （1）先确定两个三角形中边的对应关系，再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换． （2）若所求的线段不是全等三角形的对应边，则需要用等式的性质进行转化求解． 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 （1）直接求：用全等三角形的对应角相等求角的度数． （2）间接求：先求得对应角的度数，再结合邻补角、三角形内角和外角等，求出角的度数． 变式：如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 解：（1）∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 考点三：全等三角形的判定 例3：根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 答案：D 解题技巧：判定两个三角形全等的思路 变式：如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 考点四：全等三角形的实际应用 例4：如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 答案：A 解题技巧：利用全等三角形解决实际问题，关键是在实际问题中提炼出全等三角形模型，从而利用三角形全等的判定与性质解决实际问题． 基本解题思路：建立数学模型→构造全等三角形→证明线段相等解决问题． 变式：如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 答案：C 考点五：角的平分线的性质和判定的应用 例5：如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为（ ） A．无法确定 B． C． D． 答案：D 解题技巧：角的平分线的性质和判定都是证明线段或角相等的重要依据，在应用角的平分线的性质和判定时，常常结合全等三角形等有关知识来推导所求证的结论．在解题过程中往往需要添加辅助线来解决问题，通常从角的平分线上的已知点向角的两边作垂线． 变式：如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 证明：（1）作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用对顶角、邻补角、垂线、平移、综合运用平行线的判定与性质进行证明和计算、添加辅助线等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第14章 全等三角形一、知识框图 二、考点梳理 1.全等三角形的概念 2.全等三角形的性质 3.全等三角形的判定 4.全等三角形的实际应用 5.角的平分线的性质和判定的应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，．时，的依据是 ． 答案： 2．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 选做题： 4．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 答案：1或 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积． 证明：（1）过作， 是的角平分线， ， ， （2） 是的角平分线， 到和的距离相等， ， ，， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 答案：1或7 3．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 选做题： 4．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，，为外一点，连接，，于点，为延长线上一点．求证： (1)平分； (2)． 证明：（1）过点作于， ， ， ， ， 平分； （2）在和中 ， ， ， ， ， ， ．
教学反思 在教学过程中，采用思维导图和问题串的方式帮助学生梳理知识框架，效果显著。学生能直观地感受全等形、全等三角形、全等三角形的性质和判定、角平分线的性质和判定等知识，构建起完整的知识体系。通过典型例题的探究和课堂练习，大部分学生对基础知识的掌握较好，能够运用所学定理解决简单的几何证明和计算问题，在小组讨论探究中也激发了学生的学习积极性，促进了学生之间的思维碰撞。
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同步探究学案
课题 第14章 全等三角形 章末复习 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解并掌握全等三角形的相关概念及性质； 2．能综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，解决有关线段或角相等的综合问题； 3．熟练运用角平分线的性质与判定解决实际问题．
重点 能运用全等三角形的判定与性质解决问题．
难点 通过已知条件寻找全等三角形，添加辅助线证明三角形全等的相关问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？ 2．全等三角形有什么性质？ 3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？ 4．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等证明角的平分线的性质吗？ 5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 6．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？ 考点梳理： 考点一：全等三角形的概念 例1：下列说法正确的是（ ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形D．边长为的等边三角形都是全等三角形 解题技巧：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的周长相等，面积相等；但周长（或面积）相等的两个三角形不一定是全等三角形． （3）两个形状和大小完全相同的三角形便是全等三角形，与三角形的位置无关． 变式：如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角． 考点二：全等三角形的性质 例2：如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，连接并延长交于点F，且，， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 解题技巧：利用全等三角形的性质求线段长度的方法 （1）先确定两个三角形中边的对应关系，再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换． （2）若所求的线段不是全等三角形的对应边，则需要用等式的性质进行转化求解． 利用全等三角形的性质求角的度数的方法 （1）直接求：用全等三角形的对应角相等求角的度数． （2）间接求：先求得对应角的度数，再结合邻补角、三角形内角和外角等，求出角的度数． 变式：如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 考点三：全等三角形的判定 例3：根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 解题技巧：判定两个三角形全等的思路 变式：如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 考点四：全等三角形的实际应用 例4：如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 解题技巧：利用全等三角形解决实际问题，关键是在实际问题中提炼出全等三角形模型，从而利用三角形全等的判定与性质解决实际问题． 基本解题思路：建立数学模型→构造全等三角形→证明线段相等解决问题． 变式：如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 考点五：角的平分线的性质和判定的应用 例5：如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为（ ） A．无法确定 B． C． D． 解题技巧：角的平分线的性质和判定都是证明线段或角相等的重要依据，在应用角的平分线的性质和判定时，常常结合全等三角形等有关知识来推导所求证的结论．在解题过程中往往需要添加辅助线来解决问题，通常从角的平分线上的已知点向角的两边作垂线． 变式：如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，．时，的依据是 ． 2．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A． B． C． D． 3．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 选做题： 4．如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 3．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 选做题： 4．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 5．如图，在中，，为外一点，连接，，于点，为延长线上一点．求证： (1)平分； (2)．
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