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15.1.1《轴对称及其性质》同步测试
一、单选题
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一张长与宽的比为的长方形纸片按如图①，图②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ABC和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ）
①；②；③直线垂直平分；④直线平分．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．如图， ABC内有一点P，点D、E、F分别是点P关于、、对称的点．若 ABC的内角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）．
7．如图，，， ABC与关于直线对称，则 ．
8．如图所示的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积之和是 ．
9．如图，将 ABC折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是 ABC的 ．
10．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为 ．
三、解答题
11．如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？
12．已知：如图，外有一点P，作点P关于直线的对称点为，再作点关于直线的对称点为，试探索与的大小关系并说明理由．
13．如图，四边形与四边形关于对称．
(1)与A，B，C，D的对称点分别是 ，线段的对应线段分别是 ， ， ， ；
(2)连接与平行吗？为什么？
(3)对称轴与线段有何关系？
14．如图，将长方形纸片的，分别折叠，顶点A落在处，使顶点B落在处，，为折痕，点E，，在同一条直线上．
(1)猜想折痕和的位置关系，并说明理由．
(2)的反向延长线与交于F，若，求和的度数．
15．光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时．
(1)如图①，求证：；
(2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点．
①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系；
②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______．
16.已知在 ABC中，．
(1)如图1，点P在 ABC内，且是点P分别关于，的对称点，连接，则________．
(2)如图2，在（1）的基础上，若是点P关于的对称点，求的度数．
(3)如图3，若点P在 ABC的外部（靠近边），点P关于直线，，的对称点分别为，分别连接，若，求的度数．
17.翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题：
(1)如图1，在 ABC中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P．
①若，，求的度数；
②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由；
(2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）．
18.如图 ABC与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？
19.项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明．
为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写．
【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球．
（1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球．
项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的．
如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的．
（2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．
（3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．
……
（4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示）
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．据此解答即可．
【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了折叠的性质和空间观念，准确理解折叠的性质是解题的关键．
根据图示的裁剪方式，由折叠的性质，可知此图最后剪去了两个角和一边的中间被剪，即可得到答案．
【详解】解：根据图示的裁剪方式，由折叠的性质，可知此图最后剪去了两个角和一边的中间被剪，因此答案为A．
故答案为：A
3．A
【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ABC和关于直线对称，
∴，，直线垂直平分，，
∴直线平分，
综上，正确的有①②③；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查轴对称的性质；作出辅助线得到三对角相等是正确解答本题的关键．连接，，后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案．
【详解】解：连接，，，如图所示：
∵点D、E、F分别是点P关于、、对称的点，
∴，，，
，，，
∴．
故选C．
5．D
【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解．
【详解】解：如图所示，
经过反射后，，，
∴．
故选：D．
二、填空题
6．③
【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案．
【详解】解：对折后不能重合，
③对折后能重合，
故答案为：③．
7．
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握该知识点是关键．先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数．
【详解】解：由条件可知，
，
，
．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，圆的面积，根据题目中的图案是一个轴对称图形，则阴影部分面积之和是最大圆的面积的一半，又因为最大圆的半径为2，故结合圆面积公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵题目中的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，且最大圆的半径为2，
∴阴影部分面积之和是，
故答案为：．
9．角平分线
【分析】本题考查了翻折变换的性质，角平分线的定义．
根据翻折的性质和图形，可以判断出l与的关系．
【详解】解：如图，
由已知可得，，
则l是 ABC的角平分线．
故答案为：角平分线．
10．
【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可．
【详解】解：过点D作，
根据题意得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1，3，5，7可形成轴对称图形，阴影三角形与1关于直线为对称轴，阴影三角形与3关于直线为对称轴，阴影三角形与5关于直线为对称轴，阴影三角形与7关于直线为对称轴．
12．解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵点P关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
∴，
∴
．
．
13．（1）解：、、、的对称点分别是，，，，线段、的对应线段分别是，，，，；
故答案为：，，，；，；；；．
（2）解：，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行；
（3）解：对称轴垂直平分．理由是对称轴垂直平分对称点的连线段．
14．（1）解： ，理由如下：
由折叠可得，，
∵点E，，在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
15．（1）证明：根据题意，得，，
，
，
即．
（2）解：①由（1）可知．
设，
．
，，
；
，
即．
②设，．
，．．．
．
故答案为：．
16.（1）解：∵是点P分别关于，的对称点，
∴，
∵
∴
故答案为：
（2）解：因为分别为点P关于AB，BC的对称点，
所以由轴对称可知，
所以．
同理可得．
因为，
所以，
所以；
（3）解：同（2）可得，，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
17.（1）解：①∵是的角平分线，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴；
②猜想．
证明如下：
是的外角，
∴∠P=∠PCD-∠PBC，
同理可证：，
分别平分，
，
，
∵平分，平分，
∴，
∴
．
又由轴对称性质知：，
∴；
（2）解：如图，作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点D/，连接，
∵点是定点，
∴点D/也是定点，
∴当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小，
由轴对称性质可得：，
∴，，
∴，
由轴对称性质可得：，
∴，
∴．
18.对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上．
19.解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的．
故答案为：3.
（2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5．
故答案为：5.
（3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7．
故答案为：7.
（4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为．
故答案为：.

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