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15.1.2《线段的垂直平分线》
【题一 画对称轴】
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　）
A．中线 B．底边上的中线
C．底边上的高 D．底边上的中线所在的直线
3.角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条．
4.下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有 个．
5.下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴．

【题二 求对称轴条数】
1.下列图形中只有两条对称轴的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．等边三角形
2.下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A． B． C． D．
3.已知如图，有 条对称轴．
4.一个正多边形的对称轴共有6条，则这个正多边形的边数是 ．
5.试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？
【题三 写出命题的逆命题】
1.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的三个角都是60°
2.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等
3.命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
4.命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
5.写出下列命题的逆命题：
(1)如果，那么；
(2)同角的余角相等；
(3)如果，那么；
(4)等腰三角形的两个底角相等．
【题四 判断是否为互逆命题】
1.下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.下列定理中，没有逆定理的是( )
A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90°
3.题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．
4.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题．
5.（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．
【题五 互逆定理】
1.下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
2.下列命题中正确的是（ ）
A．如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数
B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3
C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5
D．任何一个定理都有逆定理
3.请写出一个存在逆定理的定理： ．
4.请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ．
5.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【题六 线段垂直平分线的性质】
1.如图，在 ABC中，是线段的垂直平分线，交于点．若的周长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ．
4.如图，在 ABC中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
5.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来．
【题七 线段垂直平分线的判定】
1.如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（ ）
A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
2.如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（ ）
①；②；③平分；④四边形的面积．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ．
4.如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ．
5.（1）如图，在 ABC中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________．
（2）如图，，连接交于点，则________．
【题八 作已知线段的垂直平分线】
1.如图，在 ABC中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2.在如图所示的四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
3.如图 ABC中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算 ．
4.如图，已知 ABC，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则 ABC的周长是 ．
5.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等；
(2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等．
【题九 作垂线(尺规作图)】
1.如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，在 ABC中，，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、与点、，若的周长是，则的长等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3.如图，在 ABC中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ．
4.（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．
5.下面是黑板上列出的尺规作图题．
已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点． 作法： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）． ②作直线，就是直线的垂线． ③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．
(1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________；
(2)步骤③中，的长满足的条件是_________；
(3)以下是的说理过程，请补全．
解：如图，连接．

由作图知，， ．
又因为，
所以 ．
所以．
根据平角的定义，所以 = ，
所以，所以直线．
参考答案
【题一 画对称轴】
1.C
【分析】根据轴对称图形的意义和性质解答．
【详解】解：A、如图，A是轴对称图形；
B、如图，B是轴对称图形；
C、找不到一条直线，使得C沿这条直线对折后两边完全重合，所以C不是轴对称图形；
D、如图，D是轴对称图形；
故选C ．
2.D
【分析】根据轴对称图形的性质和等腰三角形“三线合一”的性质解答即可．
【详解】根据轴对称图形的性质可知，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线、底边上的高所在的直线、底边上的中线所在的直线．
故选D．
3. 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n
【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答．
【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条，
故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n．
4.4
【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴．
故轴对称图形有4个．
故答案为：4．
5.解：根据轴对称图形的定义可知，除了第二个和最后一个图形不是轴对称图形，其余都是轴对称图形，
画对称轴如下：
【题二 求对称轴条数】
1.A
【分析】此题考查对称轴，根据对称性及图形的特点确定对称轴条数，即可得到答案．
【详解】解：A.矩形只有两条对称轴，符合题意；
B.平行四边形没有对称轴，不符合题意；
C.正方形有四条对称轴，不符合题意；
D.等边三角形有三条对称轴，不符合题意；
故选：A．
2.C
【分析】本题考查了轴对称图形和对称轴的定义，准确找出组合图形的所有对称轴是解题的关键；
找出每个组合图形的对称轴，然后比较即可得出答案．
【详解】
A．该图有两条对称轴，
B．该图有一条对称轴，
C． 该图有三条对称轴，
D． ，该图有两条对称轴，
故选：C．
3.
【分析】根据轴对称的定义即可得到答案．
【详解】解：由题可知，共有条对称轴．
故答案为：．
4.6
【分析】根据正六边形的对称轴有6条即可得到答案．
【详解】解：∵一个正多边形的对称轴有6条，
∴这个正多边形为六边形，
故答案为：6．
5.正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴，
正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴，
正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴，
正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴，
正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴，
一般地，一个正n边形有n条对称轴．
【题三 写出命题的逆命题】
1.C
【分析】逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题的真假．本题考查了命题的判断，熟练掌握解题要领是解题的关键．
【详解】A. 原命题：“等腰三角形的两个底角相等”．
逆命题：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
根据等腰三角形的判定，逆命题为真．
B. 原命题：“内错角相等，两直线平行”．
逆命题：“两直线平行，内错角相等”．
这是平行线的性质，逆命题为真．
C. 原命题：“全等三角形的对应角相等”．
逆命题：“对应角相等的三角形全等”．
对应角相等仅能判定相似，不能保证全等，逆命题为假．
D. 原命题：“等边三角形的三个角都是60°”．
逆命题：“三个角都是60°的三角形是等边三角形”．
根据等边三角形的判定，逆命题为真．
故选：C．
2.A
【分析】本题考查了命题与逆命题的知识，能够写出命题的逆命题是解题的关键．
根据题意写出逆命题，然后进行判断真假即可．
【详解】解：、“若，，则”逆命题为“若，则，”，为假命题，符合题意；
、“若，则”逆命题为“若，则”，为真命题，不符合题意；
、“全等三角形的对应边相等”逆命题为“对应边相等的三角形全等”，为真命题，不符合题意；
、“两直线平行，同位角相等”逆命题为“同位角相等，两直线平行”，为真命题，不符合题意；
故选：．
3.如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可．
【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
4.假
【分析】本题考查了判断真假命题，逆命题，先写出原命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：如果，那么的逆命题是：如果，那么，是假命题，
故答案为：假．
5.（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么；
（2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角；
（3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么；
（4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【题四 判断是否为互逆命题】
1.B
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案．
【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误；
②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确；
③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误.
故选B.
2.B
【详解】解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题，所以A选项有逆定理；
B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以B选项没有逆定理；
C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理；
D、直角三角形的两锐角的和为90°的逆命题为：两锐角的和为90°的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，所以D选项有逆定理．
故选B．
3. 互逆命题 逆命题
【解析】略
4.互逆
【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
5.（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【题五 互逆定理】
1.D
【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解．
【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意；
B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意；
C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意；
D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意；
故选：D
2.A
【分析】根据勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、因为a，b，c是一组勾股数，所以，，也是一组勾股数，则是真命题，故本选项符合题意；
B、设这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，因为，则 ，即这一个三角形的三个内角的度数分别为 ，即该三角形为直角三角形，设最短边长为 ，则斜边长为 ，较长直角边为 ，所以这个三角形三个内角所对的边之比 ，则是假命题，故本选项不符合题意；
C、4也可能为斜边，则是假命题，故本选项不符合题意；
D、任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，则是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A
3.两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可．
【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行”
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
4.内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，
故答案为：内错角相等，两直线平行 ．
5.（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．
【题六 线段垂直平分线的性质】
1.B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由题意易得，然后根据三角形的周长公式及题意可进行求解．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
故选：B．
2.D
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
的周长，
故选：．
3.
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∵，，
∴
∴的周长为，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，
∴，
∴的周长，
当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
5.解：如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则、和大小、形状都相同．
证明：∵，，
∴，
如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴、和大小、形状都相同．
【题七 线段垂直平分线的判定】
1.C
【分析】本题考查中垂线的判定，根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．
【详解】解：∵基站到三个村庄A，B，C的距离相等，
∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点上；
故选C．
2.C
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴点，点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，故①②正确；
无法得到平分，故③错误；
四边形的面积为；故④正确；
故选C．
3. 中点 垂直平分线
【解析】略
4.5
【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可．
【详解】解：，，
∴点C，点D在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
故答案为：5
5.（1）11；（2）2
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
（1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解；
（2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴的周长为：．
（2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
【题八 作已知线段的垂直平分线】
1.A
【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是 ABC的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由作图步骤可得是 ABC的边的垂直平分线，
∴，，即，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴ ABC的周长为，
故选：．
2.D
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：②的痕迹是作的垂直平分线交于点D，连接，不能得到是的角平分线；①的痕迹是作的平分线；③④均可通过证三角形全等得是的平分线．
故选D．
3.
【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是的平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
由作法可知，是的平分线，
∴，
由作法可知， 是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
．
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键．
由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算 ABC的周长，由此得到答案．
【详解】解：由作图得：
垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
ABC的周长是：
，
故答案为：．
5.（1）解：如图：
以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求；
（2）解：如图：
以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接；
以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接；
和交于即为所求点．
【题九 作垂线(尺规作图)】
1.C
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，，
即，
∵，
∴，
故选：C．
2.C
【分析】根据作图可得，根据的周长是，，即可求解．求得的长．
【详解】解：根据作图，是的垂直平分线，
，
的周长，
，
．
故选C．
3.20
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，再代入数值即可．
【详解】解：从作法可知：是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：20．
4.解:（1）作法：如图所示，
①连接，
②作的垂直平分线交于，
③点即为所求，
（2）∵，
∴，
∴△APE的周长为：AP+AE+PE=AP+AC=3+5=8．
5.（1）解：正确的顺序为：①③②，
故答案为：①③②；
（2）
解：的长满足的条件是：大于，
故答案为：大于；
（3）证明：连接，
由作图知，，CB ，
又因为，
所以 APC≌ BPC（SSS），
所以，
根据平角的定义，
所以，，所以，
所以直线，
故答案为：CB；；；；．

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