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第22章《相似形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形 B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形
2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ）
A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28
4．野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图是一块含角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ）
A． B． C．6 D．
9．两个直角三角形的三边长分别为和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知均不为0，且，若，则的值为 ；
12．如图，，，则的长度是 ．
13．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为 ．
14．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计）
15．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ．
16．如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）．
（1）当点为的中点时， ；
（2）当点为的三等分点时， ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若的周长为24，求各边的长．
18．（6分）如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．

(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
19．（8分）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（8分）如图，在中，点是的边上的一点．
(1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”）
(2)选择一种正确的方法求证：．
21．（10分）如图，和的顶点A重合，，．
(1)若，，求的长；
(2)连接，求证：．
22．（10分）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上．
(1)当时，求矩形的面积；
(2)当经过的重心时，求矩形的面积．
23．（12分）综合与实践：打卡“圆融”雕塑．
【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳．
【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度．
【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）．
24．（12分）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
(1)当点与点重合时，的值为________；
(2)用含的代数式表示长；
(3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值；
(4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了成比例线段．
根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可．
【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意；
B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意；
C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意；
D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可．
【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下，
其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E，
则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为，
∴，，，
图可知与的海拔差为，
与的海拔差为，
∵，
则．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
则，
∵点，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点坐标为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可．
【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板，
∴这两个三角形相似，
∵它们的斜边之比为，
∴它们的面积之比为，
即它们的面积比为
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：∵在中，，
∴,
由题意可得：平分，即，
设交于点M，作于点N，如图，
则，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，即，
则，
由作图痕迹可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故选：A.
9．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质与勾股定理，分情况讨论直角三角形的斜边结合不相似是解决本题的关键 ．
分情况讨论直角三角形中直角边和斜边，再结合勾股定理求解m和n，由“不相似”这一条件再进行取舍即可 ．
【详解】解：第一个直角三角形的三边长为，
当5和12为直角边，m为斜边时，
由勾股定理可得，
当5和m为直角边，12为斜边时，
由勾股定理可得；
第二个直角三角形的三边长为，
当10和24为直角边，n为斜边时，
由勾股定理可得，
当10和n为直角边，24为斜边时，
由勾股定理可得；
当两个直角三角形的三边长分别为和时，
由可知，两个直角三角形相似，舍；
当两个直角三角形的三边长分别为和时，
由可知，两个直角三角形相似，舍；
经检验，当两个直角三角形的三边长分别为和时，
以及两个直角三角形的三边长分别为和时，
则或．
故选：D ．
10．C
【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠QAD =45°，
∵BM是正方形的外角的平分线，
∴∠MBC=135°，
∴∠BAP+∠APB=45°，
∴∠QAD＝∠APB，
∴②正确；
∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，
∴∠ABP=∠QDA=135°，
∵∠QAD＝∠APB，
∴△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∴BP DQ＝，
∴①错误；
∵△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴BP：BC=DC：DQ，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，
∴∠PBC=∠QDC=45°，
∴△BPC∽△DCQ，
∴∠BCP=∠DQC，
∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.
∴③正确；
如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ．
∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．
∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．
∴∠PAF=∠PAQ．
又∵AP=AP，
∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．
∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BPF中，，
∴．
∴④正确；
故选C．
二．填空题
11．2
【分析】此题考查了比例的性质．设，得到，，，得到，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：设
∴，，
三式相加得，
∵
∴.
∴，
故答案为：2
12．9
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
13．24
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设与交于点．
将沿边向右平移2个单位长度得到，
，，
，，
，
，即，
．
故答案为：24．
14．
【分析】设点E的着地点为F，根据题意，得，则，列出比例式计算解答即可．
本题考查了三角形相似的生活应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设点E的着地点为F，根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论．
【详解】解：的三边长分别为：，，；
的三边长分别为：，，，
∵，
∴与不相似；
的三边长分别为：，，；
∴，
∴；
的三边长分别为：，，，
∴，
∴与不相似；
的三边长分别为：，，,
∴，
∴与不相似；
故答案为：．
16． 1:1 或
【分析】（1）连接，根据三线合一和折叠得到，进而得到，再证明为等边三角形即可得到即可求出结果；
（2）分两种情况，和，用表示和，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到结果．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵为的中点，为等边三角形，折得到△DEF，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即，
故答案为：；
（2）当时，
设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴;
当时，
设，
同上一种情况得： ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）解：，
设，，，
；
（2）解：设，，，
的周长为24，
可得，
解得，
．
18．（1）解：，
，
，，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
19．（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
20．（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：
小星的证明：
∵，
∴；
小红的证明：
∵，
∴；
小亮的证明：由不能证明，
∴小星和小红对，小亮错；
（2）证明：小星的证明：
∵，
∴；
小红的证明：
∵，
∴．
21．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴;
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：如图，过点作，
∵
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴矩形的面积为
（2）解：经过的重心时，
∴，
同（1）可得，
∴
∵，
∴矩形的面积为
23．解：[测高]如图②，延长，交于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴（负值舍去），
答：雕塑顶部距离地面的高度为；
[应用]延长，交于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
过Q作于S交于R，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：此时相机镜头距离地面的高度约为．
24．（1）解：，，，
，
∵为边的中点，
，
∵点与点重合，
∴，
．
故答案为：．
（2）解：当时，则点Q在上 ，
∴；
当时，则点Q在上 ，
∴；
综上，．
（3）解：当，则点Q在上时，
则，，
∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，
∴当时，
则，即，
解得：；
当时，
则，即，
解得：（舍去）；
当，则点Q在上时，
当时，
则，即，
解得：；
当时，
则，即
解得：（舍去）．
综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或．
（4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积．
∵，
∴，
，
，
解得．
如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积．
∵
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或．

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