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第23章《解直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．中，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，如图， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长为(　　)米
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
8．在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
9．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
10．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，，，，则 ．
12．在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ．
13．如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ．
14．在中，为三角形内部一点，，，，则 ．
15．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里．
16．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算
(1) (2)
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且．
(1)求点P的纵坐标；
(2)的值为______．
19．（8分）如图，在中，点是边上一点，且．
(1)求的长．
(2)求的值．
20．（8分）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)计算台阶的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
21．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中的边上找一点，使；
(2)在图②中画的角平分线；
(3)在图③中的边上画一点，使．
22．（10分）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点处，测得观景台正对岸处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，已知观景台高为10米，台面宽为16米（图中所有点均在同一平面内，三点共线），求此河段的宽．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
23．（12分）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
24．（12分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素 三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案．
【详解】解：设的度数为x，则的度数为，
所以，
解得，
所以，，
所以．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得，进而利用三角函数定义即可得解．
【详解】解：如图，
根据勾股定理得，．
．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了三角形函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．设，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据新定义，得出答案即可．
【详解】解：设，，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，点D为边中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据题意先求得，，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
依题意
∵扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，过道与地面平行，
∴
∵长为米，
∴
∴
在中，，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案．
【详解】解：∵在菱形中，与相交于点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
7．D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
8．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
9．C
【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长．
【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E
由折叠可知：
，，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在中，由勾股定理可得：
故选：C
10．A
【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．
【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y=x+3上，
∴设N的坐标是（x，x+3），
则DN=x+3，OD=-x，
y=x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=，
∴ON=，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，
即（x+3）2+（-x）2=()2，
解得：x1=-，x2=，
∵N在第二象限，
∴x只能是-，
x+3=，
即ND=，OD=，
tan∠AON=．
故选A．
二．填空题
11．
【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出的正弦值，得出，然后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出，则，所以，然后在中利用的正弦可计算出的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了求角的正切值，涉及了全等三角形的判定与性质，延长，交于，过作于，证得；根据可得，，即可求解；
【详解】解：延长，交于，过作于，
∵，，
∴；
∵
∴；
∵，
∴
∴；
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：
15．20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
16．60°或120°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．
【详解】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在中，sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为60°或120°．
三．解答题
17．（1）解：原式；
（2）原式．
18．（1）如图，过点P作轴于点M， 则，
∵点P的横坐标为6，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得（负数舍去），
，
点P的纵坐标为8．
（2）由（1）知，，
，
故答案为：．
19．（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
则．
20．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为，
∴，
，
即台阶的高度为；
（2）解：如图所示，设的对边为，作于F，
∴由题意得，四边形是矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：孔子雕像的高度约．
21．（1）解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图所示：
∵，，
∴，
以点为顶点，构造等腰三角形，
根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线．
（3）如图所示：
22．解：如图，过点作于点，过点作于点．
则四边形为矩形，
根据题意得，米， 米．
设米，米，
在中，，
即．
在中，，
即，
，
解得，
．
在中，
（米），
该河段的宽约为米．
23．（1）证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又 ，
即，
，
．
24．解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角，
故答案为：③；
（2）如图1，过点作于点，
中，，，
，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，，
，
，，；
（3）过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
当或时，有唯一解，
当，即时，有两个解，
故答案为：．

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