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宜兴市宜城中学2025～2026学年度秋学期
九年级 第一次小练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.下列大小不等的同类图形中，一定相似的是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
3.关于的一元二次方程用配方法可变形为( )
A. B. C. D.
4.为落实五育并举，某学校为九年级个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
5.如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为( )
A. 4.5 B. 5.5 C. D.
6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
7.如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
第4题 第5题 第7题 第8题
8.下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是( )
A. B. C. D.
9.数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使，重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论就这个图形，请你探究的值( )
A. B. C. D.
10.如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，共30分。
11.若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值是 ．
12.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
13.已知，那么的值为______．
14.已知，，若对于任意的实数，始终成立，则的值可以为 写出一个即可
15.已知点是线段的黄金分割点，且，则 ．
16.对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ．
17.如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，，则的长 ．

第17题 第18题 第19题
18.如图，已知在平行四边形中，为的中点，，分别交于点，，则 ．
19.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架宽为，则的长 ．
20.阅读下列材料：
求函数的最大值．
解：将原函数化为的一元二次方程，得．为实数，，．
根据材料给你的启示，则函数的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。
21.解下列方程．本题共4小题，每小题4分，共16分。
；；；．
22.本小题分已知：．
求代数式的值：当时，求的值．
23.本小题分已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；若方程的两个根，满足，求的值．
24.本小题分某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成宽为：的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为如图．
若矩形养殖场的总面积为，求此时的值；
当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
25.本小题分
如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长．
26.本小题分某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩假设每年的增长率相同．
求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率．
某水果店销售该种橙子，成本价是元千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元千克？
27.本小题分
矩形中，，，点为对角线上一点，过点作于点，交边于点，将沿折叠得，连接．
如图，若点落在边上，求证：；
如图，若，，三点在同一条直线上，求的长；
若是以为腰的等腰三角形，求的长．
28.本小题分 如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒．
当为何值时，？
在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值．答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】A
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】答案不唯一，即可
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
22.【答案】【小题】
解：设，则，，，
所以原式；
【小题】
解：把，，代入得，
解得，
所以，，．

23.【答案】；

【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
和是关于的一元二次方程的两个根，
，，
，
，
整理得：，
解得：，，
又，
．
答：的值为．
24.【答案】的值为；
当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【解析】如图，
，中间再用栅栏把它分成宽为：的矩形，
，即，，
，
，，
经检验当，，舍去，
答：的值为；
设矩形养殖场的总面积为，
由得：，
，
，
，
在时，有最大值，最大值为，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
25.【答案】【小题】
证明：四边形是平行四边形，，，
，，是的中点，，
，，，，；
【小题】
解：，，，，
四边形是平行四边形，，，，
，，，，
，即，．

26.【答案】该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，
单价应定为元千克
【解析】设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，
，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为．
设单价应定为元千克，
，
整理得：，
解得：，，
要让顾客得到实惠，
；
答：单价应定为元千克．
27. 【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
如图，，，三点在同一条直线上，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是的中点，
，
在矩形中，
，，，
，
，
，
，
是的中点，
，，
由翻折可知：，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
；
当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当，设，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，，
≌，
，
，
，
；
当，
过点作，
设，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
28解：如图，，则，
在中，由勾股定理可得，
，
，即，解得，，
当时，；
存在，如图，由题意可知，
又，
要使与全等，只有这一种情况，
此时，，
∽，
，即，解得，，
则，
在中，由勾股定理可得；
当由向运动时，，
，
，
，
，即，解得；
如图，当由向运动时，过作交于点，
，，
则，即，
解得，，
同理可求得，
，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
综上可知满足条件的的值为和．

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