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2025-2026学年第一学期9月份质量评估 2025．10
初二年级数学学科
选择题（每题3分，共30分）
1．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7
2．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠E＝40°，则∠DCE的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　）
A． B． C． D
4．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
5．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
第2题 第4题 第6题 第7题
6．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
7．如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝4，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
第8题 第9题 第10题
8．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（　　）
A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF平分∠BAC，BE⊥AC于点E，D是AB的中点，则△DEF的周长是（　　）
A．9 B．10 C．13 D．20
填空题（每空3分，共24分）
11．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是　 　 ．
12．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形第三边的长为　 　 ．
13．如图，已知AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　 ．（写出一个即可）
第11题 第13题 第14题 第15题
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　 　°．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则的长度为　 　 ．
16．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与BC相交于M，N两点，连接AM、AN，若∠MAN＝50°，则∠BAC＝　 　°．
17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5，则AC的长为　 　 ．
第16题 第17题 第18题
18．如图，AD为等边三角形ABC的高，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝　 　°．
三、解答题（共66分）
19．（本题满分8分）如图，DE//AB，DE＝AC，点D在AC上，且AD＝AB．
求证：∠EAD＝∠CBA．
20．（本题满分8分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
21．（本题满分6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上．
（1）在图①中，作△ABC的角平分线AE；
（2）在图②中，作∠BAC的角平分线AF；
（3）在图③中，CD是△ABC的角平分线，作△ABC的角平分线AG．
22．（本题满分8分）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD相交于点O．
求证：BO＝DO．
23．（本题满分8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：AE＝2DE．
24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是AB边上的中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足．求证：F是CE中点．
25．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC沿着斜边AC翻折得到Rt△ADC，点E、F分别是射线CB、射线CD上的点，且∠EAF＝∠DAB．
（1）初步探索：如图1，点F在线段DC上，试探究线段BE、DF、EF之间的数量关系．
小华同学探究此问题的思路是：延长CD至点M，使得DM＝BE，连接AM，先证明△ADM≌△ABE，再证明△MAF≌△EAF，请你根据该思路探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）探索延伸：如图2，点F在线段DC的延长线上，BE、DF、EF之间的数量关系是　 　 ．
（3）灵活运用：在Rt△ABC中，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，DC＝3CF，则△CEF的周长为　 　 ．
26．（本题满分10分）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，则这条射线叫作原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是　 　（填序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，请直接写出△ABC被“和谐分割线”分得的等腰三角形顶角的度数．
（3）如图2，在△ABC中，∠A＝30°，CD为边AB上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足分别为M，N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”，求CM＋DN的最大值．

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