湖南省长沙市长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)

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湖南省长沙市长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)

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长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角A,B,C的对边分别为,,,若,,且为边上的高,为边上的中线,则的值为( )
A.2 B. C.6 D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的直线,为平面,,下列说法中正确的是( )
A.若,且与不垂直,则与一定不垂直
B.若与不平行,则与一定是异面直线
C.若,且,则与可能平行
D.若,则与可能垂直
6.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
8.定义域为R的偶函数在上单调递减,且,若关于x的不等式的解集为,则的最小值为( )
A. B. C. 2e D.
二、多选题
9.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )
A.当时,
B.
C.随机变量,当,都减小时,概率增大
D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. ,使得
B. 函数的图象是一个中心对称图形
C. 曲线有且只有一条斜率为的切线
D. 存在实数,,使得函数的定义域,值域为
11.已知点是抛物线的焦点,点是抛物线的准线与轴的交点,过点且斜率为的直线与交于两点,则下列说法正确的是( )
A.的取值范围为
B.
C.若,则或
D.点关于轴的对称点在直线上
三、填空题
12.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为________.
13.若关于x的不等式恒成立,则的最大值是__________.
14.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,且这三个数之积为偶数,记满足条件的这三个数之和为;从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,记满足条件的两个数之和为.则________.
四、解答题
15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,,求的值;
(2)若,且的面积,求a和b的值.
16.已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程;
(2)已知直线与相交于A,B两点,若,求的值.
17.如图,在四棱锥中,,,,,.
(1)求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
18.已知函数,,.
(1)若函数存在2个零点,求的取值范围;
(2)记,
①当时,求的最小值;
②若的最小值为2,求的取值范围.
19.(2025·天津)已知数列是等差数列,是等比数列,.
(1)求,的通项公式;
(2),,有,
(i)求证:对任意实数,均有;
(ii)求所有元素之和.
第2页,共2页长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
所以.
故选D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复数模的公式可知,.
故选:.
3.已知的内角A,B,C的对边分别为,,,若,,且为边上的高,为边上的中线,则的值为( )
A.2 B. C.6 D.
【答案】D
【解析】因为为边上的中线,所以,
又BE为边AC上的高,所以,
在中,,
所以
.
故选D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意结合诱导公式得,
由二倍角的余弦公式得,故B正确.
故选:B
5.已知是两条不同的直线,为平面,,下列说法中正确的是( )
A.若,且与不垂直,则与一定不垂直
B.若与不平行,则与一定是异面直线
C.若,且,则与可能平行
D.若,则与可能垂直
【答案】D
【解析】对A:在平面内,存在无数条直线和垂直,故A错误;
对B:当时,与不是异面直线,故B错误;
对C:若,且,与为异面直线,故C错误;
对D:若,在内存在直线与垂直,故其可能与垂直,故D正确.
故选D.
【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.
6.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上单调递增,所以只需要
解得.
故选D.
7.已知函数的部分图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为图象过点,所以,
为函数递减区间上的零点,可得,即,
因为,所以.
故选A.
8.定义域为R的偶函数在上单调递减,且,若关于x的不等式的解集为,则的最小值为( )
A. B. C. 2e D.
【答案】C
【解析】解:因为是定义域为R的偶函数,所以,
所以可化为,即,
因为在上单调递减,且,所以在上单调递增,且,
所以当时,,当时,,
因为的解集为
所以当时,恒成立,或时,恒成立,
所以,
所以,
当且仅当,时取等号.
故选
二、多选题
9.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )
A.当时,
B.
C.随机变量,当,都减小时,概率增大
D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变
【答案】BD
【解析】对于A:当时,,故A错误;
对于B:根据正态曲线的对称性可得:,即,故B正确;
对于CD:根据正态分布的准则,在正态分布中代表标准差,代表均值,即为图象的对称轴,
根据原则可知X数值分布在的概率是常数,故由可知,D正确,C错误.
故选BD.
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A. ,使得
B. 函数的图象是一个中心对称图形
C. 曲线有且只有一条斜率为的切线
D. 存在实数,,使得函数的定义域,值域为
【答案】ABD
【解析】因为,
当,所以,可得,且,所以,使得,A选项正确;
,所以函数的一个中心对称为,B选项正确;
,又因为,所以,所以函数没有斜率为的切线,C选项错误;
令,,所以,
有两个交点,所以存在实数,,使得函数的定义域,值域为,D选项正确;
故选:ABD.
11.已知点是抛物线的焦点,点是抛物线的准线与轴的交点,过点且斜率为的直线与交于两点,则下列说法正确的是( )
A.的取值范围为
B.
C.若,则或
D.点关于轴的对称点在直线上
【答案】ABD
【解析】抛物线,其焦点,准线,则,直线方程为.
A选项,联立,消去得.
由直线与抛物线有两个交点,得,
解得且,即取值范围是正确.
选项,过作准线垂线,垂足为.
由抛物线定义知,且.
根据平行线分线段成比例,可得,变形得正确.
选项,由,则.
设,可得.
又,联立解得错误.
选项,直线斜率,直线斜率.
设关于轴对称点为,则,且与有公共点,所以在直线上,正确.
综上,答案选ABD.
三、填空题
12.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为________.
【答案】或
【解析】直线与坐标轴的交点为和,
若是椭圆的焦点,是椭圆的一个顶点,
此时椭圆的焦点在轴且,所以,离心率,
若是椭圆的焦点,是椭圆的一个顶点,
此时椭圆的焦点在轴且,所以,离心率,
所以椭圆的离心率为或,
故答案为:或.
13.若关于x的不等式恒成立,则的最大值是__________.
【答案】
【解析】由,,原不等式可化为.
设,则,当时,,递增;
,,递减.所以,在处取得极大值,且为最大值;
时,. 的图象恒在的图象的上方,显然不符题意;
当时,为直线的横截距,其最大值为的横截距,
再令,可得,所以取得最大值为.此时,,直线与在点处相切.
【分析】由,,原不等式可化为.再利用导数研究函数的图象,根据的图象恒在的图象的上方,对进行分类讨论,即可得到答案.
14.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,且这三个数之积为偶数,记满足条件的这三个数之和为;从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,记满足条件的两个数之和为.则________.
【答案】
【解析】从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,要满足三个数之积为偶数,
则这三个数中至少有1个偶数,总共有种取法,
从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,
则这两个数中至少有1个偶数,总共有种取法.
又,,
接下来,找出 和 相等的情况:
当时,满足条件的取法情况有,共1种情况;
当时,满足条件的取法情况有,共2种情况;
当时,无满足条件的情况;
当时,满足条件的取法情况有,共2种情况,
所以.
四、解答题
15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,,求的值;
(2)若,且的面积,求a和b的值.
【解析】(1),,,故,
由余弦定理得;
(2),由半角公式得

即,
即,,

由正弦定理得,
因为,所以,解得,故,
的面积,故,
联立与得.
16.已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程;
(2)已知直线与相交于A,B两点,若,求的值.
【解析】(1)由题意可得解得
故的方程为.
(2)联立,得.
,解得.
设,则,

解得,即的值为.
17.如图,在四棱锥中,,,,,.
(1)求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】证明:由,,
可知≌,所以,
取的中点,连结,,
则,,且,
所以平面,
又平面,
所以.
由及,可知,又,
所以平面,
即平面,
以为原点,,所在直线分别为,轴,过作平面的垂线为轴,建立如图空间直角坐标系.
则,,,,
设,
则,
得,
所以,,.
设平面的法向量为,
则,即,
可取,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.已知函数,,.
(1)若函数存在2个零点,求的取值范围;
(2)记,
①当时,求的最小值;
②若的最小值为2,求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为,令,则,
设,则,令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,当时,,所以.
(2)①当时,,
设,则,
令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,当时,取到最小值2.
②,
由①知,,当且仅当取到等号,所以,
所以.
19.(2025·天津)已知数列是等差数列,是等比数列,.
(1)求,的通项公式;
(2),,有,
(i)求证:对任意实数,均有;
(ii)求所有元素之和.
【解析】解:
(1)设数列的公差为d,数列公比为,
则由题得,
所以;
(2)(i)证明:由(1)或,,
当时,
设,
所以,
所以,
所以,为中的最大元素,
此时恒成立,
所以对,均有.
(ii)法一:由(i)得,为中的最大元素,
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成:
当均为1时:此时该系列元素只有即个;
当中只有一个为0,其余均为1时:
此时该系列的元素有共有个,
则这个元素的和为;
当中只有2个为0,其余均为1时:
此时该系列的元素为共有个,
则这个元素的和为;
当中有个为0,其余均为1时:此时该系列的元素为共有个,
则这个元素的和为;

当中有个为0,1个为1时:此时该系列的元素为共有个,
则这个元素的和为;
当均为0时:此时该系列的元素为即个,
综上所述,中的所有元素之和为

法二:由(i)得,为中的最大元素,
由题意可得,
.
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次,
所以中的所有元素之和为.
第2页,共2页

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