资源简介 长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷一、单选题1.已知集合,则( )A. B. C. D.2.已知,则( )A. B. C. D.3.已知的内角A,B,C的对边分别为,,,若,,且为边上的高,为边上的中线,则的值为( )A.2 B. C.6 D.4.已知,则( )A. B. C. D.5.已知是两条不同的直线,为平面,,下列说法中正确的是( )A.若,且与不垂直,则与一定不垂直B.若与不平行,则与一定是异面直线C.若,且,则与可能平行D.若,则与可能垂直6.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示,则( )A. B. C. D.8.定义域为R的偶函数在上单调递减,且,若关于x的不等式的解集为,则的最小值为( )A. B. C. 2e D.二、多选题9.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )A.当时,B.C.随机变量,当,都减小时,概率增大D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变10.已知函数,则下列结论正确的是( )A. ,使得B. 函数的图象是一个中心对称图形C. 曲线有且只有一条斜率为的切线D. 存在实数,,使得函数的定义域,值域为11.已知点是抛物线的焦点,点是抛物线的准线与轴的交点,过点且斜率为的直线与交于两点,则下列说法正确的是( )A.的取值范围为B.C.若,则或D.点关于轴的对称点在直线上三、填空题12.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为________.13.若关于x的不等式恒成立,则的最大值是__________.14.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,且这三个数之积为偶数,记满足条件的这三个数之和为;从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,记满足条件的两个数之和为.则________.四、解答题15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面积,求a和b的值.16.已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.(1)求的方程;(2)已知直线与相交于A,B两点,若,求的值.17.如图,在四棱锥中,,,,,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数,,.(1)若函数存在2个零点,求的取值范围;(2)记,①当时,求的最小值;②若的最小值为2,求的取值范围.19.(2025·天津)已知数列是等差数列,是等比数列,.(1)求,的通项公式;(2),,有,(i)求证:对任意实数,均有;(ii)求所有元素之和.第2页,共2页长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷一、单选题1.已知集合,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以.故选D.2.已知,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数模的公式可知,.故选:.3.已知的内角A,B,C的对边分别为,,,若,,且为边上的高,为边上的中线,则的值为( )A.2 B. C.6 D.【答案】D【解析】因为为边上的中线,所以,又BE为边AC上的高,所以,在中,,所以.故选D.4.已知,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式得,由二倍角的余弦公式得,故B正确.故选:B5.已知是两条不同的直线,为平面,,下列说法中正确的是( )A.若,且与不垂直,则与一定不垂直B.若与不平行,则与一定是异面直线C.若,且,则与可能平行D.若,则与可能垂直【答案】D【解析】对A:在平面内,存在无数条直线和垂直,故A错误;对B:当时,与不是异面直线,故B错误;对C:若,且,与为异面直线,故C错误;对D:若,在内存在直线与垂直,故其可能与垂直,故D正确.故选D.【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.6.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增,所以只需要解得.故选D.7.已知函数的部分图象如图所示,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为图象过点,所以,为函数递减区间上的零点,可得,即,因为,所以.故选A.8.定义域为R的偶函数在上单调递减,且,若关于x的不等式的解集为,则的最小值为( )A. B. C. 2e D.【答案】C【解析】解:因为是定义域为R的偶函数,所以,所以可化为,即,因为在上单调递减,且,所以在上单调递增,且,所以当时,,当时,,因为的解集为所以当时,恒成立,或时,恒成立,所以,所以,当且仅当,时取等号.故选二、多选题9.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )A.当时,B.C.随机变量,当,都减小时,概率增大D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变【答案】BD【解析】对于A:当时,,故A错误;对于B:根据正态曲线的对称性可得:,即,故B正确;对于CD:根据正态分布的准则,在正态分布中代表标准差,代表均值,即为图象的对称轴,根据原则可知X数值分布在的概率是常数,故由可知,D正确,C错误.故选BD.10.已知函数,则下列结论正确的是( )A. ,使得B. 函数的图象是一个中心对称图形C. 曲线有且只有一条斜率为的切线D. 存在实数,,使得函数的定义域,值域为【答案】ABD【解析】因为,当,所以,可得,且,所以,使得,A选项正确;,所以函数的一个中心对称为,B选项正确;,又因为,所以,所以函数没有斜率为的切线,C选项错误;令,,所以,有两个交点,所以存在实数,,使得函数的定义域,值域为,D选项正确;故选:ABD.11.已知点是抛物线的焦点,点是抛物线的准线与轴的交点,过点且斜率为的直线与交于两点,则下列说法正确的是( )A.的取值范围为B.C.若,则或D.点关于轴的对称点在直线上【答案】ABD【解析】抛物线,其焦点,准线,则,直线方程为.A选项,联立,消去得.由直线与抛物线有两个交点,得,解得且,即取值范围是正确.选项,过作准线垂线,垂足为.由抛物线定义知,且.根据平行线分线段成比例,可得,变形得正确.选项,由,则.设,可得.又,联立解得错误.选项,直线斜率,直线斜率.设关于轴对称点为,则,且与有公共点,所以在直线上,正确.综上,答案选ABD.三、填空题12.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为________.【答案】或【解析】直线与坐标轴的交点为和,若是椭圆的焦点,是椭圆的一个顶点,此时椭圆的焦点在轴且,所以,离心率,若是椭圆的焦点,是椭圆的一个顶点,此时椭圆的焦点在轴且,所以,离心率,所以椭圆的离心率为或,故答案为:或.13.若关于x的不等式恒成立,则的最大值是__________.【答案】【解析】由,,原不等式可化为.设,则,当时,,递增;,,递减.所以,在处取得极大值,且为最大值;时,. 的图象恒在的图象的上方,显然不符题意;当时,为直线的横截距,其最大值为的横截距,再令,可得,所以取得最大值为.此时,,直线与在点处相切.【分析】由,,原不等式可化为.再利用导数研究函数的图象,根据的图象恒在的图象的上方,对进行分类讨论,即可得到答案.14.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,且这三个数之积为偶数,记满足条件的这三个数之和为;从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,记满足条件的两个数之和为.则________.【答案】【解析】从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,要满足三个数之积为偶数,则这三个数中至少有1个偶数,总共有种取法,从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,且这两个数之积为偶数,则这两个数中至少有1个偶数,总共有种取法.又,,接下来,找出 和 相等的情况:当时,满足条件的取法情况有,共1种情况;当时,满足条件的取法情况有,共2种情况;当时,无满足条件的情况;当时,满足条件的取法情况有,共2种情况,所以.四、解答题15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面积,求a和b的值.【解析】(1),,,故,由余弦定理得;(2),由半角公式得,即,即,,,由正弦定理得,因为,所以,解得,故,的面积,故,联立与得.16.已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.(1)求的方程;(2)已知直线与相交于A,B两点,若,求的值.【解析】(1)由题意可得解得故的方程为.(2)联立,得.,解得.设,则,,解得,即的值为.17.如图,在四棱锥中,,,,,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【解析】证明:由,,可知≌,所以,取的中点,连结,,则,,且,所以平面,又平面,所以.由及,可知,又,所以平面,即平面,以为原点,,所在直线分别为,轴,过作平面的垂线为轴,建立如图空间直角坐标系.则,,,,设,则,得,所以,,.设平面的法向量为,则,即,可取,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数,,.(1)若函数存在2个零点,求的取值范围;(2)记,①当时,求的最小值;②若的最小值为2,求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为,令,则,设,则,令,得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,因为,,当时,,所以.(2)①当时,,设,则,令,得,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,当时,取到最小值2.②,由①知,,当且仅当取到等号,所以,所以.19.(2025·天津)已知数列是等差数列,是等比数列,.(1)求,的通项公式;(2),,有,(i)求证:对任意实数,均有;(ii)求所有元素之和.【解析】解:(1)设数列的公差为d,数列公比为,则由题得,所以;(2)(i)证明:由(1)或,,当时,设,所以,所以,所以,为中的最大元素,此时恒成立,所以对,均有.(ii)法一:由(i)得,为中的最大元素,由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成:当均为1时:此时该系列元素只有即个;当中只有一个为0,其余均为1时:此时该系列的元素有共有个,则这个元素的和为;当中只有2个为0,其余均为1时:此时该系列的元素为共有个,则这个元素的和为;当中有个为0,其余均为1时:此时该系列的元素为共有个,则这个元素的和为;…当中有个为0,1个为1时:此时该系列的元素为共有个,则这个元素的和为;当均为0时:此时该系列的元素为即个,综上所述,中的所有元素之和为;法二:由(i)得,为中的最大元素,由题意可得,.所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次,所以中的所有元素之和为.第2页,共2页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷(学生用卷).docx 长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷(教师用卷).docx