资源简介

2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题 数学
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得：关于平面的对称点的坐标为，
故选：．
2. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】直线的斜率，
设其倾斜角为，
则，．
故选：．
3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】根据题意，点在平面内的正投影为点，
则的坐标为，
则．
故选：．
4. 如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】
，，，
则
．
故选：．
已知，，若点，，共线，则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为点，，共线，所以与共线，
所以，解得，，
故，，
．
故选：．
6. 已知向量，若，，，共面，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为，，，共面，则存在实数，，使得，即，
于是，
所以在上的投影向量的模为．
故选：．
7. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由题意可得，
设，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐标为．
故选：．
8. 如图四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，，，，，沿边将四边形折起，使得平面平面，如图，动点在线段上，，分别是，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，设，
则，，
，，
异面直线与所成的角为，
，当时，取最大值为：．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在棱长为的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
为中点，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由题意可知，，，，，，
，，，，
故A错误，B正确，C错误，D正确．
故选：．
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
【答案】
【解析】
对于：若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，
当直线在平面内时，若，不能得到，故A错误；
对于：已知，，三点不共线，对于空间任意一点，
若，由于，则，，，四点共面，故B正确；
对于：已知，，
则，，
由于与垂直，，可得，故C正确；
对于：的顶点坐标分别为，，，
所以，，
则，故D正确．
故选：．
11.如图，平面，，，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 二面角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】
【解析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，
因为，则与不垂直，
故选项A错误；
因为为平面的法向量，又，
则，又直线平面，
所以平面，
故选项B正确；
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
故，
由题意，，
设平面的法向量为，
则，即令，则，
故，
因为二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为，
故选项C正确；
设直线与平面所成角为，
则 ，
故选项D错误．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】过点和的直线的倾斜角为钝角，
直线的斜率小于，
即，即 ，解得，
故答案为．
平面的一个法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】根据题意，可得
，，，
又平面的一个法向量，点在内，
到的距离等于向量在上的投影的绝对值，
，
，
即，
故答案为：．
14.如图，两个正方形，的边长都是，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ______．
【答案】
【解析】因为两个正方形，，所以，，
所以即为二面角的平面角，即．
因为为对角线的中点，所以．
因为为对角线靠近点的三等分点，所以，
所以．
所以，
所以
．
所以，
所以线段．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知坐标平面内三点，，．
求直线，，的斜率和倾斜角；
若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围．
【答案】
由斜率公式得：
， ， ，—————————————————————6分
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为． —————————9分
如图，当直线由逆时针旋转到时，
直线与线段恒有交点，
即在线段上，此时由增大到，
的取值范围为 ———————————————————13分
16．已知，，，，，求：
，，；
与夹角的余弦值．
【答案】
∵， ， ————————————————————————————————2分
解得，， ————————————————————————————————————3分
则， —————————————————————————————————4分
∵，， 即， ————————————————————————————5分
解得， ———————————————————————————————————————6分
则． ——————————————————————————————————————7分
由得， ， ———————————————————————————9分
设与的夹角为，
=，=，
（）·（ ）==4 —————————————————————————————12分
——————————————————————————14分
与夹角的余弦值为．—————————————————————————————15分
17. 已知空间三点，，．
若点在直线上，且，求点的坐标；
求以，为邻边的平行四边形的面积．
【答案】
由题意知，，———————————————————————————————1分
点在直线上，设，
，
————————————————————————4分
(=)
，
，
，—————————————————————————————————————————6分
．——————————————————————————————————————7分
，，——————————————————————————————8分
，
，
，
，，————————————————————————11分
，——————————————————————————————————————12分
设以，为邻边的平行四边形面积为，
，
以，为邻边的平行四边形的面积为．——————————————————————15分
（若有其它解法，合理即可给分）

18．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
【解法一】
(1) 证明：因为底面，平面，平面，
所以，，因为，所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：———2分
（若图中没有标出坐标轴扣1分）
则，，，，， ————————3分
所以，，，，———————————————————4分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————6分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————8分
所以，即,
所以平面平面. —————————————10分
解：，，，，
所以，，，———————————————————————11分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————————————————————————13分
设直线与平面所成角为，————————————————————————————14分
则，——————————————————————17分
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（没设但有文字回答不扣分，没设且没有文字回答扣1分，）
【解法二】
证明：连接，设与相交于点，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，————————1分
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，————————3分
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，————————5分
因为平面，平面，，
所以平面平面．————————7分
因为底面，平面，平面，
所以，，因为，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：———9分
（若图中没有标出坐标轴扣1分）
则，，，，， ————————10分
所以，，， ————————11分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，————————13分
设直线与平面所成角为，————————14分
则，————————17分
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（没设但有文字回答不扣分，没设且没有文字回答扣1分，）
如图，等边三角形的边长为，点，分别是边，上的点，且满足将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，，如图．
求证：平面．
在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角为？
若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
证明：等边的边长为，且，
，，
中，，由余弦定理，得
，————————3分
，．————————4分
折叠后，仍有，————————5分
二面角成直二面角，平面平面，
又平面平面，平面，，
丄平面；————————8分
解：存在，理由如下：
由可知，，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．————————9分
假设在上存在点满足题意，
设， 作于点，连接，则，，，————————10分
所以，，，，
所以，．————————11分
因为平面，所以平面的一个法向量为————————12分
设为平面的法向量，由
取，得，————————14分
所以，= ————————16分
得，所以存在点，且，使平面与平面所成的角为． ————————17分只只
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■
(用户名和初始密码均为准考证号)
■
口必口
2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题数学
16.
姓名：
班级：
考场/座位号：
准考证号
[0]
0
[0]
注意事项
0
[0]
[0]
[0]
1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
[1]
[1]
[1]
2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。
[2]
3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。
(a)
3
[3]
[3
[3]
[3]
[3]
4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。
[
[4]
[4
[4]
[4]
5.保持答卷清洁、完整。
[5]
[5]
[5]
[5
[5]
[5]
[6]
[
H2845678
正确填涂
缺考标记
7
[81
同7
I
[9]
[9]
[9]
[9J
[9]
[91
r9]
1
客观题
I[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
T[A][B][C][D]
10[A][B][C][D]
2[A][B][C][DJ
5[A][BJ[C][D]
8[A][BJ[C][D]
11[A][BJ[C][D]
3[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
填空题
12.
3
主观题
15.
I
a
囚囚■
囚囚■
■
a
a
口
合今
1
I
I
口
ㄖ■ㄖ
囚■囚
■2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题 数学
评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D B A C B A A BD BCD BC
; 13. ; 14. .
15.【答案】
由斜率公式得：
， ， ，—————————————————————6分
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为． —————————9分
如图，当直线由逆时针旋转到时，
直线与线段恒有交点，
即在线段上，此时由增大到，
的取值范围为 ———————————————————13分
16．已知，，，，，求：
，，；
与夹角的余弦值．
【答案】
∵， ， ———————————————————————————————2分
解得，， ———————————————————————————————————3分
则， ————————————————————————————————4分
∵，， 即， ———————————————————————————5分
解得， ——————————————————————————————————————6分
则． —————————————————————————————————————7分
由得， ， ——————————————————————————9分
设与的夹角为，
=，=，
（）·（ ）==4 —————————————————————————————12分
——————————————————————————14分
与夹角的余弦值为． —————————————————————————————15分
17. 已知空间三点，，．
若点在直线上，且，求点的坐标；
求以，为邻边的平行四边形的面积．
【答案】
由题意知，， ———————————————————————————————1分
点在直线上，设，
，
————————————————————————4分
(=)
，
，
，—————————————————————————————————————————6分
． ——————————————————————————————————————7分
，，——————————————————————————————8分
，
，
，
，，————————————————————————11分
， ——————————————————————————————————————12分
设以，为邻边的平行四边形面积为，
，
以，为邻边的平行四边形的面积为．——————————————————————15分
（若有其它解法，合理即可给分）

18．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
【解法一】
(1) 证明：因为底面，平面，平面，
所以，，因为，所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：———2分
（若图中没有标出坐标轴扣1分）
则，，，，， ———————3分
所以，，，，———————————————————4分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————6分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————8分
所以，即,
所以平面平面. —————————————10分
解：，，，，
所以，，，———————————————————————11分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，—————————————————————————————————————13分
设直线与平面所成角为，————————————————————————————14分
则，——————————————————————17分
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（没设但有文字回答不扣分，没设且没有文字回答扣1分，）
【解法二】
证明：连接，设与相交于点，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，————————1分
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，————————3分
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，————————5分
因为平面，平面，，
所以平面平面．————————7分
因为底面，平面，平面，
所以，，因为，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：———9分
（若图中没有标出坐标轴扣1分）
则，，，，， ————————10分
所以，，， ————————11分
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，————————13分
设直线与平面所成角为，————————14分
则，————————17分
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（没设但有文字回答不扣分，没设且没有文字回答扣1分，）
如图，等边三角形的边长为，点，分别是边，上的点，且满足将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，，如图．
求证：平面．
在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角为？
若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
证明：等边的边长为，且，
，，
中，，由余弦定理，得
，————————3分
，．————————4分
折叠后，仍有，————————5分
二面角成直二面角，平面平面，
又平面平面，平面，，
丄平面；————————8分
解：存在，理由如下：
由可知，，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．————————9分
假设在上存在点满足题意，
设， 作于点，连接，则，，，————————10分
所以，，，，
所以，．————————11分
因为平面，所以平面的一个法向量为————————12分
设为平面的法向量，由
取，得，————————14分
所以，= ————————16分
得，所以存在点，且，使平面与平面所成的角为． ————————17分2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填涂在答题卡上。将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
已知，，若点，，共线，则( )
A. B. C. D.
6. 已知向量，若，，，共面，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
7. 若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
8. 如图四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，，，，，沿边将四边形折起，使得平面平面，如图，动点在线段上，，分别是，的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在棱长为的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
为中点，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
如图，平面，，，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 二面角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围为______．
13. 平面的一个法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为 ．
14. 如图，两个正方形，的边长都是，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知坐标平面内三点，，．
求直线，，的斜率和倾斜角；
若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围．
16．已知，，，，，求：
，，；
与夹角的余弦值．
17. 已知空间三点，，．
若点在直线上，且，求点的坐标；
求以，为邻边的平行四边形的面积．
18．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
如图，等边三角形的边长为，点，分别是边，上的点，且满足将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，，如图．
求证：平面．
在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角为？
若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页

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