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2025—2026学年第一学期第一次联考
七年级数学
题 号 一 二 三 四 总 分
得 分 　 　 　 　
单选题（每小题3分 共30分）
1．下列纹样图是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
3．已知二次函数，当时，y的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． 且 D． 且
6．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
7．喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的顶点在第四象限，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分 共30分）
11．已知方程，用配方法化为．则 ．
12．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项的系数为 ．
13．关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是 ．
14．如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为 ．
15．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
16．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ．
17．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ．
18．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为
三、解答题（共66分）
19．（6分）解方程：(1)；(2)．
20．（8分）已知关于的函数．
(1)若该函数为二次函数，求的值；
(2)若该函数为一次函数，求的值．
21．（8分）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，请结合图象直接写出的取值范围；
(3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值．
22．（8分）如图，抛物线其中为常数且经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标．
23．（8分）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程的两根分别为
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
25．（10分）如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线经过点B、C．
(1)求直线的函数关系式；
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
26．（10分）如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点．
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B C C C C B C
1．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且．
由，得．
由，得．
∴．
故选：．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可．
【详解】解：将代入函数中：
，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值．熟练掌握方程的根满足方程，将根代入方程得到等式，再利用整体代入法求代数式的值是解题的关键．
先利用方程的根求出与的关系，再对所求式子进行转化并代入求值．
【详解】解：把代入方程中，可得，
即，
∴．
把代入可得：
．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键．
由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解．
【详解】∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴ 且，即且，
解得且，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C
7．C
【分析】本题主要考查了平均变化率与一元二次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程；
【详解】解：由题意可列方程为：，
故选：C．
8．C
【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴，熟记二次函数的性质是解题的关键．先求得二次函数的对称轴，利用二次函数的性质，可知该函数开口向上，以及对称轴右侧随的增大而增大，从而知道，最后解不等式即可．
【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大，
，
∵对称轴为
又
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，点的坐标特征，由题意可得抛物线的顶点坐标为，再根据点的坐标特征即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴，，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
则二次函数可得，开口向上，
又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧，
故二次函数的图象大致为：
故选：．
11．3
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，
根据完全平方公式加上一次项系数一半的平方配方，再根据对应系数相等可得答案.
【详解】解：方程，
配方，得，
即，
则，
解得.
故答案为：3.
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是，
∴化成的一般形式为，
∴一次项系数为，
故答案为：．
13．，
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是找出两个方程的联系，利用换元法求解．
把后面一个方程中的看作整体，用y来表示，相当于前面一个方程中的x的解．从而解出后面这个方程的解.
【详解】解：设．
由题意，得方程的解是，.
关于的方程的解满足，.
解得,．
故答案为：, ．
14．
【分析】本题考查二次函数图像的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键．
根据抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图像与轴一个交点为，
∴图像与轴的另一个交点坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了抛物线与与y轴的交点坐标，根据在y轴上的点的横坐标为0，即把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，令，则，
即抛物线与y轴的交点坐标是，
故答案为：．
16．0或2
【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可．
本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键．
【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上，
∴，
解得，
故答案为：0或2．
17．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式的关系．先将变形为，再分三种情况利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：，
∴当时，恒成立，
当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方，
∴二次函数的图象关于对称，
∵，
∴二次函数的图象开口向上，且时，有最大值，
∴，解得：，
∴；
当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴，解得：，
∴；
当时，恒成立；
综上，k的取值范围是．
故答案为：．
18．①
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关性质，运用数形结合思想是解题的关键；根据开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点可以判断①，②，根据作差法即可判断③，函数图象在x轴的下方，结合图象即可判断④．
【详解】解：由图可知，该抛物线图象开口向下，且对称轴为直线，
，，
，
抛物线交y轴于正半轴，
，
，故①正确，符合题意；
对称轴为直线 ，
，
，
，故②不正确，不符合题意；
，，
，
，故③不正确，不符合题意；
由图象可知，当时，或，故④不正确，不符合题意；
综上所述，正确的为①，
故答案为：①．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据直接开平方法把原方程化为两个一次方程，进而解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
20．(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）根据二次函数的概念得，且，求解即可；
（2）根据一次函数的概念得且，，求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得，且，
解得
∴时，该函数为二次函数；
（2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时，
且，
解得，
当首项系数为零时，，
解得和，
综上，，和时，该函数为一次函数．
21．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可；
（2）令，代入函数解析式求出两个的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定的取值范围；
（3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
将函数与轴正半轴交点的坐标代入得，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）当时，，
整理得，解得，
∵二次函数中，
∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是．
（3）由题意，平移后的函数解析式为，
将点代入得，解得．
22．(1)抛物线的函数解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形面积，掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据抛物线与轴的交点和，设抛物线的解析式为，再把点坐标代入，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点P作轴于点D，交于点E．设点P的坐标为，则点E的坐标为，则，然后根据三角形面积公式计算即可．
【小题1】解：根据题意知抛物线与轴的交点为和，
∴设抛物线的函数解析式为．
把代入，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
故答案为：抛物线的函数解析式为．
【小题2】解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E．
设直线的解析式为．将代入，得
解得
直线的解析式为．
设点P的坐标为，则点E的坐标为，
，
．
，开口向下
当时，有最大值，此时点P的坐标为．
故答案为：
．
23．(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意，
∴．
25．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，通过图象交点求不等式的解集等内容，解题的关键是掌握两个函数的图象和性质．
（1）利用二次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）通过函数图象的交点得出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：由抛物线解析式得，
当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
将和代入得，
，
解得
∴直线的函数关系式为；
（2）解：如图所示，
由图象可得，当时，或．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键．
（1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求；
（2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：如图所示，点P即为所求．
答案第1页，共2页

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