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洛南中学2025-2026学年度第一学期第一次月考
高二数学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（ ）
A．0.16 B．0.4 C．0.5 D．0.8
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4. 洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”。国庆期间，小明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6个景区中随机选择2个景区游览，则这2个景区中有“音乐小镇”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱柱中，是侧面的中心，则（ ）
A． B． C． D．
7. 在棱长为的正四面体中，若，则（ ）
A. 2 B. C.1 D.
8． 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为60°，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件B与C互斥 B．
C．事件A与C相互独立 D．
10题图 11题图
11．如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知事件相互独立，且，，则 .
13．在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为 .
已知正三棱柱的底面边长为2，是的中点，若线段上有一点，
使得，则侧棱长的取值范围是________.
解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13分)某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：
男同学 女同学
满意 400 350
不满意 20 30
（1）从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；
（2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好是一男一女的概率．
16．(15分)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点.
（1）用，，表示；
（2）若底面是正方形，且，
，求.
17．(15分)如图，在四棱柱中，，，，．，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
18．(17分)甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．
（1）求小队猜对3个谜题的概率；
（2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．
19．(17分)如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.
（1）求证：平面；
（2）若二面角大小为30°，求的值.2025-2026学年度第一学期第一次月考
高二数学 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A D C C A C B A
题号 9 10 11
选项 BC BCD ABD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13. 0.92 14.[1,＋∞）
解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（本题满分13分）
解：（1）依题意，从这800名学生中随机抽取一人，
该学生是女同学且对食堂满意的概率为..........................5分
（2）不满意的男女生比例为，
用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，
则男生抽取2人，女生抽取3人，.......................................7分
男生记为1,2，女生记为3,4,5，
在这5人中随机选出2人，基本事件为，
，共个，....................................9分
其中一男一女的为：，，共个，.............11分
所以在这5人中随机选出2人发一份小礼品，这2人恰好是一男一女的概率为.
....................................................................13分
(本题满分15分)
解：
........................6分
解：
........................10分
所以
.....................15分
（本题满分15分）
（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，...............2分
由是的中点，故，且，.......4分
则有、，故四边形是平行四边形，故，....5分
又平面，平面，
故平面；................................................6分
（利用向量证明同样给分）
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，............8分
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，................................................12分
则，.................................14分
故平面与平面的夹角余弦值为；............................15分
（本题满分17分）
解：（1）小队猜对3个谜题共有2种情况：
①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个，
所以小队猜对3个谜题的概率为．......8分
（2）甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有：
①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个；
所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为．....................17分
（本题满分17分）
（1）证明：，，为的中点，
四边形为平行四边形，，
又，，即，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
平面，平面平面；．............．..................6分
（2）解：，为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，．.............8分
易知平面的法向量为，又，，，
，，
设，，
，又，
设平面的法向量为，则，即.
令，得，.............................................12分
二面角为，，解，
即，..........．.........．............................17分

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