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2025～2026学年度第一学期第一次阶段性作业
九年级数学
注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号．
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.已知是关于的一元二次方程，则m的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列各组的两个图形中，一定相似的是（ ）
A.两个矩形 B.两个正方形 C.两个直角三角形 D.两个菱形
3.如图，，若，则BD的长为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
4.一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2，则估计口袋中白球的个数为（ ）
A.20个 B.16个 C.10个 D.8个
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件后仍不能判定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
6.某校九年级为了落实五育并举，提升学生的综合素养，组织一次篮球赛，各班都积极参与，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则该校九年级的班级共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正方形ABCD中，，点E是BC边上的动点，连接DE，以DE为腰向右侧作等腰直角、，若四边形ABED的面积与的面积相等，则BE的长为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9.若是关于x的方程的一个根，则m的值为_______．
10.线段a，b，c，d是成比例线段，且，则_______cm．
11.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？”设长为x步，可列方程为_______．
12.如图，在正方形ABCD中，连接BD，延长BA至点E，使得，连接DE，则的度数为_______°．
13.物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验、“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A，B，C，D表示电路的开关（同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时、小灯泡L发光的概率是_________．
14.如图、在菱形ABCD中，，点E、F分别在边AD、BC上（均可与端点重合），连接AF、BE，若，则的最小值为_________．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15.（5分）解方程：
16.（5分）如图，四边形四边形，求的度数．
17.（5分）对于任意实数a、b，定义新运算：，例如，求方程的解．
18.（5分）如图，已知直线，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接AB、CD，使得四边形ABCD是矩形．（不写作法，保留作图痕迹）
19.（5分）如图，在中，于点E，于点F，，求证：四边形AECF是正方形．
20.（5分）榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放．
（1）甲停放在A位置的概率为________；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率．
21.（6分）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若某等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，求m的值．
22.（7分）如图，在中，点D是边AB的四等分点（），交BC于点E，交AC于点F．，求四边形DECF的周长．
23.（7分）如图，在矩形ABCD中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点O从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接PQ．当的面积为225时，求点P运动的时间．
24.（8分）如图，在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AC平分．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作交BC的延长线于点E，若，求OB的长．
25.（8分）中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销、销售量持上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达72盒．
（1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率．
（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒，已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？
26.（12分）【问题探究】
（1）如图1，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，作交BC的延长线于点H，连接EH．判断DE与DH的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）为了引导学生关注科学，培养学生的创新意识，某校修建了校园科创角，如图2，正方形ABCD是校园科创角的平面示意图，GH是该校园科创角内一条长为的小路，现要从D向AB铺设一条地下水管DE，在DE与GH．的交点O处修建灌水井，要求DE与小路GH的夹角，已知，求地下水管DE的长．

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