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2025-2026学年江苏省无锡市太湖高级中学高一上学期 9月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∣ 2 4 5 = 0 , = ∣ 2 = 1 ，则 ∪ 等于( )
A. 1,5 B. 1, 5 C. 1, 5,1 D. 1,1,5
2.已知 : > 1，且 > 2， : + > 3，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若命题“ ∈ R， 2 1 > ”是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, 1) C. [ 1, + ∞) D. ( 1, + ∞)
4.满足 0 0,1,2,3 的集合 的个数为( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
5.下列命题为真命题的是( )
A.若 > > 0，则 2 > 2 B.若 > > 0，则 2 > 2
C.若 < < 0，则 2 < < 2 D.若 < < 0 1 < 1，则
6.若集合 = 1, ( > 0)中的元素是 的两条边的边长，则( )
A. 一定不是等腰三角形 B. 一定不是直角三角形
C. 一定不是等边三角形 D. 一定不是钝角三角形
7.若不等式 2 + + > 0 的解集为{ ∣ 2 < < 1}，则不等式 2 + + < 0 的解集为( )
A. 1 < < 12 B. { ∣ < 1 >
1
或 2 }
C. 12 < < 1 D. { ∣ <
1
2或 > 1}
8.已知实数 , 满足 + 3 = 3，且 0 < < 1 3+ 12，求 3的最小值为( )
A. 2 3 B. 3 + 2 3 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 0 ∈ B. 0
C.若 ∪ = ，则 D.若 ∩ = ，则
10.已知 1 ≤ < 2, 3 < ≤ 4，则下列说法正确的是( )
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A. 2 < + < 6 B. 3 < < 5 C. 6 < < 8 D. 3 < ≤ 4
11.函数 = 3 + 2 + + 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. > 0
B.方程 3 + 2 + + = 0 的三个根分别为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3
C.不等式 3 + 2 + + > 0 的解集为{ ∣ < 1 或 2 < < 3}
D.不等式 3 + 2 + + < 0 的解集为{ ∣1 < < 2}
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.命题 : ∈ ， + 1 ≥ 0.则命题 的否定为： ．
13.若 > 1 4，则 3 + 1的最小值为 ．
14.关于 的不等式 2 + 1 < 0 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = 1,3, 2 , = {1, + 2}，是否存在实数 ，使得 ∪ = 若存在，试求出实数 的值;若不存在，
请说明理由．
16.(本小题 15 分)
设全集 = ，集合 = ∣ 2 6 + 5 ≥ 0 , = { ∣2 ≤ < 1 + 2 }，其中 ∈ ．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ≠ 且“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某校要建造一间 24m2的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为 1200 元/m2，房屋侧面的造价为 800
元/m2，屋顶的造价为 10000 元.如果墙高 3m，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长 为多少 m 时，
长方形小房的造价 最低？最低造价是多少？
18.(本小题 17 分)
(1)若 > 0, > 0，且 = + + 3，求 , + 的取值范围．
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(2)解关于 的不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0，其中 ∈ ．
19.(本小题 17 分)
对于集合 = 1,2,3 ，集合 = 2,3,4 ．
(1)若把集合{ ∣ ∈ ，且 }称为集合 与 的差集，记作 ，求 和 ；
(2)若把集合 ( , )∣ ∈ , ∈ 称为集合 与 的积，记作 × ．
( )求 × ；
( )若集合 = 1, 2, 3, …, ，集合 = 1, 2, 3, …, ，问 × 中有多少个元素？请写出这些元素．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ ， + 1 < 0．
13.4 3 + 3
14.( 4,0]
15.解： ∪ = ∴ {1, + 2} 1,3, 2 ，
2
+ 2 = 3 + 2 =
∴ 2 ≠ 1或 + 2 ≠ 1
2
,
2 ≠ 3 ≠ 1
2 ≠ 3
∴ = 2，
∴存在实数 = 2，使得 ∪ = ．
16.解：(1)因 = { | ≤ 1 或 ≥ 5}，故 = |1 < < 5 ，
因为 ∩ = ，故
2 ≤ 1
，故 1 + 2 ≥ 5，解得 ≥ 2．
(2)因为 ≠ ，故 2 < 1+ 2 即 > 13．
而由“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，可得 为 的真子集，
> 13 1
故 2 > 1，故3 < < 1．
1 + 2 ≤ 5
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17.解：设底面的长为 m，宽 m，则 = 24，
设房屋总造价为 ，由题意可得：
= 3 1200 + 2 × 3 800 + 10000，
由 = 24，且 > 0, > 0．
= 3600 + 4800 + 10000 ≥ 2 3600 4800 + 10000 = 28800 2 + 10000
3600 = 4800 = 4 2
当且仅当 = 24，即 ，此时造价最低． = 3 2
综上：当长为 4 2m，宽为 3 2m 时，最低总造价是 28800 2 + 10000 元.
18.解：(1)由 > 0, > 0，得 = + + 3 ≥ 2 + 3，当且仅当 = = 3 时取等号，
则( )2 2 3 ≥ 0，解得 ≥ 3，因此 ≥ 9，
又 + + 3 = ≤ ( + )22 ，当且仅当 = = 3 时取等号，
则( + )2 4( + ) 12 ≥ 0，而 + > 0，解得 + ≥ 6，
所以 , + 的取值范围分别为[9, + ∞), [6, + ∞)．
(2)当 = 0 时，解不等式 2 + 1 ≥ 0 1，得 ≥ 2；
0 < < 1 1± 1 当 时， = 4 4 > 0，解方程 2 + 2 + 1 = 0，得 = ，
因此不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0 ≤ 1 1 ≥ 1+ 1 的解为 或 ；
当 ≥ 1 时， = 4 4 ≤ 0，不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0 恒成立，解集为 R；
当 < 0 时， > 0，不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0，即 2 2 1 ≤ 0 1+ 1 1 1 ，解得 ≤ ≤ ，
1
所以当 = 0 时，原不等式的解集为[ 2 , + ∞)；
当 0 < < 1 时，原不等式的解集为( ∞, 1 1 ] ∪ [ 1+ 1 , + ∞)；
当 ≥ 1 时，原不等式的解集为 R；
当 < 0 [ 1+ 1 , 1 1 时，原不等式的解集为 ]．
19.解：(1)因为 1 ∈ , 1 ，2 ∈ , 2 ∈ ，3 ∈ , 3 ∈ ，所以 = 1 ；
因为 2 ∈ , 2 ∈ ，3 ∈ , 3 ∈ ，4 ∈ , 4 ，所以 = 4 ．
(2)( )已知 = 1,2,3 , = 2,3,4 ，
当 = 1 时， = 2,3,4，构成有序对(1,2), (1,3), (1,4)；
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当 = 2 时， = 2,3,4，构成有序对(2,2), (2,3), (2,4)；
当 = 3 时， = 2,3,4，构成有序对(3,2), (3,3), (3,4)；
所以 × = (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4) ．
( )若集合 = 1, 2, 3, 有 个元素，集合 = 1, 2, 3, 有 个元素，
则 × 中的每一个元素是由 中的一个元素和 中的一个元素组成的有序数对 , ，
(其中 = 1,2,3, , ， = 1,2,3, ).
因此， × 中元素的个数为 × ，所有元素为 ( , )| = , = , = 1,2,3, , ; = 1,2,3, ．
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