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山西省2025—2026学年度九年级阶段评估（A）
数 学
上册21.1~22.1
说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若方程是一元二次方程，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．二次函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．如图，点在抛物线上，若点的横坐标为2，则点到轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C．10 D．11
5．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（ ）
A． B． C． D．
7．若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6 …
A． B． C． D．
9．已知抛物线，当时，随的增大而减少，则该抛物线的顶点坐标在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，该图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．方程的一个根为，则另一个根为___________．
12．将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的函数解析式为___________．
13．若一个多边形共有35条对角线，则这个多边形的边数为___________．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________．
15．如图，第四象限内一点在抛物线上，点的坐标为，第四象限内一点在直线上，横坐标为．若向右平移抛物线后，的顶点恰好都在新抛物线上，则的值为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
解下列方程．
（1）． （2）．
17．（本题7分）
如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上．
（1）将化成顶点式．
（2）直接写出的面积．
18．（本题8分）
已知两个代数式，记．
（1）若，不求解判断根的情况．
（2）若关于的方程的解为和，求的值．
19．（本题7分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．
（1）若，求的值．（用含的式子表示）
（2）若，且点位于对称轴的两侧，请直接写出的取值范围．
20．（本题8分）项目学习项目
背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习
活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习
活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次．
活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于30cm2？
平台回复的结果：……
交流展示 ……
请根据以上的活动报告，解答下列问题．
（1）求所使用平台前三天下载量的日平均增长率．
（2）请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由．
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 的公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”．
任务：（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________．
（2）将小明解答过程中的横线处的内容补充完整．
（3）请用“平均数法”解方程：．
22．（本题13分）综合与实践
问题情境：在“综合与实践”课上，老师提出问题：如图1，从一张长为30cm的矩形纸片中裁出一个菱形，点在矩形的边上，且对角线与矩形的长垂直，．若菱形的面积为144cm2，求矩形的宽．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：（2）老师让同学们用同样大小的矩形纸片研究新的裁剪方法，并提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，裁剪的菱形的四个顶点分别到矩形四边的距离都相同，面积为140cm2，求菱形顶点到矩形边的相同距离．
②“智慧小组”提出问题：如图3，沿矩形的两条长边裁剪菱形，为矩形的顶点，点在矩形的边上，直接写出的长．
23．（本题13分）综合与究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式，并直接写出点的坐标．
（2）如图，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与交于点．
①当抛物线与线段有交点时，求的取值范围．
②若点到点的距离相等，请直接写出的值．

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