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滨城2025-2026学年度上学期9月月考
高一数学试题（B卷）
考试时间：120分钟 满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组中的、表示同一集合的是（ ）
①；
②；
③；
④
A．① B．② C．③ D．④
2．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设且，“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．且 C． D．
6．已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知集合满足：
①；
②，若且，则；
③，若且，则.
则下列结论正确的是（ ）
A．若集合中有最大数，则集合中没有最小数
B．若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数
C．，使得
D．，存在无理数，使得
A．
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题：，，则的否定为：，
D．若，则
11．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设全集，集合，，且，则实数的取值范围是 ．
13．某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为 ．
14．已知，且，则 .（填中最恰当的一个）
四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知集合.
(1)若，求实数的值；（5分）
(2)若且，求实数的值.（7分）
16．已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为.
(1)若，求集合.（5分）
(2)已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数.（12分）
（i）证明：；
（ii）求的最小值.
17．已知命题， 都有恒成立；命题，一次函数的图象在轴下方.
18．给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合．
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；（5分）
(2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；（6分）
(3)若集合为闭集合，且 ， ，证明： ．（6分）
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（6分）
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；（6分）
设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．（7分）
《2025-2026学年度上学期9月月考》高一数学（B卷）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A A C C C ABD ABC
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．
15.（1）由题可得，
由于，从而2，3是方程的两根，
即解得.
（2）因为.
因为，又，所以且，
即，化简得，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，
故符合题意，
综上，实数的值为.
16.（1）根据定义得，
则
（2）（i）若，则，且.
于是，，从而，，因此成立.
否则，若或，则必有，
综上，成立.
（ii）令，首先证明.
依题意可知.
由（i）可知，
只需证明.
若，则，于是.
否则，不妨设中的最大元素为，且，则必有.
考虑元素.
若，又，因此；
若，则，由于，因此，
注意到，因此.
因此，对任意或中总有一个成立，
故.
因此.
综上可知，.
其次证明，存在集合使得，
取，此时.
于是，，此时.
综上可知，.
17．(1)
(2)
则，即，故实数的取值范围是；
所以“，一次函数的图象在轴或轴上方”为真命题，
所以，解之得.，
故实数的取值范围是.
18．（1）A不是闭集合，B是闭集合．
∵，，，∴A不是闭集合；
任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定；
不妨令，，
则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合，
∵，，
因此，不是闭集合，
∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合；
（3）假设，
由 ，可得存在且，故；
同理，存在且，故，
∵，∴或．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故 ．
19．（1）由，
根据题意的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和．
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下：
因为点是点的“上位点”，所以，
因为，
所以，所以点是点的“下位点”，
因为，
所以，所以点是点的“上位点”；
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”；
（3）由题意对任意，都成立，
所以，所以，即
即总存在正整数，使不等式成立，
则对任意，都成立，
所以，即对任意，为正整数恒成立，
所以，所以
所以正整数的最小值为4051.

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