资源简介

第二十二章 二次函数综合能力测评卷
时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列函数中，其图象是抛物线的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
4．（本题3分）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 24 8 0 3 15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限
C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线
5．（本题3分）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（ ）

A．30 B．36 C．48 D．56
7．（本题3分）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
8．（本题3分）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
9．（本题3分）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
10．（本题3分）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共19分）
11．（本题3分）二次函数、的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．
12．（本题3分）请写出一个符合下列全部条件的函数解析式 ：
（1）图象不经过第三象限，
（2）当x＜﹣1时y随x的增大而减小，
（3）图象经过点（1，﹣1）
13．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．

14．（本题3分）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是．篮球出手点距离地面的高度为 m．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

16．（本题4分）已知抛物线（，为常数，）经过点，顶点为．当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当的最小值为时，则 ，点坐标 ．
三、解答题（共71分）
17．（本题8分）如图，已知二次函数的图象经过点和点．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
(3)点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
18．（本题8分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当函数值时，对应的x的取值范围是 ；
(4)当时，直接写出y的取值范围．
19．（本题8分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为．
(1)几秒后四边形的面积是？
(2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值．
20．（本题8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设．
(1)设矩形羊圈的面积为S，请写出S与x的关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
21．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．
22．（本题9分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
23．（本题10分）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2．
(1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第二十二章 二次函数综合能力测评卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A B B D A A D
1．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象是抛物线，形如的函数叫做二次函数．据此判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，其图象是抛物线，故本选项符合题意；
B、是一次函数，其图象是直线，故本选项不符合题意；
C、是正比例函数，其图象是直线，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，其图象是双曲线，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
【详解】解∶ 抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，
故选∶D．
3．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误．
【详解】解：将点和和代入二次函数
得：，
解得，
则二次函数的解析式为．
A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意；
B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意；
C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意；
D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系解题是关键．先求出对称轴，再根据题意得，求出b的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴，开口向上，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
解得：，
故选B．
6．B
【分析】设抛物线的表达式为，把代入求出的值，再把代入即可求出的值．
【详解】解：设抛物线的表达式为，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
8．A
【分析】
本题主要考查了二次函数的相关知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由一次函数与二次函数图像相交于、两点可知，方程有两个解，等价于函数与x轴有两个交点.
【详解】解：∵，
∴函数开口向上，
.∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，
∴方程有两个不相等的根，
∴函数与x轴有两个交点，
故C不符合条件；
∵
∴，
∴函数的对称轴，
故B、D不符合条件，A符合条件，
故选A.
9．A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．
【详解】解：根据二次函数图象可知：，，，
∴，
∴，故①不正确；
将点，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ，
∵，
∴，，，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
把，代入方程，
得
∴，，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
11．＞
【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n，
由图象可知当x＝1时，y1＞y2，
∴m＞n．
故答案为＞．
点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键．
12．y=﹣x．
【详解】试题分析:可考虑一次函数、二次函数的解析式，本题答案不唯一，只要符合条件即可．
解：符合条件的函数可以是一次函数、二次函数，如y=﹣x，y=（x﹣1）2﹣1等．
故答案为y=﹣x．
考点：二次函数的性质．
13．
【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可．
【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，
方程的解为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的应用．将代入计算即可．
【详解】解：当时，，
∴篮球出手点距离地面的高度为
故答案为：．
15．或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
16．
【分析】本题二次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，一次函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．先求出，从而可得，再由二次函数的性质可得抛物线顶点，对称轴为直线，求出点，作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，当满足条件的点落在线段上时，最小，此时，过点作轴于，由勾股定理求出，从而可得点的坐标为，点的坐标为，求出直线的解析式为，求出当时的值即可得解；
【详解】解：∵抛物线（，为常数，）经过点，
∴，
∴，
∴抛物线顶点，对称轴为直线，
∵当时，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为，
∴点，
如图，作点关于直线的对称点，
，
由轴对称的性质可得，
当满足条件的点落在线段上时，最小，
此时，
过点作轴于，
在中，，，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
故答案为：，．
17．(1)
(2)该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为
(3) ， 点的坐标为
【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：，
二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：点函数图象上，
，
解得：，
，
舍去，
，
点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象和性质．
（1）设交点式，然后把代入求出得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数图象在轴下方部分写出对应的自变量的范围；
（4）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【详解】（1）解：由表格知：当时，；当时，；
设 ，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
如图，
（3）解：当函数值时，对应的x的取值范围；
故答案为：；
（4）解：时，，
当时，y的取值范围是．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值；
（2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得：
，
，
令，
解得：或（不符合题意，故舍去），
答：秒后四边形的面积是；
（2）解：由（1）可得：
，
，
抛物线开口向上，
当时，取得最小值，其最小值为．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键．
20．(1)
(2)当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式．
（1）根据栅栏总长列式得出表达式，再根据，及外墙长列不等式组解决即可；
（2）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵外墙长且，
，
解得：，
∴S与x的关系式为；
（2）解：
，
，
∴当时，S最大，此时，，
∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，然后过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得：，，
∴点B的坐标为，
∴，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点D，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
∴最大为，
∴．
22．(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
23．任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
24．(1)，，
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）令，则，求出方程的解，即得A，C两点的坐标；再用待定系数法求出直线的函数表达式；
（2）设点的横坐标为，则可用含的代数式表示的长，再根据二次函数的性质求出长度的最大值；
（3）以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分两大类，第一类是以为边的平行四边形，又分三种情况：①点F在点的左侧，②点F在点的右侧，③点F在之间．分别根据平行四边形的性质及一次函数的图象及性质，可逐步求得点F的坐标；第二类是以为对角线的平行四边形，同样利用，即可求得答案．
【详解】（1）令，则，
解得或，
∴，，
将点的横坐标代入得，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的函数解析式是；
（2）设点的横坐标为，
则P，D的坐标分别为，，
点在点的下方，
，
当时，的最大值为；
（3）存在这样的点，
当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，分三种情况：
①点F在点的左侧时，如图，连接点与抛物线和轴的交点，
那么轴，
此时，
点的坐标是；
②点F在点的右侧时，如图，
此时B，E两点的纵坐标互为相反数，
点的纵坐标为，代入抛物线中即可得点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入后可得出直线的解析式为，
令，则，
因此直线与轴的交点的坐标为；
③点F在之间时，如图，
同②可求出的坐标为；
当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，如图，
同①，则，
点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述，存在这样的点，坐标为，，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数中动点最值问题，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关性质及定理是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑