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1.4空间向量的应用检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第二册
一、选择题
1．（2024高二上·浙江期中）点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（　　）
A． B．6 C． D．8
2．（2024高二上·杭州期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·盘州期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（　　）
A．或 B．或1 C．或2 D．
4．（2024高二上·新会月考）如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·广东月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·武义月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·郴州期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·广西壮族自治区期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024高二上·威宁期末）下列命题中，正确的是（　　）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
10．（2024高二上·自贡期末）已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（　　）
A．与一定不垂直
B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值
D．二面角的正弦值是
11．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球的体积为
三、填空题
12．（2024高二上·浙江期中）在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为　 　.
13．（2024高二上·广东月考）四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为　 　.
14．（2024高二上·龙岗月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　.
四、解答题
15．（2024高三上·广东月考）如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
16．（2024高二上·南海期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
17．（2024高二上·浙江期中）如图，，，且，平面平面，四边形为正方形.
（1）求证：.
（2）若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2024高二上·绍兴期中）如图，在长方体中，分别为棱，的中点.
（1）证明：四点共面；
（2）为边上一点，若平面与平面ABCD所成夹角的余弦值为，求CP的长度.
19．（2024高二上·浙江期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点．
（1）求证：平面；
（2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（3）解：设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
16．【答案】（1）证明：在正方体中，，
则四边形为平行四边形，
因此，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：在棱长为的正方体中，射线两两垂直，
以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，棱的中点，
可得，
设平面的法向量，
则，
令，得，
则为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）知，，
所以，点到平面的距离.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，，
，，
又因为，
，
，
平面平面，且交线为，
平面，且平面，
，
又因为四边形为正方形，
所以，且，平面，
平面，
平面，
.
（2）解：，平面平面，且交线为，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则点到平面的距离为点到直线的距离，且为，
又因为点在线段上，且点到平面距离为，
所以，点为线段的三等分点（靠近点），
如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
又因为，，
设平面的法向量，
则，
不妨令，可得，
则，，
设平面的法向量，
则，
不妨令，可得，
则平面的法向量，
设平面与平面所成角为，
则，
由图可知平面与平面所成角为锐角，
所以，平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）证明：连接，如图：
因为分别为棱，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为，
所以，
所以四点共面.
（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由分别为棱，的中点，
可得，，
设，
则，，，
设平面的法向量为，
则，可取，
又因为为平面的法向量，
因为平面与平面ABCD所成夹角的余弦值为，
设平面与平面ABCD所成夹角为，
则，
解得或3，
所以的长度为1或3.
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，
在中，因为分别为的中点，
所以，，
在菱形中，因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
因此，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，平面
所以，.
又因为，
所以，
在菱形中，，
因为为中点，
所以，
则建立如图空间直角坐标系D-xyz，
在正三角形中，，
又因为，
所以，，，，，
所以向量，，
设平面的法向量为，
则，
所以.
取，得，.
设直线与平面所成角为，
则，
可得，
解得：，
又因为，
所以.
（3）解：设，
由（2）知：，，
所以，
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
则，
当时，取到最大值，此时.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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