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第1章空间向量与立体几何检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
3．如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知平面的一个法向量是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（　　）
A． B． C．3 D．
6．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体中，必有
D．向量的模为
10．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（　　）
A．当时，
B．直线与所成的角不可能是
C．若，则二面角平面角的正弦值为
D．当时，点到平面的距离为
三、填空题
12．已知，，，则　 　.
13．如图，正四面体的长为1，，则　 　．
14．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值　 　．
四、解答题
15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
16．如图，在四面体中，，，.
（1）求的值；
（2）已知是线段中点，点满足，求线段的长.
17．如图，平行六面体中，，，，.
（1）以向量为基底表示向量，求对角线的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且与均为正三角形，G为的重心.
（1）求证：平面PDC；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
19．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
答案解析部分
1．C
2．D
3．D
4．A
5．A
6．D
7．B
8．B
9．C,D
10．A,C
11．A,B,D
12．2
13．
14．
15．（1）解：；
如图所示：
（2）解：；
如图所示：
（3）解：，
设是线段的中点，则.
如图所示：
16．（1）解：在四面体中，，，，
；
（2）解：如图所示：
因为，所以，
又因为是中点，则，
，
.
17．（1）解：以向量为基底，则有，
因为，，则为等腰直角三角形，
所以，又因为，，所以为边长为1的等边三角形，，
所以，所以，对角线的长度为3；
（2）解：因为，，，，
所以，所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18．证明：（1）设PD的中点为E，连接AE，CE，GF，
∵，，，
∴.
又∵G为的重心G，
∴，
∴，
∴，
又∵面PDC，面PDC，
∴平面PDC.
解：（2）设O为AD的中点，为正三角形，则.
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面ABCD，
过O分别作BC，AB的平行线，建系如图，
∵，，，
易知平面PAD的法向量，
设平面PBC的法向量为，
∴，，
∴
所以，，
则平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.
19．证明：（1）连结AE，因为，，，所以，
又因为且，所以四边形为菱形，连结交于点，如图所示：
易知，又因为在中，，所以，
，满足，则，
由题意知，且，则平面ABED，
又因为平面，所以平面平面ABED；
解：（2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，令，解得，，
即，，
记直线与平面所成角为，则；
（3）假设存在，设，则，
，
平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
则，即，可取，
则，解得，
故．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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