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第1章空间向量与立体几何检测卷-2025-2026学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若向量，满足，则
D．若，，则
2．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ）
A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．一定不共面
3．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．0
4．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（ ）
A．16 B． C．4 D．
6．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大
8．长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．，分别为空间内不重合的两平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，与共线 D．当时，与相交
10．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．两两共面，但不可能共面
B．有且仅有一对实数，使得
C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
D．，，一定能构成空间的另一个基底
11．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．
B．与夹角的余弦值为
C．是等腰直角三角形
D．与平行的单位向量的坐标为或
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，设，，则 ．
13．已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是 .
14．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为 ．
四、解答题
15．在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
17．已知空间中三点，，．
(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积．
18．如图，四棱锥中，底面，．

(1)若平面，证明：；
(2)若四点共圆，且二面角的余弦值为，求．
19．如图，直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M，N分别为棱上的点，且．

(1)若平面MBD⊥平面NBD，求实数k的值；
(2)若，求直线DN与平面所成角的正弦值.
《第1章空间向量与立体几何检测卷-2025-2026学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C B D A ACD ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可.
【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的；
把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误；
对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行，
所以当时，与不一定平行，故B错误；
对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；
对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．
故选：D.
2．C
【分析】根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论.
【详解】因为非零向量不共线，，
所以，
由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．
故选：C.
3．A
【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解.
【详解】由题意，是空间的一个基底，
设，，，则不共线．
因为不能构成空间的一个基底，则共面，
所以存在实数使得，
即，
所以，解得，，．
故选：A.
4．C
【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解.
【详解】由点在上，且，知；
由为的中点，知.
所以.
故选：C.
5．C
【分析】利用空间向量的线性表示，然后计算即可.
【详解】由题可知：是棱长都为2的直平行六面体，则，且，
由，所以两边平方可得：
所以，则.
故选：C
6．B
【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得.
【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，
，
.
方法二：由题意得，
，
，
堑堵为直三棱柱，且，
．
故选：B.
7．D
【分析】先建系，分别求出平面与平面的法向量，再根据二面角余弦公式结合余弦函数单调性判断即可.
【详解】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．
设所有棱长均为2，
则，，，
，设平面BDE法向量，
则，
令，则，
故．
又平面的法向量，
故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值，
又，故在上单调递增，上单调递减，
即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大．
故选：D．
8．A
【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可.
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，.
所以.
因为，所以.
所以，所以.
因为向量是平面的一个法向量，
所以.
因为，所以.
所以.
因为，所以当时，取最小值为.
此时取最大值为.
故选：A.

9．ACD
【分析】根据空间中线面的位置关系，结合向量运算关系，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，故与共线，
由，知与共线，故B错误；
对于C，因为，所以，故可设，
故，可知与共线，故C正确；
对于D，因为，所以，显然与不共线，
于是与不共线，故显然两平面不平行，
故二者只能相交，故D正确．
故选：ACD．
10．ACD
【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断.
【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确；
对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确；
对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确；
对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：ACD.
11．ABD
【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误.
【详解】A：，则，对；
B：，，
则，，所以，对；
D：与平行的单位向量为，即或，对；
C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错.
故选：ABD
12．
【分析】略
【详解】略
13．
【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解.
【详解】

设侧棱长为，则长为,
由题意，
又，
其中，
故，，
又，
故
即，
又，
所以，
所以，
即侧棱长的取值范围是，
故答案为：
14．
【分析】连接，在上取点，使，连接，证明平面，从而将问题转化为求点到平面的距离．连接，取中点为G，连接，以A为坐标原点，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解．
【详解】如图，
连接，在上取点，使，连接，
结合，可得，
∵平面，且平面，
∴平面，
则直线到的距离即直线到平面的距离，即点到平面的距离．
由，，
根据勾股定理逆定理可得，，
连接，取中点为G，连接，
∵底面是菱形，，∴是等边三角形，
∴，又，∴，
于是以A为坐标原点，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
由，可得的坐标，
由，可得的坐标，
则，，．
设平面的法向量为，
则所以
令，则，所以．
所以点到平面的距离，
从而直线到的距离为．
故答案为：．
15．(1)10
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可；
（2）根据数量积为0证明垂直；
（3）由，再计算模长即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以
.
所以.
16．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明∥即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，
，
所以，
所以与共线，
因为这两个向量有公共点，
所以、、三点共线．
17．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）设，由，代入点的坐标解方程即可；
（2）向量在向量上的投影向量，又，故可求得；
（3）由向量的数量积求夹角，得到，从而，再由三角形面积公式求得的面积即可求得平行四边形面积.
【详解】（1）设，
因为四边形是平行四边形，所以，由，，，
得，，
所以，故．
（2）因为，，，所以，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量，
所以．
（3）因为，，，所以，，
所以，即，
又，所以，
所以的面积，
所以以为邻边的平行四边形的面积为3．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由线面平行的性质定理，证得，得到平面，进而证得.
（2）以为原点，过点平行的直线为轴，建立坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：在中，因为，
可得，所以，
又因为底面，且底面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，平面，且平面平面，
所以，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，因为四点共圆，可得，
以为原点，以所在直线分别为轴和轴，过点平行于的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，
设，则，即，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为二面角的余弦值为，
可得，解得，
因为，所以，即的长为.

19．(1)；
(2).
【分析】（1）连接，以为原点建立空间直角坐标系，再确定二面角的平面角，利用向量垂直的坐标表示求出.
（2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解.
【详解】（1）直四棱柱中，连接，由菱形，得，
取中点，连接，而为中点，则四边形是平行四边形，，
而平面，则平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
在菱形中，，则，由，
得，则，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
因此，是二面角的平面角，
由平面MBD⊥平面NBD，得，则，又，
所以.

（2）由（1）及，得，
，
令平面的法向量，则，取，得，
，
所以直线DN与平面所成角的正弦值为.
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