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第2章直线和圆的方程检测卷-2025-2026学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B．0 C． D．
2．若直线与互相垂直，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线在y轴上的截距为，则（ ）
A．8 B．12 C． D．
5．已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
6．求点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
7．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（ ）
A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2
8．已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若直线与曲线恰有一个公共点，则下列的值能够满足条件的有（　　）
A． B．
C． D．
10．已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为 D．两圆的公切线有2条
11．在平面直角坐标系中，已知、为圆上两动点，点，且，为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
三、填空题
12．已知直线l过点，则被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是 ．
13．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 .
14．已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 .
四、解答题
15．求满足下列条件的直线的方程：
(1)经过点，且平行于过和两点的直线；
(2)经过点，且与直线垂直.
16．已知直线的一个方向向量为．
(1)证明：；
(2)设为坐标原点，若直线与垂直，且到的距离为1，求的方程．
17．已知的三个顶点分别为，，，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)AC边上的垂直平分线所在直线的方程；
(3)的面积．
18．已知圆C过，，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长；
(2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
19．已知圆过，且圆心在轴上．
(1)求圆的周长；
(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值．
《第2章直线和圆的方程检测卷-2025-2026学年高中数学人教A版2019选择性必修第一册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D D D B D ABD ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据倾斜角的概念求解即可.
【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为0，
故选：B
2．B
【分析】根据两条直线垂直的条件直接可得.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，得.
故选：B.
3．C
【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型.
【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或．
将代入直线，的方程，得，，易知；
将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：．
4．D
【分析】根据直线在y轴上的截距为直线与y轴的交点的纵坐标可得.
【详解】因为直线在y轴上的截距为，所以直线过点，
所以，解得
故选：D.
5．D
【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求.
【详解】根据直线方程的两点式公式可得：，
化简可得： .
把代入，得：
，即.
所以直线在轴上的截距为.
故选：D
6．D
【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果.
【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点，

所以直线表示过定点的斜率存在的直线，
如图，当时，表示点到直线的距离，
当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，
所以点到直线距离的最大值为,
所以点到直线距离的最大值为.
故选：D
7．B
【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可.
【详解】设圆心，因为圆与轴相切，
则.
所以圆的方程为.
因为该圆经过点，
所以.
化简得，两式相减得.
然后将代入①式中得，解得或.
故选：B.
8．D
【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解.
【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为,
由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为，
由相切可得，化简可得，
故是方程的两个根，故
故选：D
9．ABD
【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的的取值范围，进而求值即可.
【详解】由题意得曲线，即表示一个半径为1的半圆，如图所示．

当直线经过点时，求得，
当直线经过点和时，求得，
当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径，
可得，求得或（舍去）．
故当直线与曲线恰有一个公共点时，
可得的取值范围是，则ABD正确，C错误．
故选：ABD
10．ABD
【分析】根据两圆圆心距离与半径的和差比较即可判断A；两圆相减求得公共弦所在直线方程判断B；利用两点斜率公式求解判断C；利用两圆位置关系判断公切线条数即可判断D.
【详解】对于A，的圆心，半径，
的圆心，半径，
计算两圆心之间的距离，
比较d与，，
因为，所以两圆相交，选项A正确.
对于B，即，
即，
相减并化简得：，选项B正确.
对于C，圆心，，根据斜率公式，选项C错误.
对于D，两圆位置关系为相交，相交的两圆公切线有两条，选项D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】A由得到；B由垂径定理知；C先得到，令，则，即可得；D确定轨迹是以为圆心，为半径的圆，故，所以.
【详解】A．由，则点在圆内，正确.
B．因为为弦的中点，由垂径定理知，正确.
C．由得且，
令，则，整理得，错误.
D．点的轨迹方程化为，即轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故，又，即在圆内，
故，而，所以，正确.
故选：ABD
12．
【分析】根据圆的几何性质，可得弦最短时的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案.
【详解】直线过点
圆的圆心为，半径为，
连接点与圆心可得直线m，
所以直线m的斜率，
根据圆的性质可得，最短弦所在直线与直线m垂直，
所以最短弦所在直线的斜率，
所以最短弦所在直线的方程为，整理得
故答案为：.
13．
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值.
【详解】由圆，得，
故圆心，半径，
又已知直线，点在直线上，设点，
则，
由圆的切线性质可得，，

当且仅当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
14．
【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案.
【详解】设圆的一般方程为，
将点代入得，
解得，满足，则，
将代入也适合，
故所求圆的方程为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】(1)首先求出直线的斜率，即所求直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解；
(2)首先根据两直线垂直求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解.
【详解】（1）因为，
所求直线的方程为，
整理得.
（2）由得，
由得，
所求直线的方程为，
整理得.
16．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据一般方程写出的一个方向向量，再利用向量共线即可求出；
（2）根据（1）可得，再根据垂直关系设出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可.
【详解】（1）因直线，则也是的一个方向向量，
而的一个方向向量为，两向量共线可得，得．
（2）由（1）可知，即，
因直线与垂直，故可设，
由题意可得到的距离为1，由点到直线距离公式得，即，
得，
故的方程为或．
17．(1)
(2)
(3)12
【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程，
（2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解，
（3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由两点式得边AB所在直线方程为，即．
（2）因为，AC的中点，
所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即．
（3）点C到边AB的距离为，，
．
18．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程，明确圆心和半径，可求圆的周长.
（2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合弦长的几何求法列式可求直线方程.
【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为，
其周长为.
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，

①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或.
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设圆心在轴上的圆的标准方程，代入两点坐标，解方程组得到圆心坐标和半径，再根据圆的周长公式计算即可.
（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在两种情况。斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程.
（3）设直线的斜率，求出点坐标，根据垂直直线斜率的关系得到直线的斜率，求出点坐标，再求出点坐标，分别表示出 ，进而得到的表达式，最后利用基本不等式求其最大值.
【详解】（1）由圆心在轴上，设圆的方程为，又圆过，
则，解得，所以圆的方程为，其周长为.
（2）根据题意作图.
因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为.
①当直线的斜率不存在时，直线与圆的交点为，
此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得，则直线.
综上，直线的方程为或.
（3）根据题意作图.
因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合，
所以.设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，可得，解得或，
所以点的坐标为.
又直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，可得，解得或，
所以点的坐标为.
由题意可知，点，
所以，，
故，又，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
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