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第3章圆锥曲线的方程检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．（2025·仁寿模拟）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·仁寿模拟）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·长春汽车经济技术开发期末）抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·长沙期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为（　　）.
A． B． C．2 D．3
5．（2025高二上·长春汽车经济技术开发期末）已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距等于（　　）
A． B．2 C． D．4
6．（2024高二上·嘉兴期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则为（　　）
A．1 B．4 C．6 D．7
7．（2024高三上·金华月考）设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（　　）
A．±1 B． C． D．±2
8．（2024高二下·成都期末）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
二、多项选择题
9．（2024高三上·广东月考）已知曲线，则（　　）
A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为
C．的右焦点坐标为 D．的离心率为
10．（2024高二上·嘉兴期中）已知椭圆，则（　　）
A．椭圆的长轴长为
B．当时，椭圆的焦点在轴上
C．椭圆的焦距可能为6
D．椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值
11．（2024高二上·宁波期中）已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（　　）
A．焦点的坐标为 B．准线的方程为
C．若，则 D．弦的长度
三、填空题
12．（2025高二上·长春汽车经济技术开发期末）已知点 是抛物线 上的一个动点，则 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最小值为　 　．
13．（2024高二上·浙江期中）已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为　 　．
14．（2024高二上·浙江期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是　 　．
四、解答题
15．（2024高二上·电白期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米．
（1）建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
（2）当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
（3）当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
16．（2024高二上·广州期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的的周长和面积．
17．（2024高二上·盘州期末）已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
18．（2024高二上·长沙期末）在平面直角坐标系中 椭圆的左 右顶点为A，B，上顶点K满足.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于M，N两点.设直线和直线相交于点P，直线和直线相交于点Q，直线与x轴交于S.证明：是定值.
19．（2023高二上·杭州月考）设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.
（1）求圆C的方程.
（2）过作直线l与圆C相交于A，B两点，
①用坐标法证明：是定值.
②设，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系．
设抛物线的方程为，
则点在抛物线上，代入方程得，
所以抛物线的方程为

（2）解：当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，
设，代入方程得，故，则
，所以木船能通行
（3）解：假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为，把代入方程，得，故，由，得．
所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行．
16．【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）知，，
因为点P为椭圆上一点，所以，则焦点三角形的的周长，
在△中，由余弦定理，
可得①，
平方可得②，
②-①，整理得，则三角形的的面积.
17．【答案】（1）解：因为点是双曲线的一个焦点，所以，又因为且，所以，
所以双曲线的方程为，
则双曲线的渐近线方程为；
（2）解：设直线的方程为且，联立，可得，
则，即，即，
则
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
18．【答案】（1）解：由题，，解得.
所以的标准方程为
（2）证明：设，直线的方程为.
联立直线与椭圆的方程，消得，
从而由韦达定理，得.
由（1）知，
所以直线和的方程分别为，.
联立直线和，可得交点的横坐标满足：
，解得，
即点总在直线上.同理可得点也在直线上，
所以直线的方程为.
所以，所以，其中分别为点，点的纵坐标.
联立直线和直线，得；
联立直线和直线，得.
所以为定值
19．【答案】（1）解：设抛物线与x轴分别交于M，N，交y轴于点G，
令y=0，则，即，，0)，令x=0，则y=-3，则G（0．-3），
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得，
则x2+y2+2y-3=0，化为标准式为x2+（y+1)2=4；
（2）解： （i）证明：当直线l的斜率不存在时，则l方程为x=-1，
联立，可得或，
即，，则，，则|PA|·|PB|=2；
当当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2+2（k2+k）x+（k2+2k-3）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系可得，，
且，
，
则
，是定值．
（ii）由（i）可知，当直线l的斜率不存在时，，，
且Q（0，-2），则，，则|QA|2+|QB|2=10；
当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
则
，
当且仅当时，等号成立，
所以|QA|2+|QB|2的最大值为．
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