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2025-2026学年广东省深圳市宝安中学初中部九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·宝安开学考）某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2．（2025九上·宝安开学考） 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客1954.2万人次，日均到发旅客55.8万人次，用1954.2万科学记数法表示为（　　）
A．1.9542×105 B．1.9542×106 C．1.9542×107 D．1.9542×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：
万＝.
故答案为：.
【分析】先找到左边第一个不为0的数，在其后打上小数点，小数点后有几位就乘10的几次方即可.
3．（2025九上·宝安开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：Ａ、∵、不是同类项，
∴不能相加，故Ａ错误.
Ｂ、，故Ｂ错误.
Ｃ、，故Ｃ错误.
Ｄ、，故Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】Ａ、、不是同类项，不能相加，可得Ａ错误.
Ｂ、根据单项式乘单项式的规则得，可得Ｂ错误.
Ｃ、根据积的乘方得，可判断Ｃ错误.
Ｄ、根据算术平方根性质得，故Ｄ正确.
4．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
5．（2025九上·宝安开学考） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　）
A．95° B．100° C．110° D．145°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC= 90°，
∵∠ADB=35°，
∴∠CBD=∠ADB= 35°，
∵∠ABC= 90°， P为EF的中点，
∴PB= PF=EF，
∴∠CBD=∠PFB= 35°，
∴∠BPF= 180°- 35°- 35° = 110°，
∴∠DPE=∠BPF= 110°，
故答案为：C .
【分析】根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB = 35°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得PB= PF，进而得到∠CBD=∠PFB= 35°，再利用三角形内角和定理以及对顶角相等，即可解答.
6．（2025九上·宝安开学考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：且解得：且
故答案为：C
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件得且，解出即可.
7．（2025九上·宝安开学考）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可求出答案.
8．（2025九上·宝安开学考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　）
A．2- B． C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，延长交与，
根据旋转得性质得：，，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角斜边上的中线，
∴，
在中，，
∴.
∴C'B的长为为-1.
故答案为：C
【分析】连接，延长交与，根据旋转得性质得：，，，可证明是等边三角形，进而得，，
可证明，得，可得，进一步得，根据勾股定理可得，最后根据可得答案.
9．（2025九上·宝安开学考）一元二次方程的一个解为，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个解为，
∴将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意直接将代入方程求解即可．
10．（2025九上·宝安开学考）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得： 任意掷一枚质地均匀的骰子 ， 掷出的点数有6种结果，其中点数大于4 的结果有2种，则.
故答案为：.
【分析】 任意掷一枚质地均匀的骰子 ， 掷出的点数有6种结果，其中点数大于4 的结果有2种，代入概率公式即可求解.
11．（2025九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵的坐标分别为，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是 菱形 ，
∴，
在中，.
∴点C的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据的坐标分别为得，，根据菱形性质得，在根据勾股定理得，即可求得点C的坐标.
12．（2025九上·宝安开学考）如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，此时AB=14cm，DO=6cm，阴影部分的面积为44cm2，则平移的距离为　 　.
【答案】4cm
【知识点】三角形的面积；梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移得性质得：，，
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴即解得：
∴ 平移的距离为4.
故答案为：4.
【分析】根据根据平移得性质得：，，进一步得，，即，再进一步得.
13．（2025九上·宝安开学考）如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
14．（2025九上·宝安开学考）计算.
【答案】解：原式=
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先算乘方、立方根、算术平方根得，再算乘法得，最后算加减即可.
15．（2025九上·宝安开学考）用合适的方法解下列方程：
（1）x2-6x+4=0；
（2）2x2-4x=1.
【答案】（1）解：
，
（2）解：原方程变形得：
∴，，
∵
∴
∴，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将配方得，直接开方得即可得答案.
（2）原方程变形得：，再计算，然后代入求根公式得，计算即可.
16．（2025九上·宝安开学考）某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为　 　；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数为　 　元、众数为　 　元、中位数为　 　元；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数.
【答案】（1）50
（2）26.4；30；30
（3）解：根据题意得：
（人）
∴ 该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数约为1176人.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系
【解析】【解析】解：（1）根据题意得：
调查的学生人数为 ：（人）
∴ 本次接受随机调查的学生人数为 50人.
故答案为：50.
（2）根据题意得：
样本数据的平均数为（元）.
∴样本数据的平均数为26.4元.
∵ 捐款30元的人数最多，有20人，
∴众数为30元.
根据题意得，50个数据从小到大排列，中位数为第25、26个数的平均值。10元12人，20元10人，累计22人，后面20人为30元，最后8人为50元.故第25、26个数均为30元.
∴中位数为30元.
故答案为：26.4；30；30.
【分析】（1）根据总人数等于某部分的数量除以该部分的百分数即可得调查的学生人数.
（2）根据平均数公式代入数据得，计算可得平均数，根据 捐款30元的人数最多，可得众数为30元，再将数据排序，中位数为第25、26个数的平均值，根据数据，排在第25、26的数都是30元，故可得中位数.
（3）先计算 捐款金额不少于30元 的学生的百分比，再计算金额不少于30元的学生人数为，计算即可.
17．（2025九上·宝安开学考）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则：
，
解得：
∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件.
（2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为 100 件，则根据题意得：
解得：
∴的取值范围为 0 ≤ ≤ 60 （且 为整数）.
设第二次全部售完后获得的利润为W元，则：
∵10>0
∴w 随 m 的增大而增大，
∴ 当 m = 60 时， w 最大 = 10 × 60 + 3000 = 3600 元，此时乙种布料为 100 60 = 40 件.
∴ 第二次应购进甲种布料 60 件、乙种布料 40 件时， 利润最大， 最大利润为 3600 元.
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1） 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则根据题意列，解出即可.
（2）设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为 100 件，则根据题意得
即可得 0 ≤ ≤ 60 （且 为整数）.再根据利润问题公式得，化简后根据一次函数性质即可求解.
18．（2025九上·宝安开学考）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
19．（2025九上·宝安开学考） “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔 花拉子在解一元二次方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x，x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）2=4×35+22，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，1的矩形构造出图2的形状（面积为x2+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）2=（x2+2x）+12=35+1，从而得到一个正数解x=5.
（1）图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
（2）【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x2+6x-55=0.
①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
②请分别根据所画图形，求出方程x2+6x-55=0的一个正数解.
（注：需要写出必要的推算过程）
（3）【拓展应用】一般地，形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.
【答案】（1）解：2.
根据题意，把图2补充完整如下：
（2）解：①根据题意作图如下：
② 第一种方法 ：
用四个边长分别为x，x+6，且面积为x（x+6）=55的矩形构造大正方形，
根据题意得：（x+6+x）2=4×55+62，
解得x1=5，x2=-11.
第二种方法 ：
根据题意得：
（x+3）2=55+9，
x2+6x+9=55+9，
（x+3）2=64，
解得x1=5，x2=-11；
（3）正数解 ，负数解.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的求根公式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图形得小正方形的边长为：.
∴小正方形的边长为2.
故答案为：2.
（3）解：如图，用四个边长分别为x，x+a，且面积为x（x+a）=b的矩形构造大正方形，
用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+x+a）2=4b+a2，
化简得： x2 + ax= b
解得：
，
【分析】（1） 四个矩形的边长为 x和 x+ 2 ， 根据图形得小正方形的边长为：，补充图形按材料方法补全即可.
（2）先根据题意构建图形，再列方程（x+6+x）2=4×55+62和（x+3）2=55+9，分别解出即可.
（3）先根据题意构建图形，根据图形列方程（x+x+a）2=4b+a2，解出即可.
20．（2025九上·宝安开学考）阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处；即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，一又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.
【感悟与应用】
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，试判断CD和BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=25，AD=12，DC=BC=17，求AB的长.
（3）【拓展提高】
如图（c），在四边形ABDF中，∠B=∠F=90°，∠BCA=∠AEF，∠D-∠BAC=90°，若CD=4，AC=5，AE=6，求四边形ABDF的边DE的长.
【答案】（1）解：BD=2CD，理由如下：
如图，
在中，，
∴，
∵ AD平分，
∴，
∴即.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
在上截取，连接，
∵ AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰三角形.
过Ｃ作于Ｈ，则，
设，则，
在和中，
∵
∴解得，
∴ BＧ=16.
∴ AB=AE+BE=12+16=28.
∴AB的长为28.
（3）解：如图，
把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，
∴，，，，，，，
，
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ DE的长为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在中，根据内角和定理得，再根据角平分线性质得，即可得，根据得，进一步可得.
（2）在上截取，连接，可证明，进而证明是等腰三角形，过Ｃ作于Ｈ，则，设，则，根据勾股定理得，可列方程解出即可.
（3）把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，可得，，，，，，，，
根据条件可证明，进一步可得，，，即可得四边形是平行四边形，进而得，，便可得=1，根据勾股定理得，再根据等面积法得，解得，根据勾股定理得，即可得答案.
1 / 12025-2026学年广东省深圳市宝安中学初中部九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·宝安开学考）某班拟开展“弘扬优秀传统文化—走近剪纸”的语文实践活动，下列同学的剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·宝安开学考） 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客1954.2万人次，日均到发旅客55.8万人次，用1954.2万科学记数法表示为（　　）
A．1.9542×105 B．1.9542×106 C．1.9542×107 D．1.9542×108
3．（2025九上·宝安开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
5．（2025九上·宝安开学考） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　）
A．95° B．100° C．110° D．145°
6．（2025九上·宝安开学考）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
7．（2025九上·宝安开学考）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·宝安开学考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　）
A．2- B． C．-1 D．1
9．（2025九上·宝安开学考）一元二次方程的一个解为，则　 　．
10．（2025九上·宝安开学考）任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是　 　.
11．（2025九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　.
12．（2025九上·宝安开学考）如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，此时AB=14cm，DO=6cm，阴影部分的面积为44cm2，则平移的距离为　 　.
13．（2025九上·宝安开学考）如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为　 　．
14．（2025九上·宝安开学考）计算.
15．（2025九上·宝安开学考）用合适的方法解下列方程：
（1）x2-6x+4=0；
（2）2x2-4x=1.
16．（2025九上·宝安开学考）某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为　 　；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数为　 　元、众数为　 　元、中位数为　 　元；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数.
17．（2025九上·宝安开学考）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．（2025九上·宝安开学考）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
19．（2025九上·宝安开学考） “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔 花拉子在解一元二次方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x，x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）2=4×35+22，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，1的矩形构造出图2的形状（面积为x2+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）2=（x2+2x）+12=35+1，从而得到一个正数解x=5.
（1）图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
（2）【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x2+6x-55=0.
①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
②请分别根据所画图形，求出方程x2+6x-55=0的一个正数解.
（注：需要写出必要的推算过程）
（3）【拓展应用】一般地，形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.
20．（2025九上·宝安开学考）阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处；即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，一又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.
【感悟与应用】
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，试判断CD和BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=25，AD=12，DC=BC=17，求AB的长.
（3）【拓展提高】
如图（c），在四边形ABDF中，∠B=∠F=90°，∠BCA=∠AEF，∠D-∠BAC=90°，若CD=4，AC=5，AE=6，求四边形ABDF的边DE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：
万＝.
故答案为：.
【分析】先找到左边第一个不为0的数，在其后打上小数点，小数点后有几位就乘10的几次方即可.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：Ａ、∵、不是同类项，
∴不能相加，故Ａ错误.
Ｂ、，故Ｂ错误.
Ｃ、，故Ｃ错误.
Ｄ、，故Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】Ａ、、不是同类项，不能相加，可得Ａ错误.
Ｂ、根据单项式乘单项式的规则得，可得Ｂ错误.
Ｃ、根据积的乘方得，可判断Ｃ错误.
Ｄ、根据算术平方根性质得，故Ｄ正确.
4．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC= 90°，
∵∠ADB=35°，
∴∠CBD=∠ADB= 35°，
∵∠ABC= 90°， P为EF的中点，
∴PB= PF=EF，
∴∠CBD=∠PFB= 35°，
∴∠BPF= 180°- 35°- 35° = 110°，
∴∠DPE=∠BPF= 110°，
故答案为：C .
【分析】根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB = 35°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得PB= PF，进而得到∠CBD=∠PFB= 35°，再利用三角形内角和定理以及对顶角相等，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：且解得：且
故答案为：C
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件得且，解出即可.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，延长交与，
根据旋转得性质得：，，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角斜边上的中线，
∴，
在中，，
∴.
∴C'B的长为为-1.
故答案为：C
【分析】连接，延长交与，根据旋转得性质得：，，，可证明是等边三角形，进而得，，
可证明，得，可得，进一步得，根据勾股定理可得，最后根据可得答案.
9．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个解为，
∴将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意直接将代入方程求解即可．
10．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意得： 任意掷一枚质地均匀的骰子 ， 掷出的点数有6种结果，其中点数大于4 的结果有2种，则.
故答案为：.
【分析】 任意掷一枚质地均匀的骰子 ， 掷出的点数有6种结果，其中点数大于4 的结果有2种，代入概率公式即可求解.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵的坐标分别为，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是 菱形 ，
∴，
在中，.
∴点C的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据的坐标分别为得，，根据菱形性质得，在根据勾股定理得，即可求得点C的坐标.
12．【答案】4cm
【知识点】三角形的面积；梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：根据平移得性质得：，，
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴即解得：
∴ 平移的距离为4.
故答案为：4.
【分析】根据根据平移得性质得：，，进一步得，，即，再进一步得.
13．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
14．【答案】解：原式=
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先算乘方、立方根、算术平方根得，再算乘法得，最后算加减即可.
15．【答案】（1）解：
，
（2）解：原方程变形得：
∴，，
∵
∴
∴，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将配方得，直接开方得即可得答案.
（2）原方程变形得：，再计算，然后代入求根公式得，计算即可.
16．【答案】（1）50
（2）26.4；30；30
（3）解：根据题意得：
（人）
∴ 该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数约为1176人.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系
【解析】【解析】解：（1）根据题意得：
调查的学生人数为 ：（人）
∴ 本次接受随机调查的学生人数为 50人.
故答案为：50.
（2）根据题意得：
样本数据的平均数为（元）.
∴样本数据的平均数为26.4元.
∵ 捐款30元的人数最多，有20人，
∴众数为30元.
根据题意得，50个数据从小到大排列，中位数为第25、26个数的平均值。10元12人，20元10人，累计22人，后面20人为30元，最后8人为50元.故第25、26个数均为30元.
∴中位数为30元.
故答案为：26.4；30；30.
【分析】（1）根据总人数等于某部分的数量除以该部分的百分数即可得调查的学生人数.
（2）根据平均数公式代入数据得，计算可得平均数，根据 捐款30元的人数最多，可得众数为30元，再将数据排序，中位数为第25、26个数的平均值，根据数据，排在第25、26的数都是30元，故可得中位数.
（3）先计算 捐款金额不少于30元 的学生的百分比，再计算金额不少于30元的学生人数为，计算即可.
17．【答案】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则：
，
解得：
∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件.
（2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为 100 件，则根据题意得：
解得：
∴的取值范围为 0 ≤ ≤ 60 （且 为整数）.
设第二次全部售完后获得的利润为W元，则：
∵10>0
∴w 随 m 的增大而增大，
∴ 当 m = 60 时， w 最大 = 10 × 60 + 3000 = 3600 元，此时乙种布料为 100 60 = 40 件.
∴ 第二次应购进甲种布料 60 件、乙种布料 40 件时， 利润最大， 最大利润为 3600 元.
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1） 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则根据题意列，解出即可.
（2）设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为 100 件，则根据题意得
即可得 0 ≤ ≤ 60 （且 为整数）.再根据利润问题公式得，化简后根据一次函数性质即可求解.
18．【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
19．【答案】（1）解：2.
根据题意，把图2补充完整如下：
（2）解：①根据题意作图如下：
② 第一种方法 ：
用四个边长分别为x，x+6，且面积为x（x+6）=55的矩形构造大正方形，
根据题意得：（x+6+x）2=4×55+62，
解得x1=5，x2=-11.
第二种方法 ：
根据题意得：
（x+3）2=55+9，
x2+6x+9=55+9，
（x+3）2=64，
解得x1=5，x2=-11；
（3）正数解 ，负数解.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的求根公式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图形得小正方形的边长为：.
∴小正方形的边长为2.
故答案为：2.
（3）解：如图，用四个边长分别为x，x+a，且面积为x（x+a）=b的矩形构造大正方形，
用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+x+a）2=4b+a2，
化简得： x2 + ax= b
解得：
，
【分析】（1） 四个矩形的边长为 x和 x+ 2 ， 根据图形得小正方形的边长为：，补充图形按材料方法补全即可.
（2）先根据题意构建图形，再列方程（x+6+x）2=4×55+62和（x+3）2=55+9，分别解出即可.
（3）先根据题意构建图形，根据图形列方程（x+x+a）2=4b+a2，解出即可.
20．【答案】（1）解：BD=2CD，理由如下：
如图，
在中，，
∴，
∵ AD平分，
∴，
∴即.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
在上截取，连接，
∵ AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰三角形.
过Ｃ作于Ｈ，则，
设，则，
在和中，
∵
∴解得，
∴ BＧ=16.
∴ AB=AE+BE=12+16=28.
∴AB的长为28.
（3）解：如图，
把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，
∴，，，，，，，
，
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ DE的长为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在中，根据内角和定理得，再根据角平分线性质得，即可得，根据得，进一步可得.
（2）在上截取，连接，可证明，进而证明是等腰三角形，过Ｃ作于Ｈ，则，设，则，根据勾股定理得，可列方程解出即可.
（3）把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，可得，，，，，，，，
根据条件可证明，进一步可得，，，即可得四边形是平行四边形，进而得，，便可得=1，根据勾股定理得，再根据等面积法得，解得，根据勾股定理得，即可得答案.
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