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【2025.9月底】初二上数学月考试卷-高新区一中
一．选择题（共10小题）
1．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”．下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下面说法正确的个数有（　　）
①三条线段组成的图形叫三角形；②如果2∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
4．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，若△ABC的面积为4，则△ACE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块（　　）
A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）
6．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使两部分重合，若∠AEF＝115°，则∠B'FC度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
7．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB＝CD，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是（　　）
A．AE＝DF B．∠E＝∠F C．EC＝BF D．EC∥BF
8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝26°，∠3＝56°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．56° C．26° D．82°
9．如图，在四边形中，AD∥BC，P为AB边的中点，连接CP，DP．若AD＝4，BC＝3，且∠CPD＝90°，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ，CP，PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（　　）
A．BQ＝AP B．△ABQ≌△CAP C．△BPQ的形状可能是等边三角形
D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化
二．填空题（共5小题）
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　 ．
12．如图，在△ABC中，AC＝2cm，BC＝3cm，AD、BE为△ABC的两条高，则AD：BE＝　 　 ．
13．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝　 　 °．
14．如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为　 　 ．
15．如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与△ABC全等的格点三角形共有n个（不含△ABC本身），则n＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
17．如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若BE＝4，CF＝5，求AE的长度．
18．如图，在10×10的正方形网格中，有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得PA＝PB；
（3）在直线l上找一点Q，使得△QBC的周长最小．
19．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果 CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
（1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一：　 　 .方案二：　 　 ．
（2）请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程．
20．【问题初探】（1）如图1，点B在线段AC上，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE，且DB＝BE．求证：AC＝AD+CE；
【问题改编】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将边CA绕点C顺时针旋转90°得到CE（即CE＝CA，∠ACE＝90°），将边CB绕点C逆时针旋转90°得到CD（即CD＝CB，∠BCD＝90°）．连接DE，延长BC交ED于点F．求证：点F是ED的中点．
【2025.9月底】初二上数学月考试卷-高新区一中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A D A C A C D
一．选择题（共10小题）
1．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”．下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
2．下面说法正确的个数有（　　）
①三条线段组成的图形叫三角形；②如果2∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题知，
因为三角形是由三条线段首尾顺次连接，组成的封闭图形，
所以①的说法错误．
由2∠A＝∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°得，
5∠A＝180°，
则∠A＝36°，
所以∠B＝∠C＝72°，
显然此三角形不是直角三角形，
所以②的说法错误．
因为三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，
所以③的说法正确．
因为锐角三角形的三条高都在三角形内部，
直角三角形的两条高为直角边，第三条高在三角形内部，
钝角三角形的两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，
所以④的说法错误．
因为钝角三角形中，钝角相邻的外角是锐角，比钝角小，
所以⑤的说法错误．
故选：A．
3．下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误；
B、∵8+8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误；
C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误；
D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确．
故选：D．
4．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，若△ABC的面积为4，则△ACE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为4，
∴△ADC的面积为：，
∵点E是AD的中点，
∴△ACE的面积为：，
故选：A．
5．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块（　　）
A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）
【解答】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带第（2）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
6．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使两部分重合，若∠AEF＝115°，则∠B'FC度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°，
∵∠AEF＝115°，
∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣115°＝65°，
∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，
∴∠EFB′＝∠BFE＝65°，
∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFB′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：A．
7．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB＝CD，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是（　　）
A．AE＝DF B．∠E＝∠F C．EC＝BF D．EC∥BF
【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝DB，
∴A、添加条件AE＝DF，可以利用SAS定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
B、添加条件∠E＝∠F，利用AAS能证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
C、添加条件EC＝BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
D、添加条件EC∥BF，可得∠ACE＝∠DBF，可以利用ASA定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
故选：C．
8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝26°，∠3＝56°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．56° C．26° D．82°
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠ABD，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1＝26°，∠3＝56°，
∴∠2＝56°﹣26°＝30°，
故选：A．
9．如图，在四边形中，AD∥BC，P为AB边的中点，连接CP，DP．若AD＝4，BC＝3，且∠CPD＝90°，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：延长DP和CB相交于点E，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠E，∠A＝∠EBP，
∵P为AB边的中点，
∴AP＝BP，
在△APD和△BPE中，
，
∴△APD≌△BPE（AAS），
∴AD＝BE＝4，PD＝PE，
∵∠CPD＝90°，
∴CP⊥DE，
即CP是线段DE的垂直平分线，
∴CD＝CE＝BC+BE＝7，
故选：C．
10．如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ，CP，PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（　　）
A．BQ＝AP
B．△ABQ≌△CAP
C．△BPQ的形状可能是等边三角形
D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化
【解答】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，
∴BQ＝AP；故选项A正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
又BQ＝AP，
∴△ABQ≌△CAP；故选项B正确；
当P，Q为AB，BC的中点时，BP＝BQ，
∵∠B＝60°，
∴△BPQ是等边三角形；故选项C正确；
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠ACP＝∠BAQ，
∴∠CQM＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，
∴∠CMQ是个定值；故选项D错误；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　三角形具有稳定性　 ．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．如图，在△ABC中，AC＝2cm，BC＝3cm，AD、BE为△ABC的两条高，则AD：BE＝　2：3　 ．
【解答】解：由三角形的面积公式可得AD BCBE AC，即AD BC＝BE AC，
∵AC＝2cm，BC＝3cm，
∴AD：BE＝AC：BC＝2：3．
故答案为：2：3．
13．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝　90　 °．
【解答】解：如图所示：
由图可知△ABF与△CED全等，
∴∠BAF＝∠ECD，
∴∠2﹣∠1＝90°，
故答案为：90．
14．如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为　8　 ．
【解答】解：∵△ACD沿着CD翻折得△CDE，
∴AD＝DE，AC＝CE，
∵AC＝5，BC＝6，
∴BE＝BC﹣AC＝6﹣5＝1，
∴△BED的周长为BD+DE+BE＝BA+BE＝8，
故答案为：8．
15．如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与△ABC全等的格点三角形共有n个（不含△ABC本身），则n＝　15　 ．
【解答】解：在2×2的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4个（包含△ABC本身），
在3×3的正方形网格中，一共有4个2×2的正方形网格，
∴在3×3的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4×4＝16个（包含△ABC本身），
∵不含△ABC本身，
∴与△ABC全等的格点三角形共有16﹣1＝15个，
∴n＝15，
故答案为：15．
三．解答题（共5小题）
16．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c．
17．如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若BE＝4，CF＝5，求AE的长度．
【解答】（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F，
∴∠BEC＝∠AEF＝90°，
∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠DAB，
在△AEF和△BCE中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵△AEF≌△CEB，
∴EF＝BE＝4，AE＝CE，
∴AE＝CE＝CF+EF＝5+4＝9．
18．如图，在10×10的正方形网格中，有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得PA＝PB；
（3）在直线l上找一点Q，使得△QBC的周长最小．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求．
（2）如图：点P即为所求．
（3）如图：点Q即为所求．
19．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案一 方案二
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果 CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m
（1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？
答：方案一：　②　 .方案二：　③　 ．
（2）请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程．
【解答】解：（1）方案一：根据平行线的性质可得两组相等的角，再加上已知的一组相等边，由“AAS”可证△BDA≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度；
方案二：有两组相等的边，以及它们对应的夹角相等，由“SAS”可证出△CAB≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度；
所以两种方案都能测量水潭的宽度．
故答案为：②．③；
（2）方案一：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠E，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（AAS），
∴CE＝BA＝20m．
方案二：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE＝AB＝20m．
20．【问题初探】（1）如图1，点B在线段AC上，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE，且DB＝BE．求证：AC＝AD+CE；
【问题改编】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将边CA绕点C顺时针旋转90°得到CE（即CE＝CA，∠ACE＝90°），将边CB绕点C逆时针旋转90°得到CD（即CD＝CB，∠BCD＝90°）．连接DE，延长BC交ED于点F．求证：点F是ED的中点．
【解答】证明：（1）∵DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，
∴∠BAD＝∠DBE＝∠BCE＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠CBE＝∠BEC，
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝EC，AD＝CB，
∵AC＝CB+AB，
∴AC＝AD+CE；
（2）过点E作EG∥CD，交BF的延长线于点G，如图2，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，
∴AB∥DC，
∴EG∥AB∥CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EGF＝∠DCF＝90°＝∠ABC．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠ECG＝∠CEG，
又∵AC＝CE，
在△ABC和△CGE中，
，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴CB＝EG，
∵CB＝CD，
∴CD＝EG，
又∵∠GFE＝∠CFD，∠EGF＝∠DCF，
∴△EGF≌△DCF（AAS），
∴EF＝DF，
即点F是ED的中点．
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