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2025年曹县第一中学9月高三学情检测数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．已知集合，，0，1，2，，则　　
A．，0，1，2， B．，0，1， C．，0， D．，1，
2．若复数满足是虚数单位），则　　
A．1 B． C．2 D．4
3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为　　
A． B． C． D．
5．若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
6．记等比数列的前项和为，若，则　　
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
8．已知点为三棱柱的棱上一点，经过顶点，及点的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则的值为　　
A．1 B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．（6分）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数．某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是　　
（附：若随机变量服从正态分布，．
A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布，
C．约有20000名学生的成绩低于58分
D．全体学生成绩的第84百分位数约为78
10．（6分）若，则　　
A． B． C． D．
11．（6分）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线．给出下列四个结论，其中正确是　　
A．曲线关于轴对称
B．若点，在曲线上，则
C．若点，在曲线上，则
D．若点，在曲线上，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知是第二象限内的角，，则 　　．
13．已知长方体的长、宽、高分别为、、3，连接其各面的中心，得到一个八面体．已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为 　　．
14．在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片．为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 　　．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且△是边长为2的等边三角形．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）如图，在等边△中，为边上一点，，点、分别是边，上的动点（不包括端点），若，且设．
（1）求证：不论为何值，恒成立．
（2）当△和△的面积相等时，求的值．
17．（15分）已知抛物线的焦点为．过焦点的直线交抛物线于，两点．抛物线在点处的切线为直线，过点作平行于直线的直线交抛物线于点．设点，，，，，．
（1）求证：，，成等差数列；
（2）求△的面积的最小值．
18．（17分）已知函数．
（1）若曲线在点，（e）处的切线在轴上的截距为，求的值；
（2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围；
（3）若函数存在极大值，记作（a），求证：（a）．
（参考结论：当时，，这里表示从0的右边逼近0，表示从0的左边逼近0．
19．（17分）已知集合是由，为大于1的整数）个连续的正整数组成的集合．现将集合拆分成个子集，2，3，，，且集合，2，3，，满足：①两两没有公共元素；②元素的个数均为个，则称对集合进行了“个均分拆”．进一步，若集合，2，3，，又满足条件，则称对集合进行了“条件下个均分拆”．
（1）若集合，2，3，，请写出对集合进行“2个均分拆”的所有拆法．
（2）若集合，2，3，，试判断是否可以对集合进行“条件下2个均分拆”（条件为“，其中，，，” ，并说明理由．
（3）若集合，，，，，是否可以对集合进行“条件下16个均分拆”（条件为“集合，2，3，，中的最大数等于另外的两数之和” ？若能，求出整数的最大值，并给出一种拆法；若不能，说明理由．
2025年曹县第一中学9月高三学情检测数学试题
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A B C D B
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1．已知集合，，0，1，2，，则　　
A．，0，1，2， B．，0，1， C．，0， D．，1，
解：由，得，
集合，
，0，1，2，，
由交集定义得，0，．
故选：．
2．若复数满足是虚数单位），则　　
A．1 B． C．2 D．4
解：，
，
．
故选：．
3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
解：由双曲线的两条渐近线互相垂直，
，解得，
双曲线的离心率为，
故选：．
4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为　　
A． B． C． D．
解：，，
，，
向量在向量方向上的投影向量为，，．
故选：．
5．若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
解：二项式的展开式第2项与第3项的系数分别为，
展开式中的第2项与第3项的系数相等，
则，即，整理得，而，
所以．
故选：．
6．记等比数列的前项和为，若，则　　
A．1 B．2 C．4 D．8
解：等比数列的前项和为，若，
显然，等比数列前项和公式为，
因为为等比数列的前项和，所以，
所以，
所以．
故选：．
7．已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
解：由题意知，，，
可得
，
根据图象知，，
可得直线是的一条对称轴，且是最大值，
可得，解得，
又，
可得，
可得，
可得的最大值为2，
故选：．
8．已知点为三棱柱的棱上一点，经过顶点，及点的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则的值为　　
A．1 B． C． D．
解：过作，连接，设，
又，所以，
则平面即为过顶点，及点的平面，如图所示：
设三棱柱的底面面积为，高为；
设，则，
则，
又△△，且相似比为，
由相似三角形的性质可知，
易知△△，侧棱，，交于延长线上一点，
所以几何体为三棱台，
设三棱台体积为，三棱柱的体积为，
则有，
又因为
，
又，
所以，
所以，
，
解得，
所以．
故选：．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9．（6分）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数．某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是　　
（附：若随机变量服从正态分布，．
A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布，
C．约有20000名学生的成绩低于58分
D．全体学生成绩的第84百分位数约为78
解：对于选项，根据离散系数，可得标准差为，故正确；
对于，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，则学生考试成绩近似服从正态分布，，故错误；
对于选项，平均分为57.4，所以成绩低于58分得概率约为0.5，
所以约有名学生的成绩低于58分，故正确；
对于选项，又因为，且，
所以全体学生成绩的第84百分位数约为，故正确．
故选：．
10．（6分）若，则　　
A． B． C． D．
解：对于选项，：因为，
所以．
设，
则．
因为，
所以在上单调递增，．
所以，，故选项，正确；
对于选项：又因为（e），（3），
所以，
所以，
所以，故选项错误；
对于选项：设，
则，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，（1），
即，，故选项正确．
故选：．
11．（6分）在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线．给出下列四个结论，其中正确是　　
A．曲线关于轴对称
B．若点，在曲线上，则
C．若点，在曲线上，则
D．若点，在曲线上，则
解：在平面直角坐标系中，已知定点和定直线，若到点与直线的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线，
设动点，根据点到点与直线的距离之和等于10，
所以，即，
化简得，当时，，
当时，，图象如下，
选项，根据图象得，曲线不关于轴对称，故错误；
选项，若点，在曲线上，则，
所以，由，得，
所以，故错误；选项，若点在曲线上，，则，正确；
选项，若点在曲线上，，
当时，，得，故，
当时，，得，故，
所以，正确，故正确．
故选：．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知是第二象限内的角，，则 　　．
解：由已知可得，则，
则．
故答案为：．
13．已知长方体的长、宽、高分别为、、3，连接其各面的中心，得到一个八面体．已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为 　80　．
解：八面体分成两个同底等高的四棱锥和四棱锥，
，
四棱锥的底面面积是长方体底面面积的一半，高是长方体高的一半，
，
化简得，
长方体的表面积为
，
当且仅当时取“”，
长方体的表面积的最小值为80．
故答案为：80．
14．在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片．为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 　　．
解：同学们至少经过5次操作才能都拿到自己的名牌，
这里研究排序混乱到什么程度才需要“至少经过5次互换”六位同学才能都拿到自己的名牌，
这里不妨记甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，
首先，考虑一种情况：假设字母“甲”已经拿到自己的名牌，即排在1号位，
其他名牌皆不在对应同学的手里，
由题意知把其他五个名牌换到对应同学的手里至少需要经过4次操作，
即第一次让“乙”归位，第二次让“丙”归位，第三次让“丁”归位，
第四次将“戊”与“己”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；
若甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的名牌均不在自己手里，
但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位，此时也不能满足“至少进行5次操作”的情况，
要满足“至少进行5次操作”的情况，
则自己的名牌均不在自己手里，且交换过程中只存在最后一次互换两位同学都能拿到自己的名牌，
综上，总的排序方法有种，
所有的随机情况有种，
这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且△是边长为2的等边三角形．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，取的中点，连接、，
因为四边形为菱形，，
则△为等边三角形，
因为为的中点，则，同理可得，
因为，、平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：由（1）可知，，
同理可得，又，
所以，所以，
又因为，，
则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，0，，，
则，，
设平面的法向量为，
则有，取，可得，
因为，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16．（15分）如图，在等边△中，为边上一点，，点、分别是边，上的动点（不包括端点），若，且设．
（1）求证：不论为何值，恒成立．
（2）当△和△的面积相等时，求的值．
【解答】（1）证明：在△中，，
又，所以，
在△中，，所以，
在△中，由正弦定理得，即，
在△中，由正弦定理得，即，
所以，
即不论为何值，恒成立；
（2）解：因为，
，
又，，由（1）可得，
所以，
即，
整理得，
所以．
17．（15分）已知抛物线的焦点为．过焦点的直线交抛物线于，两点．抛物线在点处的切线为直线，过点作平行于直线的直线交抛物线于点．设点，，，，，．
（1）求证：，，成等差数列；
（2）求△的面积的最小值．
解：（1）证明：如图所示，由题意得，准线方程为，
直线的斜率存在，故设直线的方程为，
因为，即，则，直线的斜率为，
设过点作平行于直线的直线为，
则直线的方程为，
即，联立，得，
因为直线与抛物线交于，，，，
根据韦达定理可得，故，，成等差数列．
（2）不妨设，过向直线作平行于轴的直线交直线于，
由（1）可得，故，
根据直线的方程，
当时，，
故，
故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故△的面积最小值为16．
18．（17分）已知函数．
（1）若曲线在点，（e）处的切线在轴上的截距为，求的值；
（2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围；
（3）若函数存在极大值，记作（a），求证：（a）．
（参考结论：当时，，这里表示从0的右边逼近0，表示从0的左边逼近0．
【解答】（1）解：函数，则且，
则，
曲线在点，（e）处的切线方程为，
令，则，
由题意得，解得；
（2）解：存在唯一极值点等价于方程在，，上有唯一解．
设，，，，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
在上的值域为，在上的值域为，
故只需，解得，即实数的取值范围为，；
（3）证明：设，
当时，，（1），（e），
存在使得，
即当，，时，，当，，时，，
在，，上单调递增，在，，上单调递减，
存在极大值为，极小值为，不符合题意；
当时，由（2）知，存在唯一的零点，
则在，上单调递减，在，上单调递增，
存在极小值为．
故若存在极大值，则，且（a），
有，，得，即，即，
则（a），
令，，则，
在上单调递增，
（1），即（a）．
19．（17分）已知集合是由，为大于1的整数）个连续的正整数组成的集合．现将集合拆分成个子集，2，3，，，且集合，2，3，，满足：①两两没有公共元素；②元素的个数均为个，则称对集合进行了“个均分拆”．进一步，若集合，2，3，，又满足条件，则称对集合进行了“条件下个均分拆”．
（1）若集合，2，3，，请写出对集合进行“2个均分拆”的所有拆法．
（2）若集合，2，3，，试判断是否可以对集合进行“条件下2个均分拆”（条件为“，其中，，，” ，并说明理由．
（3）若集合，，，，，是否可以对集合进行“条件下16个均分拆”（条件为“集合，2，3，，中的最大数等于另外的两数之和” ？若能，求出整数的最大值，并给出一种拆法；若不能，说明理由．
解：（1），2，3，，由题可知：对集合进行“2个均分拆”的所有拆法为：
，和，，，和，，，和，．
（2）不可以对集合进行“条件下2个均分拆”，理由如下：
假设可以对集合，2，3，进行“条件下2个均分拆”，
不妨设，，，，，，，，其中，，，，，，，，2，3，．
则由条件为“，其中，，，”可知：，，
，
，，，中有1个或者3个为奇数．
，，，，，，，，2，3，，
，，，中有且只有1个是奇数，
不妨设为奇数，可知与中各有2个奇数．
满足条件的集合，2，3，进行“2个均分拆”有：，3，2，和，7，6，，，3，2，和，7，4，，，3，2，和，7，4，，，3，4，和，7，2，，
，3，4，和，7，2，，，3，6，和，7，2，，，5，2，和，7，6，，
，5，2，和，7，4，，，5，2，和，7，4，，，5，4，和，7，2，，
，5，4，和，7，2，，，5，6，和，7，2，，，7，2，和，5，6，，
，7，2，和，5，4，，，7，2，和，5，4，，，7，4，和，5，2，，
，7，4，和，5，2，，，7，6，和，5，2，，共18种．
其中满足对集合进行“条件下2个均分拆”（条件为“，其中，，，” 的没有．
（3）集合，，，，中有48个元素，
对集合进行“条件下16个均分拆”得到集合，2，3，，，
将，2，3，，中的最大的数依次记为，2，3，，，
则；
另一方面，集合，，，，中所有元素和为：，
条件为“集合，2，3，，中的最大数等于另外的两数之和”，
，，解得．
，．
当时，，，，，，9，10，，可拆为，40，，，38，，，39，，，35，，，31，，，37，，，25，，，26，，，29，，，27，，，34，，，23，，，33，，，30，，，32，，，28，（拆法不唯一）．
综上所述，的最大值是7．

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