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四川省达州市开江县永兴中学2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题
1．（2024九上·开江期中）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·开江期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·开江期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
4．（2024九上·开江期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数
近视学生数与的比值
A． B． C． D．
5．（2024九上·开江期中）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（　　）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
6．（2024九上·开江期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·开江期中）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（2024九上·开江期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（　　）
A．4 B． C．8 D．
9．（2024九上·开江期中）定义新运算：，例如：，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
10．（2024九上·开江期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（　　）．
A．3 B．6 C． D．
11．（2024九上·开江期中）已知，则的值为　 　．
12．（2024九上·开江期中）黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为　 　．
13．（2024九上·开江期中）若是方程的根，则的值为　 　．
14．（2024九上·开江期中）如图，在中，，从左到右依次摆放三个正方形：，，，已知顶点，，在边上，顶点，，在边上，，，则的长为　 　．
15．（2024九上·开江期中）如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是　 　．
16．（2024九上·开江期中）用适当方法解下列方程：
（1）
（2）
17．（2024九上·开江期中）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为2厘米．
（1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
（2）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________．
18．（2024九上·开江期中）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
19．（2024九上·开江期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为；
（3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积．
20．（2024九上·开江期中）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
21．（2024九上·开江期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
22．（2024九上·开江期中）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
23．（2024九上·开江期中）如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N．
（1）若，求的值；
（2）求证：．
24．（2024九上·开江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A， B两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2024九上·开江期中）在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
（1）如图1，若，当点F在矩形对角线上时，求的长；
（2）如图2，当点F在上时，若，求的长；
（3）如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该直口杯的左视图为，
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】一元二次方程，
二次项系数为，一次项系数为3，常数项为，
故选：A．
【分析】
对于一元二次方程，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为，注意系数包括其前面的符号．
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：D ．
【分析】
大量重复试验的频率逐渐趋向于概率．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设祈年殿的高度为米，
由同一时刻物长与影长比相等得：
则，
解得．
所以祈年殿的高度为38米．
故选：D．
【分析】
由于太阳光一组平行线，则同一时刻物长与影长比相等，即，再代入数据计算即可．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为，
依题意，得：，
故选：C．
【分析】
由于金色纸边的宽度为 ，则矩形风景画的长和宽分别为和，再根据等量关系“ 整个挂图的面积是 ”列方程即可．
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：D．
【分析】
由于位似图形的面积比等于位似比的平方，再结合A、D两点坐标可得与位似比为1：2，即面积比为1：4．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形的对角线，相交于点O，
，，，
，
，
在中，点O是的中点，
，
，
，
，
菱形的面积为16，
，
，
，
在中，，
的长为．
故选：B．
【分析】
由于菱形的对角线互相垂直平分，则三角形AOB是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得BD的长，再由菱形的面积等于对角乘积的一半可得AC的长，再在直角三角形AOB中应用勾股定理求出AB的长，再利用菱形面积公式计算即可．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
【分析】
先由新运算得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行计算即可判定．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
时，最小，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴，
的最小值为．
故选：C．
【分析】
由于菱形的一个内角，则连接BD可得等边三角形ABD，又菱形的对角线平分一组对角，则，再分别连接BE、BF，则可证明，则由全等的性质可得BD＝BF、，则可证是等边三角形，则EF＝BE，则由垂线段最短可知当时BE最短，即EF最短．
11．【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】
设，则由比例的性质得，，然后代入计算分式的值即可．
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；黄金分割
【解析】【解答】解：
五边形是正五边形，
，，
∴，
同理，
，、
，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据正五边形的性质和内角和可求得其每一个内角都是108度，又正五边形的边都相等，则利用等腰三角形的内角和可得每两组邻边和对角线围成的三角形的底角都是36度，则可得的为36度，和都等于72度，即是顶角为36度的等腰三角形，则应用黄金比即可求得边DE的长．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，，
∴，
故答案为： ．
【分析】
先把所求代数式转化为，再由一元二次解的概念可得，再由一元二次方程根与系数的关系得、，则，再整体代入到所求代数式中计算即可．
14．【答案】6
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形，，为正方形，，，
∴，，
∴，
∴，
设正方形的边长为x，则，
∴，
解得：（负值舍去），
∴的长为6，
故答案为：6．
【分析】
由正方形的性质可知，则由平行线的性质可判定，则由相似比可得，此时可EM＝x，则，再解关于x的分式方程并对根进行取舍即可．
15．【答案】（0，3）或（，0）或（4，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有三种情形：
①当PQ∥OB交y轴于点Q时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）；
②当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）；
③当PQ⊥AB时，满足条件．连接AQ．
∵PA＝PB，PQ'⊥AB，
∴Q'A＝Q'B，设Q'A＝Q'B＝m，
在Rt△AOQ'中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ'＝8﹣＝，
∴Q'（，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
【分析】
由直线上点的坐标特征可得A（0，6）、B（8，0），则OA＝6、OB＝8，再由两角对应相等两三角形相似得：①当交y轴于点Q时；②当交x轴于点Q时；当交x轴于点Q时 ，对于①和②，可利用中位线定理结合中点坐标公式求解，对于，可先利用垂直平分线的性质定理结合勾股定理求解．
16．【答案】（1）解：，
，
，
，，
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先把左边的完全平方式前面的因数化为1，再直接开平方；
（2）若一元二次方程的各项系数比较简单且二次项系数为1，则可利用配方法求解，其基本步骤是先把常数项移到等号右边，再给方程两边都加上一次项系数一半的平方，再开平方．
（1）解：，
，
，
，，
（2）解：，
，
，
，
，
．
17．【答案】（1）解：如图所示．
（2）
【知识点】小正方体组合体的三视图；小正方体组合体的表面积
【解析】【解答】（2）解：这个几何体的表面积为．
【分析】
（1）从物体正面观察得到的图形叫主视图，从左面观察得到的图形叫左视图，从上面观察得到的图形叫俯视图；
（2）由几何体的三视图知，正面有6个面、左面有4个面、上面有4个面，由于从左面观察时中间遮挡了两个面，则该几何体共有15个面，则其表面积一共有30个面，即，即120平方厘米．
（1）如图所示．
（2）这个几何体的表面积为．
18．【答案】（1）解：400，
补全条形统计图如下所示：
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
故答案为：400；
【分析】
（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可解答；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）解：如图，连接，，
由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为，
该四边形的面积为：．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】
（1）分别作A 、B、C三点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）由于已知三角形在第2象限，而所求的三角形在第4象限，即以原点为位似中心在两侧作位似图形，由于位似比为1；2，即分别连接AO、BO、CO并延长到点A2、B2、C2，使A2O＝2AO、B2O＝2BO、C2O＝2CO，再后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）连接，，由位似比等于相似比可判定，则四边形是梯形，再利用梯形的面积公式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，连接，，
由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为，
该四边形的面积为：．
20．【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【知识点】中心投影；用图象表示变量间的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
21．【答案】（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于正方形的对角线平分一组对角知，可过点E作于点M，于点N，则EM＝EN，则可证四边形EMCN是正方形，再结合矩形的性质可证明，则，则矩形EFGD是正方形；
（2）由于正方形ABCD和正方形EFGD有公共顶点D，则可利用手拉手全等模型证明，则、，再由正方形的性质结合勾股定理可得，则，此时连接EG，则由勾股定理可得，最后再利用正方形的性质和勾股定理即可．
（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
22．【答案】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率；
（2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，每千克利润为元，再根据等量关系“ 每周获利2240元 ”列关于x的一元二次方程并求解，再结合水果售价不能超过15元/千克确定方程的解即可．
（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
23．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，，，
，
，
∵在中，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平行四边形对边平行且相等可得，，再利用两直线平行内错角相等可证明，再由相似比可得；
（2）同上可分别证明，，由相似比可得，再化比例式为等积式即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，
，，
，
，
∵在中，，
，，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：∵这两条直线相交于点P，
∴联立，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）答：存在点Q 使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形 ，理由如下：
由（1）可得：，
，，，
，
∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图，设点Q（m，n）
解得
∴；
（3）解：假设在x轴上存在一点M，使，当点M在x轴正半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
当点M在x轴负半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
综上所述，点M的坐标为或；
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数的其他应用；相似三角形的判定-AA；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）求两直线交点的坐标，即联立两直线的解析式得方程组并求解即可；
（2）可先利用两点距离公式分别求出、、的长，由于且，即以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时只能以PD为对角线，则可设Q（m，n），由于菱形的对角线互相平分，即线段PD和AQ中点重合，则借助中点坐标公式可得方程组并求解即可；
（3）由于点M在x轴上，则总有，则当时，两三角形必然相似，此时可分为M在x轴正半轴和M在x轴负半轴两种情况，分别利用相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）解：∵这两条直线相交于点P，
∴联立，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：由（1）可得：，
，，，
，
∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图，
∴；
（3）解：假设在x轴上存在一点M，使，
当点M在x轴正半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
当点M在x轴负半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
综上所述，点M的坐标为或；
25．【答案】（1）解：设， 根据折叠的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即
解得 即；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
解得：，即；
（3）解：如图， 过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴设，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设 则，
在中，，
，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由矩形的性质结合勾股定理可得AC的长，再由折叠的性质可得CF＝CB＝8，EF＝BF，则AF可求，再在RTAEF中应用勾股定理即可；
（2）先由折叠得，，即有，再由矩形的性质结合同角的余角相等可得， 则可证，再利用相似比得，则可得，此时可设EF的长，则AE可用EF的代数式表示，再在中应用勾股定理可求得EF，即BE可得，BC亦可得；
（3）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点， 则可依据AAS证，则，再由折叠的性质可得，则，则可设则，所以，在应用勾股定理可得，再设， 则，再在中运用勾股定理可得，则可求．
（1）解：设， 根据折叠的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即
解得 即；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
解得：，即；
（3）解：如图， 过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴设，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设 则，
在中，，
，
解得：，
，
．
1 / 1四川省达州市开江县永兴中学2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题
1．（2024九上·开江期中）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该直口杯的左视图为，
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．（2024九上·开江期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】一元二次方程，
二次项系数为，一次项系数为3，常数项为，
故选：A．
【分析】
对于一元二次方程，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为，注意系数包括其前面的符号．
3．（2024九上·开江期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
4．（2024九上·开江期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数
近视学生数与的比值
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：D ．
【分析】
大量重复试验的频率逐渐趋向于概率．
5．（2024九上·开江期中）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（　　）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设祈年殿的高度为米，
由同一时刻物长与影长比相等得：
则，
解得．
所以祈年殿的高度为38米．
故选：D．
【分析】
由于太阳光一组平行线，则同一时刻物长与影长比相等，即，再代入数据计算即可．
6．（2024九上·开江期中）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为，
依题意，得：，
故选：C．
【分析】
由于金色纸边的宽度为 ，则矩形风景画的长和宽分别为和，再根据等量关系“ 整个挂图的面积是 ”列方程即可．
7．（2024九上·开江期中）如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：D．
【分析】
由于位似图形的面积比等于位似比的平方，再结合A、D两点坐标可得与位似比为1：2，即面积比为1：4．
8．（2024九上·开江期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（　　）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形的对角线，相交于点O，
，，，
，
，
在中，点O是的中点，
，
，
，
，
菱形的面积为16，
，
，
，
在中，，
的长为．
故选：B．
【分析】
由于菱形的对角线互相垂直平分，则三角形AOB是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得BD的长，再由菱形的面积等于对角乘积的一半可得AC的长，再在直角三角形AOB中应用勾股定理求出AB的长，再利用菱形面积公式计算即可．
9．（2024九上·开江期中）定义新运算：，例如：，则关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
【分析】
先由新运算得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行计算即可判定．
10．（2024九上·开江期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（　　）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
时，最小，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴，
的最小值为．
故选：C．
【分析】
由于菱形的一个内角，则连接BD可得等边三角形ABD，又菱形的对角线平分一组对角，则，再分别连接BE、BF，则可证明，则由全等的性质可得BD＝BF、，则可证是等边三角形，则EF＝BE，则由垂线段最短可知当时BE最短，即EF最短．
11．（2024九上·开江期中）已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】
设，则由比例的性质得，，然后代入计算分式的值即可．
12．（2024九上·开江期中）黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；多边形内角与外角；黄金分割
【解析】【解答】解：
五边形是正五边形，
，，
∴，
同理，
，、
，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据正五边形的性质和内角和可求得其每一个内角都是108度，又正五边形的边都相等，则利用等腰三角形的内角和可得每两组邻边和对角线围成的三角形的底角都是36度，则可得的为36度，和都等于72度，即是顶角为36度的等腰三角形，则应用黄金比即可求得边DE的长．
13．（2024九上·开江期中）若是方程的根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，，
∴，
故答案为： ．
【分析】
先把所求代数式转化为，再由一元二次解的概念可得，再由一元二次方程根与系数的关系得、，则，再整体代入到所求代数式中计算即可．
14．（2024九上·开江期中）如图，在中，，从左到右依次摆放三个正方形：，，，已知顶点，，在边上，顶点，，在边上，，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形，，为正方形，，，
∴，，
∴，
∴，
设正方形的边长为x，则，
∴，
解得：（负值舍去），
∴的长为6，
故答案为：6．
【分析】
由正方形的性质可知，则由平行线的性质可判定，则由相似比可得，此时可EM＝x，则，再解关于x的分式方程并对根进行取舍即可．
15．（2024九上·开江期中）如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是　 　．
【答案】（0，3）或（，0）或（4，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有三种情形：
①当PQ∥OB交y轴于点Q时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）；
②当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）；
③当PQ⊥AB时，满足条件．连接AQ．
∵PA＝PB，PQ'⊥AB，
∴Q'A＝Q'B，设Q'A＝Q'B＝m，
在Rt△AOQ'中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ'＝8﹣＝，
∴Q'（，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
【分析】
由直线上点的坐标特征可得A（0，6）、B（8，0），则OA＝6、OB＝8，再由两角对应相等两三角形相似得：①当交y轴于点Q时；②当交x轴于点Q时；当交x轴于点Q时 ，对于①和②，可利用中位线定理结合中点坐标公式求解，对于，可先利用垂直平分线的性质定理结合勾股定理求解．
16．（2024九上·开江期中）用适当方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，，
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先把左边的完全平方式前面的因数化为1，再直接开平方；
（2）若一元二次方程的各项系数比较简单且二次项系数为1，则可利用配方法求解，其基本步骤是先把常数项移到等号右边，再给方程两边都加上一次项系数一半的平方，再开平方．
（1）解：，
，
，
，，
（2）解：，
，
，
，
，
．
17．（2024九上·开江期中）如图，是由7个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为2厘米．
（1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
（2）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）
【知识点】小正方体组合体的三视图；小正方体组合体的表面积
【解析】【解答】（2）解：这个几何体的表面积为．
【分析】
（1）从物体正面观察得到的图形叫主视图，从左面观察得到的图形叫左视图，从上面观察得到的图形叫俯视图；
（2）由几何体的三视图知，正面有6个面、左面有4个面、上面有4个面，由于从左面观察时中间遮挡了两个面，则该几何体共有15个面，则其表面积一共有30个面，即，即120平方厘米．
（1）如图所示．
（2）这个几何体的表面积为．
18．（2024九上·开江期中）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】（1）解：400，
补全条形统计图如下所示：
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
故答案为：400；
【分析】
（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可解答；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
19．（2024九上·开江期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为；
（3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）解：如图，连接，，
由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为，
该四边形的面积为：．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】
（1）分别作A 、B、C三点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）由于已知三角形在第2象限，而所求的三角形在第4象限，即以原点为位似中心在两侧作位似图形，由于位似比为1；2，即分别连接AO、BO、CO并延长到点A2、B2、C2，使A2O＝2AO、B2O＝2BO、C2O＝2CO，再后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）连接，，由位似比等于相似比可判定，则四边形是梯形，再利用梯形的面积公式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，连接，，
由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为，
该四边形的面积为：．
20．（2024九上·开江期中）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【知识点】中心投影；用图象表示变量间的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
21．（2024九上·开江期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于正方形的对角线平分一组对角知，可过点E作于点M，于点N，则EM＝EN，则可证四边形EMCN是正方形，再结合矩形的性质可证明，则，则矩形EFGD是正方形；
（2）由于正方形ABCD和正方形EFGD有公共顶点D，则可利用手拉手全等模型证明，则、，再由正方形的性质结合勾股定理可得，则，此时连接EG，则由勾股定理可得，最后再利用正方形的性质和勾股定理即可．
（1）证明：过点E作于点M，于点N，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）解：连接，
四边形和都是正方形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
正方形的边长为．
22．（2024九上·开江期中）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率；
（2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，每千克利润为元，再根据等量关系“ 每周获利2240元 ”列关于x的一元二次方程并求解，再结合水果售价不能超过15元/千克确定方程的解即可．
（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
23．（2024九上·开江期中）如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N．
（1）若，求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，，，
，
，
∵在中，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平行四边形对边平行且相等可得，，再利用两直线平行内错角相等可证明，再由相似比可得；
（2）同上可分别证明，，由相似比可得，再化比例式为等积式即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，
，，
，
，
∵在中，，
，，
，
，
，
．
24．（2024九上·开江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A， B两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵这两条直线相交于点P，
∴联立，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）答：存在点Q 使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形 ，理由如下：
由（1）可得：，
，，，
，
∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图，设点Q（m，n）
解得
∴；
（3）解：假设在x轴上存在一点M，使，当点M在x轴正半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
当点M在x轴负半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
综上所述，点M的坐标为或；
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数的其他应用；相似三角形的判定-AA；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）求两直线交点的坐标，即联立两直线的解析式得方程组并求解即可；
（2）可先利用两点距离公式分别求出、、的长，由于且，即以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时只能以PD为对角线，则可设Q（m，n），由于菱形的对角线互相平分，即线段PD和AQ中点重合，则借助中点坐标公式可得方程组并求解即可；
（3）由于点M在x轴上，则总有，则当时，两三角形必然相似，此时可分为M在x轴正半轴和M在x轴负半轴两种情况，分别利用相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）解：∵这两条直线相交于点P，
∴联立，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：由（1）可得：，
，，，
，
∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图，
∴；
（3）解：假设在x轴上存在一点M，使，
当点M在x轴正半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
当点M在x轴负半轴时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点；
综上所述，点M的坐标为或；
25．（2024九上·开江期中）在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
（1）如图1，若，当点F在矩形对角线上时，求的长；
（2）如图2，当点F在上时，若，求的长；
（3）如图3，若，延长，与的平分线交于点G，交于点，求的值．
【答案】（1）解：设， 根据折叠的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即
解得 即；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
解得：，即；
（3）解：如图， 过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴设，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设 则，
在中，，
，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由矩形的性质结合勾股定理可得AC的长，再由折叠的性质可得CF＝CB＝8，EF＝BF，则AF可求，再在RTAEF中应用勾股定理即可；
（2）先由折叠得，，即有，再由矩形的性质结合同角的余角相等可得， 则可证，再利用相似比得，则可得，此时可设EF的长，则AE可用EF的代数式表示，再在中应用勾股定理可求得EF，即BE可得，BC亦可得；
（3）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点， 则可依据AAS证，则，再由折叠的性质可得，则，则可设则，所以，在应用勾股定理可得，再设， 则，再在中运用勾股定理可得，则可求．
（1）解：设， 根据折叠的性质可得，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即
解得 即；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
解得：，即；
（3）解：如图， 过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴设，
根据折叠的性质可得：，
∴，
在中，，
设 则，
在中，，
，
解得：，
，
．
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