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四川省广安市岳池县2024—2025学年上学期八年级数学期中监测评估样卷 -- 八年级数学
1．（2024八上·岳池期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·岳池期中）适当进行有氧运动、可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（2024八上·岳池期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2024八上·岳池期中）如图，若，且，，则的长是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．17
5．（2024八上·岳池期中）在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·岳池期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·岳池期中）如图，在四边形中，，，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·岳池期中）如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（　　）
A．23 B．35 C．33 D．53
9．（2024八上·岳池期中）如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2024八上·岳池期中）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．给出以下结论：①是的平分线；②；③点D在线段的垂直平分线上；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024八上·岳池期中）若等边三角形的边长是，则的周长是　 　．
12．（2024八上·岳池期中）如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若要以“ASA”证明△ABC≌△DEF，则还缺条件　 　．
13．（2024八上·岳池期中）如图，、，，则的度数为　 　．
14．（2024八上·岳池期中）如图，，则的度数为　 　．
15．（2024八上·岳池期中）如图，已知的周长是30，，分别平分和，，垂足为D，且，则的面积是　 　．
16．（2024八上·岳池期中）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，　 　．
17．（2024八上·岳池期中）小刚在计算一个多边形的内角和时，求出结果为，老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．这个多边形是几边形？请说明理由．
18．（2024八上·岳池期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标．
19．（2024八上·岳池期中）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
20．（2024八上·岳池期中）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由．
21．（2024八上·岳池期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
22．（2024八上·岳池期中）小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米．
（1）请用含的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
23．（2024八上·岳池期中）如图所示，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东方向，该轮船以每小时的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东方向，且C处与海岛B相距，继续航行到D处，观测到海岛B在北偏西方向．请确定轮船到达C处和D处的时间．
24．（2024八上·岳池期中）小红家的阳台上放置了一个落地晒衣架．如图是该晒衣架的侧面示意图，B、D两点置于地面上，、现将晒衣架完全稳固张开，经测量有．立杆、的交点O距离地面．若小红的连衣裙挂在衣架上后，总长度达到，此时连衣裙是否会碰到地面？请通过计算说明理由．
25．（2024八上·岳池期中）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，给出下列三个条件：平分；；．
【推理论证】（1）由哪两个条件可以判定？用序号写出所有符合条件的情形，并选择其中一种情形，给出证明．
【应用内化】（2）如图2，在中，是的平分线，过A点作的垂线，分别交于点E，F，请用含a，b的代数式表示的长．
26．（2024八上·岳池期中）【问题情景】
如图，在四边形中，点E，F分别在，上，连接E，，．
【问题发现】
（1）四边形的内角和的度数为 ；
【问题探究】
（2）如图1，在四边形中，延长到点C，使，连接，，若，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
【探索延伸】
（3）如图2，在四边形中，若，，且，请判断、和之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】双人漫步机的支架为三角形，
这种设计应用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A
【分析】
三角形具有稳定性.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A.，不能构成三角形；
B.，不能构成三角形；
C.，能构成三角形；
D.，不能构成三角形.
故选：C.
【分析】
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
4．【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
故选：B ．
【分析】
由全等三角形的对应边相等可得，则即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先由等边对等角可得，再利用三角形内角和即可．
6．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，正多边形的边数为，
∴正多边形的内角和为，
故选： A．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度，则该正多边形的边数为18，再利用多边形内角和公式计算即可．
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：C．
【分析】
先利用HL判定，再由全等三角形的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为38，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
由于三角形一条边上的中线等分这条边，则由的周长结合AB的长可得BD+AD的值，即BD+CD可得，再加上BC的长即可得 的周长 ．
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ P是角平分线上的一点，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
，
∵点C是上一个动点，
∴的最小值为P到距离，
∵点P在的平分线上，
∴的最小值，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，由直角三角形两锐角互余可得，由DM＝PM可判定为等边三角形，即可得PD＝8，再由垂线段最短可得，即PC的最小值为8．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，是的平分线，故结论①正确，符合题意；
，，
，
是的平分线，
，
，故结论②正确，符合题意；
，
，
点在线段的垂直平分线上，故结论③正确，符合题意；
在中，，
，过点作于点，
是的平分线，，
，
，，
，
，故结论④不正确，不符合题意，
综合所述，正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】
①由基本作图过程可知，是的平分线；
②由直角三角形两锐角互余可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质计算即可；
③由②得，则，则点D在线段的垂直平分线上；
④由含30度角的直角三角形的性质可得，又由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作于点E，则，再由三角形面积计算公式可得，则．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：等边三角形的边长是，
，
的周长是，
故答案为：．
【分析】
等边三角形三条边相等，则其三角形的周长等于边长的3倍．
12．【答案】∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】当添加∠A＝∠D时，可证明△ABC≌△DEF；
理由：在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案为∠A＝∠D．
【分析】
用ASA判定两三角形全等时，必须是已知两个角及其夹边对应相等．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】
先由三角形的外角性质可得，再利用两直线平行内错角相等可得即可．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∴
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由三角形内角和定理知，即所求几个角的和等于，再代入的值计算即可．
15．【答案】75
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接，过点O分别作于点E，于点F，
∵，
，
∵、为角平分线，
∴，
∴．
故答案是：75．
【分析】
由于三角形两内角平分线的交点即三角形的内心，则由角平分线的性质知内心到三边距离相等，则三角形的面积等于内心到一边的距离乘以周长的一半即可．
16．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，观察图形知，，则，则由直角三角形两锐角互余可得，又是等腰直角三角形的一个内角，即，则．
17．【答案】解：设边形内角和为，
∴，
解得：，
∴，
∴这个多边形是五边形．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】
先由多边形内角和公式求得错误的边数，再给n减去1即可．
18．【答案】（1）解：如图，
（2），，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ ．
【分析】
（1）先分别作A 、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次A1、B1、C1连接即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标取相反数．
（1）解：如图，
即为所求；
（2）解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ ．
19．【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【分析】先由三角形高的定义可知，再利用直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得结合已知等量代换得即可．
20．【答案】解：，理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D分别向两边AB、AC作垂线段DM、DN，则DM＝DN；再根据同角的补角相等可得，又直角，则可依据AAS证明即可.
21．【答案】解：如图，过点A作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴，
同理可得，，
又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为，
∴
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由直角三角形中的角所对的直角是斜边的一半，则可分别过点A、点作于点，作于点，则，同理BF＝40，则通过闸机的物体的最大宽度为，即87厘米．
22．【答案】（1）解：∵第一条边长为米， 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为米，
∴米；
∴第三条边长为米；
（2）解：不能，
因为当时，三边长分别为，
由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米.
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
（1）由题意可先作含m的代数式表示出第二条边长，再利用三角形的周长即32米分别减去前两条边长即可得第三条边长；
（2）当时可得三边长分别为，再利用三角形三边关系进行判断即可．
（1）解：∵第一条边长为米， 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为米，
∴米；
∴第三条边长为米；
（2）解：不能，
因为当时，三边长分别为，
由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米；
23．【答案】解：由题意，知，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
轮船从A处到达C处所用的时间为（），从A处到达D处所用的时间为，
故轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【分析】由方位角可得、，则，即可判定是等边三角形、是直角三角形，且，即，再分别利用行程和速度求出所需时间即可．
24．【答案】解：结论：连衣裙会碰到地面．
理由：如图，过点O作于点G，延长，交于点H，
由题知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
．
，
连衣裙会碰到地面．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由于全等三角形的对应高相等，因此可分别过点O作边AC、BD的垂线段OH和OG，则根据可证明与全等，则OG＝OH、，则可知AC平行BD，即H、O、G三点共线，则HG＝2OH，再比较HG与100的大小即可判断．
25．【答案】解：（1）选择①②，证明过程如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）是的平分线，
，
．
在与中，，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；余角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先由角平分线的定义、垂直的定义结合等角的余角相等可得，再由等角对等边可得；
（2）同上可证，则即可．
26．【答案】（1）
（2）答：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）答：结论，理由如下：
如图，延长到点，使得，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；多边形内角与外角；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）四边形的内角和为，
故答案是：；
【分析】
（1）任意多边形的内角和都是360度；
（2）由旋转全等模型可证明，即AE＝AG；
（3）同（2）延长FD至点G，使DG＝BE，则由旋转全等模型可得，则，再结合已知可证，则可利用翻转全等模型证明，则．
1 / 1四川省广安市岳池县2024—2025学年上学期八年级数学期中监测评估样卷 -- 八年级数学
1．（2024八上·岳池期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八上·岳池期中）适当进行有氧运动、可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】双人漫步机的支架为三角形，
这种设计应用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A
【分析】
三角形具有稳定性.
3．（2024八上·岳池期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A.，不能构成三角形；
B.，不能构成三角形；
C.，能构成三角形；
D.，不能构成三角形.
故选：C.
【分析】
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
4．（2024八上·岳池期中）如图，若，且，，则的长是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．17
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
故选：B ．
【分析】
由全等三角形的对应边相等可得，则即可．
5．（2024八上·岳池期中）在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先由等边对等角可得，再利用三角形内角和即可．
6．（2024八上·岳池期中）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意，正多边形的边数为，
∴正多边形的内角和为，
故选： A．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是360度，则该正多边形的边数为18，再利用多边形内角和公式计算即可．
7．（2024八上·岳池期中）如图，在四边形中，，，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：C．
【分析】
先利用HL判定，再由全等三角形的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可．
8．（2024八上·岳池期中）如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（　　）
A．23 B．35 C．33 D．53
【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为38，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故选：B．
【分析】
由于三角形一条边上的中线等分这条边，则由的周长结合AB的长可得BD+AD的值，即BD+CD可得，再加上BC的长即可得 的周长 ．
9．（2024八上·岳池期中）如图，点P在的平分线上，，于点D，点M在上，连接，．若C是上的动点，则的长度的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ P是角平分线上的一点，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
，
∵点C是上一个动点，
∴的最小值为P到距离，
∵点P在的平分线上，
∴的最小值，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，由直角三角形两锐角互余可得，由DM＝PM可判定为等边三角形，即可得PD＝8，再由垂线段最短可得，即PC的最小值为8．
10．（2024八上·岳池期中）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．给出以下结论：①是的平分线；②；③点D在线段的垂直平分线上；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，是的平分线，故结论①正确，符合题意；
，，
，
是的平分线，
，
，故结论②正确，符合题意；
，
，
点在线段的垂直平分线上，故结论③正确，符合题意；
在中，，
，过点作于点，
是的平分线，，
，
，，
，
，故结论④不正确，不符合题意，
综合所述，正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】
①由基本作图过程可知，是的平分线；
②由直角三角形两锐角互余可得，再由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质计算即可；
③由②得，则，则点D在线段的垂直平分线上；
④由含30度角的直角三角形的性质可得，又由角平分线上的点到角两边距离相等可过点D作于点E，则，再由三角形面积计算公式可得，则．
11．（2024八上·岳池期中）若等边三角形的边长是，则的周长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：等边三角形的边长是，
，
的周长是，
故答案为：．
【分析】
等边三角形三条边相等，则其三角形的周长等于边长的3倍．
12．（2024八上·岳池期中）如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若要以“ASA”证明△ABC≌△DEF，则还缺条件　 　．
【答案】∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】当添加∠A＝∠D时，可证明△ABC≌△DEF；
理由：在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故答案为∠A＝∠D．
【分析】
用ASA判定两三角形全等时，必须是已知两个角及其夹边对应相等．
13．（2024八上·岳池期中）如图，、，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】
先由三角形的外角性质可得，再利用两直线平行内错角相等可得即可．
14．（2024八上·岳池期中）如图，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∴
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由三角形内角和定理知，即所求几个角的和等于，再代入的值计算即可．
15．（2024八上·岳池期中）如图，已知的周长是30，，分别平分和，，垂足为D，且，则的面积是　 　．
【答案】75
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接，过点O分别作于点E，于点F，
∵，
，
∵、为角平分线，
∴，
∴．
故答案是：75．
【分析】
由于三角形两内角平分线的交点即三角形的内心，则由角平分线的性质知内心到三边距离相等，则三角形的面积等于内心到一边的距离乘以周长的一半即可．
16．（2024八上·岳池期中）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，　 　．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，观察图形知，，则，则由直角三角形两锐角互余可得，又是等腰直角三角形的一个内角，即，则．
17．（2024八上·岳池期中）小刚在计算一个多边形的内角和时，求出结果为，老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．这个多边形是几边形？请说明理由．
【答案】解：设边形内角和为，
∴，
解得：，
∴，
∴这个多边形是五边形．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】
先由多边形内角和公式求得错误的边数，再给n减去1即可．
18．（2024八上·岳池期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标．
【答案】（1）解：如图，
（2），，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ ．
【分析】
（1）先分别作A 、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次A1、B1、C1连接即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标取相反数．
（1）解：如图，
即为所求；
（2）解：∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ ．
19．（2024八上·岳池期中）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【分析】先由三角形高的定义可知，再利用直角三角形两锐角互余可得，再由对顶角相等可得结合已知等量代换得即可．
20．（2024八上·岳池期中）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由．
【答案】解：，理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D分别向两边AB、AC作垂线段DM、DN，则DM＝DN；再根据同角的补角相等可得，又直角，则可依据AAS证明即可.
21．（2024八上·岳池期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【答案】解：如图，过点A作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴，
同理可得，，
又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为，
∴
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由直角三角形中的角所对的直角是斜边的一半，则可分别过点A、点作于点，作于点，则，同理BF＝40，则通过闸机的物体的最大宽度为，即87厘米．
22．（2024八上·岳池期中）小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米．
（1）请用含的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
【答案】（1）解：∵第一条边长为米， 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为米，
∴米；
∴第三条边长为米；
（2）解：不能，
因为当时，三边长分别为，
由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米.
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
（1）由题意可先作含m的代数式表示出第二条边长，再利用三角形的周长即32米分别减去前两条边长即可得第三条边长；
（2）当时可得三边长分别为，再利用三角形三边关系进行判断即可．
（1）解：∵第一条边长为米， 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为米，
∴米；
∴第三条边长为米；
（2）解：不能，
因为当时，三边长分别为，
由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米；
23．（2024八上·岳池期中）如图所示，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东方向，该轮船以每小时的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东方向，且C处与海岛B相距，继续航行到D处，观测到海岛B在北偏西方向．请确定轮船到达C处和D处的时间．
【答案】解：由题意，知，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
轮船从A处到达C处所用的时间为（），从A处到达D处所用的时间为，
故轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【分析】由方位角可得、，则，即可判定是等边三角形、是直角三角形，且，即，再分别利用行程和速度求出所需时间即可．
24．（2024八上·岳池期中）小红家的阳台上放置了一个落地晒衣架．如图是该晒衣架的侧面示意图，B、D两点置于地面上，、现将晒衣架完全稳固张开，经测量有．立杆、的交点O距离地面．若小红的连衣裙挂在衣架上后，总长度达到，此时连衣裙是否会碰到地面？请通过计算说明理由．
【答案】解：结论：连衣裙会碰到地面．
理由：如图，过点O作于点G，延长，交于点H，
由题知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
．
，
连衣裙会碰到地面．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由于全等三角形的对应高相等，因此可分别过点O作边AC、BD的垂线段OH和OG，则根据可证明与全等，则OG＝OH、，则可知AC平行BD，即H、O、G三点共线，则HG＝2OH，再比较HG与100的大小即可判断．
25．（2024八上·岳池期中）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，给出下列三个条件：平分；；．
【推理论证】（1）由哪两个条件可以判定？用序号写出所有符合条件的情形，并选择其中一种情形，给出证明．
【应用内化】（2）如图2，在中，是的平分线，过A点作的垂线，分别交于点E，F，请用含a，b的代数式表示的长．
【答案】解：（1）选择①②，证明过程如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）是的平分线，
，
．
在与中，，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；余角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先由角平分线的定义、垂直的定义结合等角的余角相等可得，再由等角对等边可得；
（2）同上可证，则即可．
26．（2024八上·岳池期中）【问题情景】
如图，在四边形中，点E，F分别在，上，连接E，，．
【问题发现】
（1）四边形的内角和的度数为 ；
【问题探究】
（2）如图1，在四边形中，延长到点C，使，连接，，若，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
【探索延伸】
（3）如图2，在四边形中，若，，且，请判断、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）答：，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）答：结论，理由如下：
如图，延长到点，使得，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；多边形内角与外角；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）四边形的内角和为，
故答案是：；
【分析】
（1）任意多边形的内角和都是360度；
（2）由旋转全等模型可证明，即AE＝AG；
（3）同（2）延长FD至点G，使DG＝BE，则由旋转全等模型可得，则，再结合已知可证，则可利用翻转全等模型证明，则．
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