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四川省南充市阆中市东风中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷
1．（2024九上·阆中期中）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，据此结合题意列出关于字母m的混合组，求解即可.
2．（2024九上·阆中期中）函数的图像经过点，则m的值为（　　）
A．1 B．7 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，
可得：，
故答案为：B．
【分析】将点代入，再求出m的值即可.
3．（2024九上·阆中期中） 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（　　）
A．－3 B．2 C．3 D．－4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设方程的另一个根是n，
根据韦达定理可得：1×n=3，
解得：n=3，
故答案为：C.
【分析】设方程的另一个根是n，利用一元二次方程根与系数的关系可得1×n=3，再求出n的值即可.
4．（2024九上·阆中期中）如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用旋转的性质可得，再结合，利用角的运算求出的度数即可.
5．（2024九上·阆中期中）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
移项得：，
配方得：，
整理得：；
故答案为：D.
【分析】根据配方法的步骤即可得出答案.
6．（2024九上·阆中期中）已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式得出其顶点坐标，然后根据顶点在x轴上，结合x轴上点的纵坐标等于0列方程求解即可．
7．（2024九上·阆中期中）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
所以△＞0
即4+4m＞0
解得m>-1．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
8．（2024九上·阆中期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在中，当时，，
∴与y轴的交点为；
在中，当时，，
∴与y轴的交点为，
则与与y轴交于同一点，
故答案为：D．
【分析】根据直线与抛物线与y轴交点的坐标特点求出两函数与y轴的交点坐标为同一点，即可判断得出答案.
9．（2024九上·阆中期中）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．100（1＋x）2＝81 B．81（1＋x）2＝100
C．100（1－x）2＝81 D．81（1－x）2＝100.
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，第一降价后的价格为，第二次降价后的价格为，
即：100（1－x）2＝81
故答案为：C
【分析】设平均每次降价的百分率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）=81，把相应数值代入即可求解．根据题意列出一元二次方程即可.
10．（2024九上·阆中期中）二次函数的图象如图所示，下列结论
①②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
即m为任意实数，则，故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则，故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：D．
【分析】根据开口方向向上得出a＞0，由对称轴直线公式可得b=-2a＜0，据此可判断②，再根据抛物线与轴交于负半轴，可得c＜0，从而即可判断①；有图象可得当x=1时，函数有最小值y=a+b+c，则当m为任意实数时都一定会有，据此可判断③；根据抛物线的对称性可得x=-1与x=3时的函数值相等，由图象得当x=3时，函数值大于零，从而可判断④；根据抛物线的对称性得当关于对称时：即：时，对应的函数值相同，据此可判断⑤.
11．（2024九上·阆中期中）若m是方程的根，则的值等于　 　．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： m是方程的根，
，
即，
则，
故答案为：8．
【分析】将x=m代入方程可得，再将其代入计算即可.
12．（2024九上·阆中期中）将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向上平移1个单位，得到
再向右平移2个单位后所得的抛物线是
故答案为：．
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求出平移后抛物线的解析式即可.
13．（2024九上·阆中期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴；
由图可知：
当或时，抛物线在直线上方，即：；
∴不等式的解集是：或；
故答案为：或．
【分析】不等式可变形为，求该不等式的解集，从图象角度看，就是找到抛物线在直线上方时的的取值范围，结合A、B两点横坐标即可得解．
14．（2024九上·阆中期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，据此求出m+n的值，再根据一元二次方程根的定义得 ，从而举哀那个待求式子变形为后整体代入计算可得答案.
15．（2024九上·阆中期中）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
16．（2024九上·阆中期中）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称，
∴函数的解析式为：，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】将题干给出的第二个抛物线解析式化为一般形式，根据关于x轴对称对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标都变为原来的相反数，即对于任意x，都有ax2+bx+c=-2x2-16x-34，再根据多形式对应项的系数相等可得a、b、c的值，最后再求三个数的和即可.
17．（2024九上·阆中期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
即，
∴，
即， ；
（2）解：∵，
∴，
则，
∴或，
解得.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解此方程，由于二次项的系数为零，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-2看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：∵，
∴，
则，
即，
∴，
即， ；
（2）∵，
∴，
则，
∴或，
解得
18．（2024九上·阆中期中）已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差．
【答案】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
，
当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时．
，
当时，y的最大值与最小值之差为9．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】首先将抛物线的解析式配方成顶点式可得对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-6），由于二次项系数1＞0可得抛物线的开口向上，故当x=3时，二次函数有最小值-6，且抛物线上离对称轴直线距离越大的点其对应的函数值越大，可得当时，x=0时y取得最大值3，最后求出y的最大值与最小值之差即可.
19．（2024九上·阆中期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
【答案】解：是由旋转得到
，，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据旋转性质可得，，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
20．（2024九上·阆中期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）根据要求画图：将绕原点O逆时针旋转后得到；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积是．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕原点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接直角梯形的面积减去周围两个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积是．
21．（2024九上·阆中期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根满足，求k的值．
【答案】（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值，解答即可．
（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
22．（2024九上·阆中期中）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该拱桥抛物线的解析式；
（2）当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度．
【答案】（1）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，，
∵水面离桥洞最大距离为4米，
∴该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：（米），
∴水位上升了2米，
把代入
得：，
解得：，
（米），
答：拱桥内水面的宽度米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）易得该抛物线顶点坐标为，，设该抛物线解析式为，把代入求出a的值即可；
（2）根据题意得出水位上升了2米，把代入（1）所求的函数解析式求出自变量的值，即可求解．
（1）∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，，
∵水面离桥洞最大距离为4米，
∴该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）（米），
∴水位上升了2米，
把代入
得：，
解得：，
（米），
答：拱桥内水面的宽度米．
23．（2024九上·阆中期中）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，由题中的相等关系“用1500元购进A种商品的数量用900元购进B种商品的数量的2倍”列出关于x的分式方程，解之并检验即可求解；
（2）根据题意列出等式，化简并结合二次函数的性质即可求解．
24．（2024九上·阆中期中）如图，点P是正方形内一点；，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q．
（1）求线段的长；
（2）求的大小；
（3）求正方形的边长．
【答案】（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点A旋转至，
，，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为E，
∴∠BEP=90°，
又∵，
∴∠BPQ=∠PBE=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，PE=BE
又∵，
，且，
，
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则△APP'是等腰直角三角形，根据勾股定理即可算出PP'的长；
（2）由等腰直角三角形性质知∠APP'=45°，利用旋转的性质得，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP'B为直角三角形，且∠P'PB=90°，然后利用平角定义计算的度数；
（3）作，垂足为E，易得△BPE是等腰直角三角形，PE=BE，由勾股定理算出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB．
（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点A旋转至，
，，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为E，
，，
，且，
，
，
．
25．（2024九上·阆中期中）如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标．
【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
，将点A，点B的坐标代入得：
解得：
∴设该抛物线解析式为，
点D的坐标是；
（2）如图1：过点P作轴，交于点E，
设，则．
∴．
∴
．
∴当时，的面积的最大值为．
∴；
（3）解：如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，
∵轴于N，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点N的坐标为
则点，
∴，
∴，
∴或，
即或，
当时，
解得或 (舍去)，
此时；
当时，
解得或 (舍去)，
此时，
综上，点M的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】解：（1）联立方程组：
解得(舍去)或
即点D的坐标是；
【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式中可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；然后联立与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标；
（2）过点P作作轴，交于点E，由点的坐标与图形性质可设，则，由两点间的距离公式表示出PE，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）由等腰直角三角形的性质得AN=MN，根据点的坐标与图形性质，设点N的坐标为则点，由两点间的距离公式表示出AN、MN，根据AN=MN建立方程，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可．
（1）解：已知抛物线经过点，，将点A，点B的坐标代入得：
解得：
∴设该抛物线解析式为，
联立方程组：
解得(舍去)或
即点D的坐标是；
（2）如图1：过点P作轴，交于点E，
设，则．
∴．
∴
．
∴当时，的面积的最大值为．
∴，
（3）如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，
∵轴于N，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点N的坐标为
则点，
∴，
∴，
∴或，
即或，
当时，
解得或 (舍去)，
此时；
当时，
解得或 (舍去)，
此时，
综上，点M的坐标为或．
1 / 1四川省南充市阆中市东风中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷
1．（2024九上·阆中期中）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
2．（2024九上·阆中期中）函数的图像经过点，则m的值为（　　）
A．1 B．7 C．5 D．4
3．（2024九上·阆中期中） 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（　　）
A．－3 B．2 C．3 D．－4
4．（2024九上·阆中期中）如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·阆中期中）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·阆中期中）已知抛物线的顶点在x轴上，则a的值是（　　）
A． B． C． D．1
7．（2024九上·阆中期中）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·阆中期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2024九上·阆中期中）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．100（1＋x）2＝81 B．81（1＋x）2＝100
C．100（1－x）2＝81 D．81（1－x）2＝100.
10．（2024九上·阆中期中）二次函数的图象如图所示，下列结论
①②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024九上·阆中期中）若m是方程的根，则的值等于　 　．
12．（2024九上·阆中期中）将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为　 　．
13．（2024九上·阆中期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是　 　．
14．（2024九上·阆中期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．（2024九上·阆中期中）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
16．（2024九上·阆中期中）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为　 　．
17．（2024九上·阆中期中）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·阆中期中）已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差．
19．（2024九上·阆中期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
20．（2024九上·阆中期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）根据要求画图：将绕原点O逆时针旋转后得到；
（2）求的面积．
21．（2024九上·阆中期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根满足，求k的值．
22．（2024九上·阆中期中）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该拱桥抛物线的解析式；
（2）当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度．
23．（2024九上·阆中期中）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
24．（2024九上·阆中期中）如图，点P是正方形内一点；，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q．
（1）求线段的长；
（2）求的大小；
（3）求正方形的边长．
25．（2024九上·阆中期中）如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，据此结合题意列出关于字母m的混合组，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，
可得：，
故答案为：B．
【分析】将点代入，再求出m的值即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设方程的另一个根是n，
根据韦达定理可得：1×n=3，
解得：n=3，
故答案为：C.
【分析】设方程的另一个根是n，利用一元二次方程根与系数的关系可得1×n=3，再求出n的值即可.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用旋转的性质可得，再结合，利用角的运算求出的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
移项得：，
配方得：，
整理得：；
故答案为：D.
【分析】根据配方法的步骤即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式得出其顶点坐标，然后根据顶点在x轴上，结合x轴上点的纵坐标等于0列方程求解即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
所以△＞0
即4+4m＞0
解得m>-1．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在中，当时，，
∴与y轴的交点为；
在中，当时，，
∴与y轴的交点为，
则与与y轴交于同一点，
故答案为：D．
【分析】根据直线与抛物线与y轴交点的坐标特点求出两函数与y轴的交点坐标为同一点，即可判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，第一降价后的价格为，第二次降价后的价格为，
即：100（1－x）2＝81
故答案为：C
【分析】设平均每次降价的百分率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）=81，把相应数值代入即可求解．根据题意列出一元二次方程即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
即m为任意实数，则，故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则，故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：D．
【分析】根据开口方向向上得出a＞0，由对称轴直线公式可得b=-2a＜0，据此可判断②，再根据抛物线与轴交于负半轴，可得c＜0，从而即可判断①；有图象可得当x=1时，函数有最小值y=a+b+c，则当m为任意实数时都一定会有，据此可判断③；根据抛物线的对称性可得x=-1与x=3时的函数值相等，由图象得当x=3时，函数值大于零，从而可判断④；根据抛物线的对称性得当关于对称时：即：时，对应的函数值相同，据此可判断⑤.
11．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： m是方程的根，
，
即，
则，
故答案为：8．
【分析】将x=m代入方程可得，再将其代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向上平移1个单位，得到
再向右平移2个单位后所得的抛物线是
故答案为：．
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求出平移后抛物线的解析式即可.
13．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴；
由图可知：
当或时，抛物线在直线上方，即：；
∴不等式的解集是：或；
故答案为：或．
【分析】不等式可变形为，求该不等式的解集，从图象角度看，就是找到抛物线在直线上方时的的取值范围，结合A、B两点横坐标即可得解．
14．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，据此求出m+n的值，再根据一元二次方程根的定义得 ，从而举哀那个待求式子变形为后整体代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称，
∴函数的解析式为：，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】将题干给出的第二个抛物线解析式化为一般形式，根据关于x轴对称对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标都变为原来的相反数，即对于任意x，都有ax2+bx+c=-2x2-16x-34，再根据多形式对应项的系数相等可得a、b、c的值，最后再求三个数的和即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
即，
∴，
即， ；
（2）解：∵，
∴，
则，
∴或，
解得.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解此方程，由于二次项的系数为零，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-2看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：∵，
∴，
则，
即，
∴，
即， ；
（2）∵，
∴，
则，
∴或，
解得
18．【答案】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
，
当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时．
，
当时，y的最大值与最小值之差为9．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】首先将抛物线的解析式配方成顶点式可得对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-6），由于二次项系数1＞0可得抛物线的开口向上，故当x=3时，二次函数有最小值-6，且抛物线上离对称轴直线距离越大的点其对应的函数值越大，可得当时，x=0时y取得最大值3，最后求出y的最大值与最小值之差即可.
19．【答案】解：是由旋转得到
，，
，
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据旋转性质可得，，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积是．
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕原点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接直角梯形的面积减去周围两个直角三角形的面积即可得出△ABC的面积.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积是．
21．【答案】（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可解答；
（2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值，解答即可．
（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即，
整理得，
解得
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，，
∵水面离桥洞最大距离为4米，
∴该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：（米），
∴水位上升了2米，
把代入
得：，
解得：，
（米），
答：拱桥内水面的宽度米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）易得该抛物线顶点坐标为，，设该抛物线解析式为，把代入求出a的值即可；
（2）根据题意得出水位上升了2米，把代入（1）所求的函数解析式求出自变量的值，即可求解．
（1）∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，，
∵水面离桥洞最大距离为4米，
∴该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）（米），
∴水位上升了2米，
把代入
得：，
解得：，
（米），
答：拱桥内水面的宽度米．
23．【答案】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，由题中的相等关系“用1500元购进A种商品的数量用900元购进B种商品的数量的2倍”列出关于x的分式方程，解之并检验即可求解；
（2）根据题意列出等式，化简并结合二次函数的性质即可求解．
24．【答案】（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点A旋转至，
，，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为E，
∴∠BEP=90°，
又∵，
∴∠BPQ=∠PBE=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，PE=BE
又∵，
，且，
，
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则△APP'是等腰直角三角形，根据勾股定理即可算出PP'的长；
（2）由等腰直角三角形性质知∠APP'=45°，利用旋转的性质得，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP'B为直角三角形，且∠P'PB=90°，然后利用平角定义计算的度数；
（3）作，垂足为E，易得△BPE是等腰直角三角形，PE=BE，由勾股定理算出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB．
（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点A旋转至，
，，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为E，
，，
，且，
，
，
．
25．【答案】（1）解：已知抛物线经过点，
，将点A，点B的坐标代入得：
解得：
∴设该抛物线解析式为，
点D的坐标是；
（2）如图1：过点P作轴，交于点E，
设，则．
∴．
∴
．
∴当时，的面积的最大值为．
∴；
（3）解：如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，
∵轴于N，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点N的坐标为
则点，
∴，
∴，
∴或，
即或，
当时，
解得或 (舍去)，
此时；
当时，
解得或 (舍去)，
此时，
综上，点M的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】解：（1）联立方程组：
解得(舍去)或
即点D的坐标是；
【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式中可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；然后联立与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标；
（2）过点P作作轴，交于点E，由点的坐标与图形性质可设，则，由两点间的距离公式表示出PE，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；
（3）由等腰直角三角形的性质得AN=MN，根据点的坐标与图形性质，设点N的坐标为则点，由两点间的距离公式表示出AN、MN，根据AN=MN建立方程，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可．
（1）解：已知抛物线经过点，，将点A，点B的坐标代入得：
解得：
∴设该抛物线解析式为，
联立方程组：
解得(舍去)或
即点D的坐标是；
（2）如图1：过点P作轴，交于点E，
设，则．
∴．
∴
．
∴当时，的面积的最大值为．
∴，
（3）如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，
∵轴于N，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点N的坐标为
则点，
∴，
∴，
∴或，
即或，
当时，
解得或 (舍去)，
此时；
当时，
解得或 (舍去)，
此时，
综上，点M的坐标为或．
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