资源简介

四川省乐山市实验中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024八上·乐山期中）在下列各数中是无理数的有（　　）
A． B． C． D．0
2．（2024八上·乐山期中）下列运算一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·乐山期中）的平方根是（　　）
A．4 B． C． D．2
4．（2024八上·乐山期中）已知，那么m、n的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八上·乐山期中）如图，把两个边长为的小正方形分别沿它的对角线剪开，将所得的个等腰直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则这个大正方形的边长为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八上·乐山期中）已知是完全平方式，则k的值是（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
7．（2024八上·乐山期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
8．（2024八上·乐山期中），，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．（2024八上·乐山期中）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
10．（2024八上·乐山期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律． 由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过821天是(　　)
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
11．（2024八上·乐山期中）比较大小：　 　9．（填“”、“”或“”
12．（2024八上·乐山期中）已知，，则　 　．
13．（2024八上·乐山期中）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为　 　．
14．（2024八上·乐山期中）如果．其中为有理数，则　 　．
15．（2024八上·乐山期中）若，则　 　．
16．（2024八上·乐山期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：，则2和26均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为　 　．
17．（2024八上·乐山期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八上·乐山期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2024八上·乐山期中）利用乘法公式计算下列各题：
（1）；
（2）．
20．（2024八上·乐山期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2024八上·乐山期中）小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
22．（2024八上·乐山期中）已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
23．（2024八上·乐山期中）（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
24．（2024八上·乐山期中）观察下列各式：
；
；
；
…
（1）根据以上规律，则 ；
（2）你能否由此归纳出一般性规律： ．
（3）根据（2）求出：的结果．
25．（2024八上·乐山期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到(a+2b)(a+b)＝a2+3ab+2b2．请解答下问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式_____；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
(3)小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
(4)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形，求9x+10y+6．
26．（2024八上·乐山期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）若满足，求的值；
（3）已知，（为任意实数），比较的大小；
（4）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D ．
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，4的平方根是，
∴的平方根是 ±2.
故答案为：C．
【分析】先根据“”将化简，再根据平方公定义“一个数x的平方等于a，则x就是a的平方公”求出化简结果的平方公即可.
4．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：B．
【分析】先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件“对应项系数相等”即可求出m与n的值．
5．【答案】C
【知识点】图形的剪拼；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：两个小正方形的边长为，
两个小正方形的面积和为，
大正方形的面积为，
大正方形的边长的平方为，
大正方形的边长为．
故答案为：C．
【分析】根据图形的剪拼可得大正方形的面积等于两个小正方形面积和，进而根据正方形的边长为面积的算术平方根求解即可.
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此，从而即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，
由题意，得：，
解得：，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据多项式多项式，就是用一个多形式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的和相加计算后，根据不含的二次项得到的二次项的系数为0，再由一次项系数为5，求出的值，进而代入待求式子根据有理数乘方运算法则计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
．
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方运算法则将9n变形为32n，然后将待求式子根据同底数幂的除法法则逆用变形为32m÷36n，再根据幂的乘方运算法则的逆用进一步变形为，然后整体代入计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；因式分解﹣十字相乘法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】把看做一个整体，先把原式变形为，进而将方程的左边利用十字相乘法分解因式得到，再根据偶数次幂的非负性证明，从而得到，此题得解.
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵821＝（7＋1）21＝721＋14×720＋91×719＋…＋14×7＋1，∴821除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过821天是星期四，
故答案为：C．
【分析】通过观察发现（a＋b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数两端都是由数字1组成的，中间项的系数从左至右依次等于它肩上的两个数之和；星期以7天为周期循环，所以只需要计算821÷7的余数，再从星期三往后推相应的天数即可.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
，
即，
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义，将9改写成，即可比较两个实数的大小.
12．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6
【分析】先根据完全平方公式得到，再根据得到，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
故答案为：．
【分析】根据被除式等于商式乘以除式再加余式列出式子，然后根据单项式项式乘多项式法则展开括号，再合并同类项即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】二次根式的加减法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：为有理数，
为有理数，为有理数，
，
，
解得，，
，
故答案为：．
【分析】根据题目给出的结论，若无理数部分的系数不为零，则整个表达式无法等于零，因此必须令无理数部分的系数为零，同时有理数部分等于零，从而即可求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子，按含加减乘除的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
15．【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由得、，
∴
，
故答案为：．
【分析】 二次方程简化高次多项式的值，核心是通过代数变形将高次项用已知条件替换 ，从而由得到、， 再将待求式子恒等变形，将已知等式整体代入即可得到答案.
16．【答案】6860
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵
（其中k为非负整数），
由得，，
∴，1，2，…，8，9，即得所有不超过2024的“和谐数”，
∴它们的和为：．
故答案为：6860．
【分析】由于 “和谐数”可以表示为两个连续奇数的立方差，故设两个连续奇数为(2k+1)与(2k-1)，则和谐数可表示为 (2k+1)3-(2k-1)3（其中k为非负整数），将和谐数的表达式化简得2(12k2+1)，然后根据题意可得和谐数2(12k2+1)≤2024，求解得出k的取值范围为k=0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2024的“和谐数”， 通过观察和分析，发现相邻的“和谐数”在相加时，中间部分可以相互抵消，只留下最大奇数的立方和最小奇数的立方的差 ，据此再计算出这些和谐数的和即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据乘方法则，算术平方根定义，立方根定义进行开方和乘方运算，再计算加减法运算即可；
（2）先算积的乘方及同底数幂的乘除法，再合并同类项即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）直接逆用乘法分配律提取各项的公因式3m即可求解；
（2）先提取各项的公因式xy，再将剩下的商式利用平方差公式继续分解因式即可；
（3）先利用多项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项将多项式整理成二次三项式的一般形式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）由于两个因数都接近100，故将原式变形为(100+2)(100-2)，然后利用平方差公式求解即可得到答案；
（2）由于2.468×0.766可以变形为2×1.234×0.766，故利用完全平方和公式求解即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：
，
当，，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】先利用完全平方公式、平方差公式展开小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式得出最简结果，最后把m 、n的值代入化简结果计算即可．
21．【答案】（1）解：根据题意；
（2）解：
．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据一个加数等于和减去另一个家属列出式子，进而根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值；
（2）根据多项式多项式，就是用一个多形式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的和相加计算可得答案.
（1）解：根据题意，
∴；
（2）解：
．
22．【答案】（1）解：∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（）如果一个x的立方等于y，则x就是y的立方根，据此建立方程可求出a的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此建立方程可求出b的值；根据估算无理数大小的方法估算出得范围，即可求出c得值；
（）把（1）所求的a、b、c的值代入 计算出结果，进而根据平方根定义求出其平方公即可.
（1）∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
23．【答案】解：（1）由题意得：，解得，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴，
∴．
【知识点】二次根式有无意义的条件；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据“二次根式的被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式组，求解可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入5x+13y+6计算后再根据立方根的定义求解即可；
（2）根据互为相反数的两个数的立方根依然互为相反数得到，进一步计算即可求解．
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）
解：
，
故答案为：；
【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）通过观察已知等式发现：(x-1)与一个多项式相乘，这个多形式从x的最高次幂xn开始，依次递减到x0即1，且各项系数为1，那么它们的乘积等于x(n+1)-1，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律将待求式子变形为，然后利用规律解答即可．
（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
．
25．【答案】（1）(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
解：（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)＝92﹣26×2＝81﹣52＝29；
（3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝(2a+3b)(a+b)，
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b；
（4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝(25a+7b)(2a+5b)＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，
∴x＝50，y＝35，z＝139．
∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝(a+b+c)2；
正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
故答案为：(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
【分析】（1）方法一：利用正方形面积公式直接表示出图2的面积，方法二：根据正方形的面积=各矩形的面积之和表示出正方形面积，根据两个不同式子表示同一个图形面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）将（1）所得结论变形为a2+b2+c2＝(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)，然后整体代入计算可得答案；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后将该代数式利用十字相乘法分解因式，最后结合矩形面积计算公式可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa2+yb2+zab=(25a+7b)(9a+5b)，然后运算多项式乘多项式法则求得(25a+7b)(2a+45b)的结果，从而根据多项式对应项的系数相等得到x、y、z的值，代入即可求解.
26．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：(m+2)(m-8)；
【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将等式左边的多项式转化为两个完全平方式，然后根据完全平方公式写成，根据偶数次幂非负数的性质，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，最后根据有理数的乘方运算法则计算可得答案；
（3）根据整式减法运算法则求出Q-P，利用配方法将多项式转化为完全平方式，再根据完全平方公式写成，然后利用 偶数次幂非负数的性质进行解答即可；
（4）利用配方法将多项式转化为x2-2x(y-2)+(y-2)2+y2-6y+9+16，再根据完全平方公式写成(x-y+2)2+(y-3)2+16，然后利用偶数次幂非负数的性质进行解答即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
1 / 1四川省乐山市实验中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024八上·乐山期中）在下列各数中是无理数的有（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2024八上·乐山期中）下列运算一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意.
故答案为：D ．
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
3．（2024八上·乐山期中）的平方根是（　　）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，4的平方根是，
∴的平方根是 ±2.
故答案为：C．
【分析】先根据“”将化简，再根据平方公定义“一个数x的平方等于a，则x就是a的平方公”求出化简结果的平方公即可.
4．（2024八上·乐山期中）已知，那么m、n的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：B．
【分析】先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件“对应项系数相等”即可求出m与n的值．
5．（2024八上·乐山期中）如图，把两个边长为的小正方形分别沿它的对角线剪开，将所得的个等腰直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则这个大正方形的边长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的剪拼；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：两个小正方形的边长为，
两个小正方形的面积和为，
大正方形的面积为，
大正方形的边长的平方为，
大正方形的边长为．
故答案为：C．
【分析】根据图形的剪拼可得大正方形的面积等于两个小正方形面积和，进而根据正方形的边长为面积的算术平方根求解即可.
6．（2024八上·乐山期中）已知是完全平方式，则k的值是（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴．
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此，从而即可得出答案.
7．（2024八上·乐山期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，
由题意，得：，
解得：，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据多项式多项式，就是用一个多形式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的和相加计算后，根据不含的二次项得到的二次项的系数为0，再由一次项系数为5，求出的值，进而代入待求式子根据有理数乘方运算法则计算可得答案.
8．（2024八上·乐山期中），，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
．
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方运算法则将9n变形为32n，然后将待求式子根据同底数幂的除法法则逆用变形为32m÷36n，再根据幂的乘方运算法则的逆用进一步变形为，然后整体代入计算可得答案.
9．（2024八上·乐山期中）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；因式分解﹣十字相乘法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】把看做一个整体，先把原式变形为，进而将方程的左边利用十字相乘法分解因式得到，再根据偶数次幂的非负性证明，从而得到，此题得解.
10．（2024八上·乐山期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律． 由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过821天是(　　)
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵821＝（7＋1）21＝721＋14×720＋91×719＋…＋14×7＋1，∴821除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过821天是星期四，
故答案为：C．
【分析】通过观察发现（a＋b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数两端都是由数字1组成的，中间项的系数从左至右依次等于它肩上的两个数之和；星期以7天为周期循环，所以只需要计算821÷7的余数，再从星期三往后推相应的天数即可.
11．（2024八上·乐山期中）比较大小：　 　9．（填“”、“”或“”
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
，
即，
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义，将9改写成，即可比较两个实数的大小.
12．（2024八上·乐山期中）已知，，则　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6
【分析】先根据完全平方公式得到，再根据得到，进而即可求解。
13．（2024八上·乐山期中）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
故答案为：．
【分析】根据被除式等于商式乘以除式再加余式列出式子，然后根据单项式项式乘多项式法则展开括号，再合并同类项即可得出答案.
14．（2024八上·乐山期中）如果．其中为有理数，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：为有理数，
为有理数，为有理数，
，
，
解得，，
，
故答案为：．
【分析】根据题目给出的结论，若无理数部分的系数不为零，则整个表达式无法等于零，因此必须令无理数部分的系数为零，同时有理数部分等于零，从而即可求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子，按含加减乘除的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
15．（2024八上·乐山期中）若，则　 　．
【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由得、，
∴
，
故答案为：．
【分析】 二次方程简化高次多项式的值，核心是通过代数变形将高次项用已知条件替换 ，从而由得到、， 再将待求式子恒等变形，将已知等式整体代入即可得到答案.
16．（2024八上·乐山期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：，则2和26均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为　 　．
【答案】6860
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵
（其中k为非负整数），
由得，，
∴，1，2，…，8，9，即得所有不超过2024的“和谐数”，
∴它们的和为：．
故答案为：6860．
【分析】由于 “和谐数”可以表示为两个连续奇数的立方差，故设两个连续奇数为(2k+1)与(2k-1)，则和谐数可表示为 (2k+1)3-(2k-1)3（其中k为非负整数），将和谐数的表达式化简得2(12k2+1)，然后根据题意可得和谐数2(12k2+1)≤2024，求解得出k的取值范围为k=0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2024的“和谐数”， 通过观察和分析，发现相邻的“和谐数”在相加时，中间部分可以相互抵消，只留下最大奇数的立方和最小奇数的立方的差 ，据此再计算出这些和谐数的和即可.
17．（2024八上·乐山期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据乘方法则，算术平方根定义，立方根定义进行开方和乘方运算，再计算加减法运算即可；
（2）先算积的乘方及同底数幂的乘除法，再合并同类项即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024八上·乐山期中）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）直接逆用乘法分配律提取各项的公因式3m即可求解；
（2）先提取各项的公因式xy，再将剩下的商式利用平方差公式继续分解因式即可；
（3）先利用多项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项将多项式整理成二次三项式的一般形式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．（2024八上·乐山期中）利用乘法公式计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）由于两个因数都接近100，故将原式变形为(100+2)(100-2)，然后利用平方差公式求解即可得到答案；
（2）由于2.468×0.766可以变形为2×1.234×0.766，故利用完全平方和公式求解即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2024八上·乐山期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】先利用完全平方公式、平方差公式展开小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式得出最简结果，最后把m 、n的值代入化简结果计算即可．
21．（2024八上·乐山期中）小马虎同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式A是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
【答案】（1）解：根据题意；
（2）解：
．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据一个加数等于和减去另一个家属列出式子，进而根据多项式的减法计算法则得出代数式A的值；
（2）根据多项式多项式，就是用一个多形式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的和相加计算可得答案.
（1）解：根据题意，
∴；
（2）解：
．
22．（2024八上·乐山期中）已知：的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（）如果一个x的立方等于y，则x就是y的立方根，据此建立方程可求出a的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此建立方程可求出b的值；根据估算无理数大小的方法估算出得范围，即可求出c得值；
（）把（1）所求的a、b、c的值代入 计算出结果，进而根据平方根定义求出其平方公即可.
（1）∵的立方根是
∴，则，
∵的算术平方根是，
∴，则，
∵，即
∴的整数部分，
∴，，；
（2）由（）得，，，
∴，
∴的平方根为．
23．（2024八上·乐山期中）（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【答案】解：（1）由题意得：，解得，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴，
∴．
【知识点】二次根式有无意义的条件；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据“二次根式的被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式组，求解可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入5x+13y+6计算后再根据立方根的定义求解即可；
（2）根据互为相反数的两个数的立方根依然互为相反数得到，进一步计算即可求解．
24．（2024八上·乐山期中）观察下列各式：
；
；
；
…
（1）根据以上规律，则 ；
（2）你能否由此归纳出一般性规律： ．
（3）根据（2）求出：的结果．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）
解：
，
故答案为：；
【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）通过观察已知等式发现：(x-1)与一个多项式相乘，这个多形式从x的最高次幂xn开始，依次递减到x0即1，且各项系数为1，那么它们的乘积等于x(n+1)-1，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律将待求式子变形为，然后利用规律解答即可．
（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
．
25．（2024八上·乐山期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到(a+2b)(a+b)＝a2+3ab+2b2．请解答下问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式_____；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
(3)小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
(4)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(2a+5b)长方形，求9x+10y+6．
【答案】（1）(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
解：（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)＝92﹣26×2＝81﹣52＝29；
（3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝(2a+3b)(a+b)，
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b；
（4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝(25a+7b)(2a+5b)＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，
∴x＝50，y＝35，z＝139．
∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝(a+b+c)2；
正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
故答案为：(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
【分析】（1）方法一：利用正方形面积公式直接表示出图2的面积，方法二：根据正方形的面积=各矩形的面积之和表示出正方形面积，根据两个不同式子表示同一个图形面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）将（1）所得结论变形为a2+b2+c2＝(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)，然后整体代入计算可得答案；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后将该代数式利用十字相乘法分解因式，最后结合矩形面积计算公式可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa2+yb2+zab=(25a+7b)(9a+5b)，然后运算多项式乘多项式法则求得(25a+7b)(2a+45b)的结果，从而根据多项式对应项的系数相等得到x、y、z的值，代入即可求解.
26．（2024八上·乐山期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）若满足，求的值；
（3）已知，（为任意实数），比较的大小；
（4）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】（1）解：
；
故答案为：(m+2)(m-8)；
【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将等式左边的多项式转化为两个完全平方式，然后根据完全平方公式写成，根据偶数次幂非负数的性质，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，最后根据有理数的乘方运算法则计算可得答案；
（3）根据整式减法运算法则求出Q-P，利用配方法将多项式转化为完全平方式，再根据完全平方公式写成，然后利用 偶数次幂非负数的性质进行解答即可；
（4）利用配方法将多项式转化为x2-2x(y-2)+(y-2)2+y2-6y+9+16，再根据完全平方公式写成(x-y+2)2+(y-3)2+16，然后利用偶数次幂非负数的性质进行解答即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
1 / 1

展开更多......

收起↑