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2025年八上数学第6周《冲刺月考》练习
考点1.角平分线与垂直平分线
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是 　 　 ．
2．如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 　 　 ．
3．如图，D为△ABC两个内角平分线的交点，若∠BAC＝90°，AB＝12，BC＝13，则点D到BC边的距离为 　 　 ．
4．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）则∠CAD＝ 　 　 °；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝4，AD＝3，CD＝5，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为 　 　 ．
5．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：AD垂直平分EF．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是　 　 ．
7．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝21，则DE＝　 　 ．
8．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为∠ABC的平分线，分别交AD，AF于点E，G．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，AG＝4.5，求FG的长．
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的值；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积．
考点2.等腰三角形
10．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　 ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　 　 ．
12．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　 　 °．
13．如图，已知点P为射线OA上一动点，已知∠O＝30°，若△BOP为等腰三角形，则∠B的度数为 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
15．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
考点3.直角三角形斜边中线
16．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数．
17．证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
已知：　 　 ．
求证：　 　 ．
证明：
18．求证：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD，AC的中点．请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明．
考点4.常见基本模型
20．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　 ．
21．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝3，ED＝7，则EB+DC的值为 　 　 ．
22．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，点B到直线a的距离为1，点C到直线a的距离为2，则BC的长度是 　 　 ．
23．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D是AC上一点，AD＝AB，点E是AB上一点，AE＝CD．
（1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形；
（2）如图2，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上．
24．【问题背景】
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积．
【巩固练习】
1．如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
2．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
3．在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B、C不重合，连接AD，以AD为边，向外作等边三角形ADF，连接CF．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝60°；
①如图1，当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD数量关系和此时CF与AB位置关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）如图3，若AB≠AC，60°＜∠BAC＜90°，点D在线段BC上，且∠FCD＝120°时，求∠BCA的度数．
4．【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
为 　2　 ．
【解答】解：如图，过点D分别作DG⊥AB于G，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝12，BC＝13，
∴AC5，
∵点D为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，DG⊥AB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DG＝DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ADB+S△BDC+S△ADC，
∴AB AC AB DG_BC DE AC DF，
∴5×1212×DE13×DE5×DE，
解得：DE＝2，
∴点D到BC边的距离为2，
故答案为：2．
4．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）则∠CAD＝ 　40　 °；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝4，AD＝3，CD＝5，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为 　3　 ．
【解答】（1）解∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
故答案为：40；
（2）证明：过E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N，
∵∠EAF＝∠CAD＝40°，
∴AC平分∠DAF，
∵EN⊥AD，EF⊥AF，
∴EF＝EN，
同理：EM＝FE，
∴EN＝EM，
∵EM⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ADE的面积+△CDE的面积＝△ACD的面积，
∴AD ENCD EM＝6，
∴（AD+CD）×EM＝6，
∵AD＝3，CD＝5，
∴EM，
∴EF，
∴△ABE的面积AB EF43．
故答案为：3．
5．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：AD垂直平分EF．
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥EF，EK＝KF，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是　12　 ．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD为角∠BAC平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积AB×DE8×3＝12，
故答案为：12．
7．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝21，则DE＝　3　 ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，
∴S△ABCAB DEBC DF6DE8DE＝21，
即3DE+4DE＝21，
解得DE＝3．
故答案为：3．
8．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为∠ABC的平分线，分别交AD，AF于点E，G．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，AG＝4.5，求FG的长．
【解答】解：（1）∵∠BED＝60°，∠BAD＝40°，∠BED＝∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×20°＝40°
∵AF为△ABC的高，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°，
即∠BAF的度数为50°；
（2）∵AD为△ABC的中线，BD＝5，
∴BC＝2BD＝2×5＝10，
∵，
∴，
∵AG＝4.5，
∴FG＝AF﹣AG＝8﹣4.5＝3.5，
即FG的长为3.5．
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠DAE的值；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积．
【解答】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝EN，
∵∠EAF＝∠DAE＝40°，
∴AE平分∠DAF，
∴FE＝EM，
∴EM＝EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，
∴AD EMCD EN＝18，
∴（AD+CD） EM＝18，
∴（4+8）×EM＝18，
∴EM＝3，
∴EF＝3，
∴△ABE的面积AB EF6×3＝9．
10．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　30°或75°或120°　 ．
【解答】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°，
①当PC＝PD时，
∴，即150°﹣α＝75°，
∴α＝75°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°，
∴α＝120°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°，
∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°．
故答案为：30°或75°或120°．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　14°　 ．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
12．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　40°或100°　 °．
【解答】解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
13．如图，已知点P为射线OA上一动点，已知∠O＝30°，若△BOP为等腰三角形，则∠B的度数为 　75°或120°或30°　 ．
【解答】解：分三种情况：
①OB＝OP时，
则∠B＝∠OPB＝（180°﹣∠O）＝（180°﹣30°）＝75°；
②BO＝BP时，
则∠BPO＝∠O＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠O﹣∠BPO＝120°；
③PO＝PB时，
则∠B＝∠O＝30°；
综上所述，若△BOP为等腰三角形，则∠B的度数为75°或120°或30°．
故答案为：75°或120°或30°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
15．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
16．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数．
【解答】（1）证明：如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DMBC，MEBC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，
∴180°﹣∠A＝120°，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．
17．证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
已知：　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°　 ．
求证：　BCAB　 ．
证明：
【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．
求证：BCAB．
证明：如图，延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD，
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴，
∵∠DCB＝90°，E是BD的中点，
∴，
∴AE＝CE，
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC，且平分AC．
20．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　 ．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
21．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝3，ED＝7，则EB+DC的值为 　10　 ．
【解答】解：∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠GBC，∠ACF＝∠BCF，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠BCF，
∴∠ABG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝3，ED＝7，
∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝3+7＝10，
故答案为：10．
22．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，点B到直线a的距离为1，点C到直线a的距离为2，则BC的长度是 　　 ．
【解答】解：过点C作CD⊥a于D，过点B作BE⊥a于E，如图：
，
∵∠BAC＝∠ADC＝∠BEA＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠DAC+∠EAB＝90°，
∴∠EBA＝∠DAC，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（AAS），
∴AE＝CD＝2，
∵BE＝1，
∴AB，
∴BCAB．
故答案为：．
23．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D是AC上一点，AD＝AB，点E是AB上一点，AE＝CD．
（1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形；
（2）如图2，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上．
【解答】证明：（1）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AD＝AB，
∴AD＝CB，
在△ADE和△CBD中，
，
∴△ADE≌△CBD（SAS），
∴DE＝BD，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）∵AD＝AB，∠A＝45°，
∴，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
由（1）得，△ADE≌△CBD，
∴∠ADE＝∠CBD＝22.5°，
∴∠CDG＝∠ADE＝22.5°，
∴∠G＝∠ACB﹣∠CDG＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠G＝∠CDG，
∴CD＝CG，
∴点C在DG的垂直平分线上．
24．【问题背景】
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）证明：∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，
∵∠ADB＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△EAC和△DBA中，
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示：∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠M＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAM＝90°，
∴∠ABG＝∠DAM，
在△ABG和△DAM中，
，∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM＝AG，同理可证明：△AGC≌△ENA，
∴EN＝AG，
∴DM＝EN＝AG，
∵S△DAE＝S△AHD+S△AHE
AH DMAH EN，
＝AH×2DM
＝AH×AG
＝5×12
＝60
∴△ADE的面积等于60．
25．如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 　相等　 ，位置关系为 　垂直　 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF，
故答案为：相等，垂直；
（2）成立，理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAF＝∠CBD，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF．
26．在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B、C不重合，连接AD，以AD为边，向外作等边三角形ADF，连接CF．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝60°；
①如图1，当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和此时CF与AB位置关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）如图3，若AB≠AC，60°＜∠BAC＜90°，点D在线段BC上，且∠FCD＝120°时，求∠BCA的度数．
【解答】解：（1）①CF＝BD，CF∥AB；
理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD＝60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠CAF+∠CAD＝60°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB；
②CF＝BD，CF∥AB仍然成立，理由如下：
∵△ADE和△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠DAF＝60°，
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB；
（2）过点A作∠CAE＝60°，交BC于点E，
∴∠EAD+∠CAD＝60°，∠ECA+∠CEA＝180°﹣60°＝120°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD，∠FAD＝60°
∴∠CAF+∠CAD＝60°，
∵∠EAD+∠CAD＝60°
∴∠CAF＝∠EAD，
∵∠FCD＝120°，
∴∠FCA+∠ACE＝120°，
∠ECA+∠CEA＝120°
∴∠ACF＝∠CEA，
在△ACF 和△AED 中，
，
∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
∠CAE＝60°，
∴△ACE 是等边三角形，
∴∠BCA＝60°．
27．如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【解答】（1）结论：若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD＝DE；
证明：当AC∥BE时，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
当AD＝DE时，
∵点D是BC中点，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
28．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
【解答】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在Rt△ABF中，，
∴AEAF＝6.5．
29．【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　 ．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【解答】解：【问题背景】：EF＝BE+FD．
理由：如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG．
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
故答案为EF＝BE+FD．
[探索延伸]结论EF＝BE+DF仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，

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