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2026中考数学复习：几何模型——拉手模型【答案】
三、专项训练答案
1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：，，，，
，即，所以①正确；
在和中，，
，所以②正确；，
∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正确．故选：．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．
3．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．
4．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______．
【答案】6
【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即，
∵在中，，
∴，，∴是等边三角形，∴，，
又∵在等边三角形中，，，
∴，∴ （SAS），∴，
又∵，E为边的中点，∴，
∴，∴．故答案为6．
5．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
【答案】①②③⑤
【详解】解：①和为等边三角形，
，，，，
在和中，，，
，，①正确；
②，
在和中，，．，
，，，②正确；
③同②得：，，③正确；
④，且，，故④错误；
⑤，，
是等边三角形，，
，，
，
⑤正确；故答案为：①②③⑤．
6．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．
7．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
由图可知，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE=CD，，
又∵，∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°， ∴∠PBC+∠PCB=60°．
8．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ．
(1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论；(2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析(2)仍然成立，理由见解析(3)仍然成立，理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
在与中，∵，∴，∴．
∵，M为FC的中点，∴，∵，∴．
（2）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下：设，，
∵M为FC的中点，∴，∵，∴．
∵，，，∴．
∵，，，∴．∵，∴．
∵，，，∴，∵，∴．
（3）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下：
延长至点，使得，连接，
∵M为FC的中点，∴，在与中，∵，
∴，∴．∵，∴．
∵，∴，
∴，∴．由题意得，，
∵，∴．
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴．在与中，∵，
∴，∴，∵，∴，即．
9．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，∴，
又∵,∴（SAS），，
∵，∴，
∴，∴，，故答案为：，；
拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，∴，
又∵，，∴（SAS），∴，，
∵，∴，
∴，∴，即，依然成立．
10．如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．
（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．
【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】解：(1) 在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，由旋转可知，DC＝DE，
∵AE＝AB∴AE＝AD＝DE∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，∴∠ADC＝90°，∴α＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°．
（2）证明：在△CDE中，DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝， 在△ADE中，AD＝ED，∠ADE＝90°－α，
∴∠DAE＝∠DEA＝
∴∠AEC＝∠DEC＋∠DEA＝＝135°．∴∠AEF＝45°，
（3）证明：过点B作BG//CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH//GF与CF交于点H，
则四边形BGFH是平行四边形，∵AF⊥CE，∴平行四边形BGFH是矩形，
∵∠AFP＝∠ABC＝90°，∠APF＝∠BPC，∴∠GAB＝BCP，
在△ABG和△CBH中∴△ABG≌△CBH(AAS)，
∴BG＝BH，∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB＝45°，
由（2）可知：∠AEF ＝45°∴∠HFB＝∠AEF ＝45°，∴AE∥FB．
方法2：过点B作BM⊥BF交FC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠FBN＋∠ABM＝∠ABM＋∠MBC＝90°，∴∠FBN＝∠MBC，∵AF⊥FC，∴∠AFC＝90°，
又∴∠AFP＝∠PBC，∠FPA＝∠BPC∴∠FAB＝BCM,
在△ABF和△CBM中，∴△ABF≌△CBM(ASA)，
∴BF＝BM,∴△FBM是等腰直角三角形，∴∠MFB＝45°，
由（2）可知：∠AEF ＝45°∴∠MFB＝∠AEF ＝45°，∴AE∥FB．
方法3：取AC的中点为点O，∵AF⊥FC，∠ABC=90°∴OA＝OB＝OC＝OF·
∴点A，B，C，F都在同一个圆上， ∴∠BFC＝∠BAC＝45°·
由（2）可知：∠AEF ＝45°∴∠MFB＝∠AEF ＝45°，∴AE∥FB．
11．如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．
(1)如图1，若，且，，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【详解】（1）解：如图1，在射线上取一点，使得，
∵，BC＝BC，∴（SAS），
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴；
（2），
证明：∵，，∴△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，
又∵，∴（SAS），
∴，∴，∴，
倍长至，连接，PQ，
∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，
∴（SAS），∴，∠QFN＝∠CMN，
由旋转的性质得AC＝CM，∴，
在CF上截取FP＝FB，连接BP，
∵，∴，∴为正三角形，
∴∠BPF＝60°，，∴，
∵∠QFN＝∠CMN，∴FQ//CM，∴，∴，
又∵，∴（SAS），
∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，∴为正三角形，
∴，即．
12．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析(2)∠ACB＝45°
【详解】（1）①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中，
∵∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD ；故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC．
13．（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE；
（2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）有，ANBC且DN＝BE；（3）不成立，，理由见解析
【详解】证：（1）∵△ABC和△CEN均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=NC，∠ACB=∠NCE=60°，∠B=60°，
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠NCE=∠ACE+∠NCA，∴∠ECB=∠NCA，
在△ECB和△NCA中，∴△ECB≌△NCA(SAS)，∴AN=BE，∠NAC=∠B=60°，
∵∠ACB=∠NAC=60°，∴AN∥BC，∴AN∥BC且AN＝BE；
（2）有，AN∥BC且DN＝BE；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEMN均为正方形，
∴BC=DC，EC=NC，∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN，∴∠BCE=∠DCN，
在△BCE和△DCN中，∴△BCE≌△DCN(SAS)，∴BE=DN，∠CDN=∠B=90°，
∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠CDN=180°，即：A、D、N三点共线，
∵AD∥BC，∴AN∥BC，∴AN∥BC且DN＝BE；
14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；
(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE．
15．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析
【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；
（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．
16．已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
【答案】(1) (2)，理由见解析
【详解】（1）解：，，
又，，，
在中，，故答案为：．
（2）如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：，，，（同角的余角相等），
在与中有：（），，
，，
，，，故答案为：．
17．已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
【答案】(1)(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析
【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，∴与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴；
（2）图②猜想：．图③猜想：．
图③证明：过点D作，交于点G，如图．
∵是等边三角形，∴．
∵，∴，．∴为等边三角形．∴．
∵为等边三角形，∴，．
∵，即，∴．∴．
∵，∴．
18．如图，在等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图①，若点D在边上，求证：；
【类比探究】如图②，若点D在边的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．
【答案】【问题解决】见解析；【类比探究】
【问题解决】在上截取，连接，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；
【类比探究】过D作，交的延长线于点G，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出．
【详解】解：【问题解决】如图①，在上截取，连接，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∴是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，，
∴，∴，
∵在和中，∴，
∴，∴，即．
【类比探究】；理由见如下：∵是等边三角形，∴，
过D作，交的延长线于点G，如图所示：
∵，∴，，
∴，∴为等边三角形，∴，，
∵为等边三角形，∴，，∴，
在和中∴，∴，
∴，即．2026中考数学复习：几何模型——拉手模型
一、模型背景
“手拉手模型” 源于古埃及建筑师的智慧实践：当工匠需要在尼罗河两岸建造对称神庙时，发现两个共顶点的等腰三角形结构能让建筑稳固且美观。其核心原理是通过旋转全等变换，将 “分散线段” 转化为 “共线关系”，利用 “全等三角形对应边相等” 实现线段等量转化。
二、模型解读
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。
结论：△BAD≌△CAE。
等腰三角形分为：等边三角形、等腰直角、任意等腰三角形，几种特殊情况分别讨论如下：
1、等边三角形
条件：△OAB，△OCD均为等边三角形
结论：；；
2、等腰直角三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形
结论：；；
3、任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD
结论：；；
两个等边三角形共顶点的模型，俗称 “手拉手模型”。
针对这个模型的研究，一般分为三个方向：
①不变性
②特殊位置出现的特殊结论(临界点)
③增加部分条件得出的新结论
（一）不变性
第一个不变性质就是全等，如下图：
无论两个等边三角形的相对位置如何△ACD≌△BCE（SAS）始终成立。
第二个不变性质是角度问题，如下图：
根据第一条性质的全等，得出∠1=∠2，再依据“蝴蝶模型”或者“8”字模型倒角或者“四点共圆”都可以得出AD和BE的夹角 ∠APB=60°，这个结论不随等边三角形的相对位置变化而变化，也具有不变性。
第三个不变性质是角平分线，如下图：
CP始终平分∠BPD，也就是说∠BPC=∠DPC =60°始终成立。
证法1：
如下图，分别作BE和AD的垂线段CH和CK，由△ACD≌△BCE（SAS），可以知道△ACD和△BCE的面积相等，底也相等，全等三角形对应高也相等，所以高CH=CK.根据角平分线的性质，可以知道CP平分∠BPD.
证法2：
如下图，根据 ∠1=∠2，AC=BC，在BP上截取BF=AP，则△ACP≌△BCF（SAS），于是，CF=CP，∠FCP=∠BCA=60°，所以△FPC是等边三角形。这样，也就得出∠FPC=∠DPC=60°，CP平分∠BPD.
第四个不变性质就是“等边+120°模型”
这个模型在这里始终会出现。对角互补旋转，也就是说在这个模型中，BP=CP+AP，PE=CP+PD始终成立。
（二）特殊位置出现的特殊结论：
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC
（2）AE=DC
（3）AE与DC的夹角为60
（4）△AGB≌△DFB
（5）△EGB≌△CFB
（6）BH平分∠AHC
（7）GF∥AC
解析：（1）∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠DBC=∠ABE，
在△ABE和△DBC中，
易证明△ABE≌△DBC（SAS）
(2) ∵△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE=CD；
(3) ∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB.
又∵∠HFE=∠BFC(对顶角相等)
△HFE和△BFC中，
∠EHF=180-∠AEB-∠HFE;
∠CBF=180-∠DCB -∠BFC，
∴∠EHF=∠CBF=60
∴AE与DC的夹角为60。
(4)AB=BD,BG=BF,
∠ABG=∠DBF=60
∴△AGB≌△DFB
(5)EB=EC,BG=BF, ∠EBG=∠CBF=60
∴△EGB≌△CFB
(6)过B作BM垂直AE于M，BN垂直CD于N。
证明△ABM ≌△DBM，则BM=BN
∴BH平分∠AHC
（7）∵△AGB≌△DFB
∴BG=BF
又∠GBF=60，
∴GBF为等边三角形
∴∠GFB=EBC=60,
∴GF∥AC
（三）增加部分条件得出的新结论：
（8）线段和差关系
AH=DH+BH 或 CH=BH+HE(提示：在AH取I,HI=BH CH取P,HP=BH)
（9）△BGF等边三角形
（10）四点共圆:
ABHD四点共圆，BFHG四点共圆，CBHE四点共圆
三、专项训练
1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______．
5．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
6．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
7．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
8．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ．
(1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论；(2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由．
9．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
10．如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．
（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．
11．如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．
(1)如图1，若，且，，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
12．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
13．（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE；
（2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；
14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．
15．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
16．已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
17．已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
18．如图，在等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图①，若点D在边上，求证：；
【类比探究】如图②，若点D在边的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系，并直接写出这三条线段之间的数量关系．

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