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第2章分式学科素养试卷
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（本题3分）将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．扩大为原来的8倍 D．不变
3．（本题3分）下面四个分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（ ）
，①
，②
，③
，④
∴原方程的解是． ⑤
A．由①到②这一步 B．由②到③这一步
C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步
8．（本题3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ）
A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度
9．（本题3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．26 C． D．3
10．（本题3分）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0．
12．（本题3分）找最简公分母：（1）与 ，（2）与 ．
13．（本题3分）化简的结果是 ．
14．（本题3分）化简：，结果为 ．
15．（本题3分）若关于x的方程产生增根，则
16．（本题3分）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ．
17．（本题3分）若，求的值为 ．
18．（本题3分）已知，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：
(1)
(2)
(3)
20．（本题6分）解分式方程：
(1)；
(2)．
21．（本题8分）先化简，再求值：，其中．
22．（本题8分）下面是某同学计算的解题过程：
解：
①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
23．（本题9分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本．
(1)求第一次购书的进价；
(2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
24．（本题9分）已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值．
25．（本题10分）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，…，则依据此规律 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： ；
(2)若、满足．求的值；
(3)受此启发，解方程．
26．（本题10分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
(2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
(3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．第2章分式学科素养试卷
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可．
【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式；
对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式；
对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式；
对于，的分母是x，x是字母，所以是分式；
对于，分母是，x是字母，所以是分式．
综上所述，其中分式有：，，，共3个．
故选：B．
2．（本题3分）将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．扩大为原来的8倍 D．不变
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质，正确计算是解题的关键．设原分式为，根据分式的性质，得新分式为，进而解答即可．
【详解】解：设原分式为，
将的值同时扩大为原来的2倍后，新分式为，
∴分式的值扩大为原来的8倍，
故选：C．
3．（本题3分）下面四个分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简分式的定义，分子分母没有公因式的分式叫做最简分式．根据最简分式的概念及运算逐项判断即可．
【详解】解：A、，故A选项不是最简分式，不符合题意；
B、，故B选项不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故D选项不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
4．（本题3分）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意；
、，该选项计算错误，符合题意；
、，该选项计算正确，不符合题意；
、，该选项计算正确，不符合题意；
故选：．
5．（本题3分）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．
【详解】解：．
故选：C．
6．（本题3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键．
【详解】解：，
．
方程两边同乘，得
．
故选：B．
7．（本题3分）以下解分式方程的过程中，求出的解不是原分式方程的解，其原因发生在（ ）
，①
，②
，③
，④
∴原方程的解是． ⑤
A．由①到②这一步 B．由②到③这一步
C．由③到④这一步 D．由④到⑤这一步
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，①
去分母得：，②
，③
解得，④
检验：当时，，
∴原分式方程无解，
∴由④到⑤这一步发生错误，分式方程需要检验，
故选：D；
8．（本题3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ）
A．总路程 B．规定的时间 C．快马的速度 D．慢马的速度
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键．
【详解】解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为，
∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，
∴表示慢马的速度，
故选：．
9．（本题3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．26 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查了新定义的运算．
根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值．
【详解】解：∵和为“互助数”，
∴，
整理得
∵
∴，
即，
∴，
∴
∵，
∴
解得或，
∴或
四个选项中只有3和26符合题意，
当时，，此时，，分母无意义，舍去．
当时，，满足，且，
故选：B．
10．（本题3分）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，，
发现规律：以三个数为一组，不断循环，
，
．
故选：D．
填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意义的条件，令分母不为零，求解x的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定x的值．
【详解】解：（1）依题意得：，
解得．
（2）依题意得：，且，
∴，且，
解得．
故答案为：，．
12．（本题3分）找最简公分母：（1）与 ，（2）与 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
根据最简公分母的定义求解即可．
【详解】解：（1）与的最简公分母为；
故答案为：；
（2），，
与的最简公分母为．
故答案为：．
13．（本题3分）化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式加减运算，掌握算理是解决问题的关键．先化为同分母分式相加减，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
14．（本题3分）化简：，结果为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了负整数指数幂、分式的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方、负整数指数幂，再计算分式的除法，然后计算乘法即可得．
【详解】解：
．
故答案为：．
15．（本题3分）若关于x的方程产生增根，则
【答案】4
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的概念．
化简分式方程得出，然后根据增根求出，代数求值即可．
【详解】解：
当原分式方程中产生增根，即，，
∴，
故答案为：4．
16．（本题3分）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可．
【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，
由题意得：，
故答案为：．
17．（本题3分）若，求的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
由得：，
解得：，
将代入①得：，
∴，
所以．
故答案为：．
18．（本题3分）已知，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知，代入即可求值．
【详解】解：
，
，
，
原式．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键．
（1）原式将除法转换为乘法后，约分可得结论；
（2）原式通分后根据同分母分式加减法运算法则进行计算即可；
（3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．（本题6分）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并且解分式方程后一定要进行检验，确保分母不为0．通过去分母，解整式方程，验根的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得：
解得：
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为：．
（2）
去分母得：
解得：
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为：．
21．（本题8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
22．（本题8分）下面是某同学计算的解题过程：
解：
①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解析
【分析】本题考查分式的加减运算，利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键．
【详解】解：上述解题过程从第①步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
．
23．（本题9分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本．
(1)求第一次购书的进价；
(2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【答案】(1)批发价为5元
(2)总体赚元
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的经济问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）设批发价为元，根据题中的等量关系，列出分式方程求解；
（2）分别求出两次获利，再求出总体获利．
【详解】（1）解：设批发价为元．
则第一次购书本．
第二次批发价为，
则第二次购书本，
则，
解得：，
经检验是分式方程的根，
所以第一次购书的进价为5元；
（2）第一次获利
第二次批发价，
第二次购书本，
第二次获利，
则两次总获利，
即总体赚元．
24．（本题9分）已知关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值．
【答案】(1)
(2)或时，分式方程无解；
(3)满足条件的b可取1或4或5这三个数．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把，代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：；
（2）解：把代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当即时，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即，此时b不存在；
Ⅱ.时，原分式方程无解，
即时，
此时；
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得，
解得：，
∵b为正整数，x为非负整数，
∴必为40的因数，，
∴或或或，
对应地，方程的解或2或12或32，
又为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取1或4或5，
∴满足条件的b可取1或4或5这三个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
25．（本题10分）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，…，则依据此规律 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： ；
(2)若、满足．求的值；
(3)受此启发，解方程．
【答案】(1)①；②；
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．
（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵
∴类比得．
②．
故答案为：①；②；
（2）解：∵，满足，即
∴，，
解得：，．
；
故答案为：．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
26．（本题10分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
(2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
(3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2；
(2)，5
(3)7或1．
【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下：
，，
是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2；
（2）解：关于的“雅中值”是，
，
，
，
为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是2的因数，
可能是：，，
的值为：，0，2，3，
的值为：0，2，3，
；
（3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
，
整理得：，
由上式恒成立：
，
消去可得：，即，
，
、、为整数，
为整数，
当时，
，
此时：，
；
当时，
，
此时：，
，
综上：的值为：7或1．

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