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第二十二章二次函数培优训练试卷人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知二次函数的图象上有四个点：，其中，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ）
B．
C． D．
4．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m为全体实数
7．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
8．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ．
10．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
11．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．
12．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知：二次函数中的x，y满足下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m …
(1)求a，b，m的值；
(2)当时，x的取值范围是________．
14．已知二次函数的图象如图所示．
(1)该抛物线的顶点坐标是________；
(2)当x________时，y的值随x值的增大而减小；
(3)当时，y的取值范围是________；
(4)若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________．
15．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，求该二次函数的最值．
(2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由．
16．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点．
(1)请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)连接，，求面积的最大值；
(3)如图2，连接，过点D作分别交、y轴于M、E两点，当M为线段的中点时，求点D的坐标．
17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．
(1)用含的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．
(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
18．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．C
4．B
5．B
6．C
7．B
8．D
二、填空题
9．
10．
11．①③④
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：依题意，把分别代入，
得，
解得，
∴，
依题意，把代入，
得，
即．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴开口方向向上，
结合表格数据，得当时，，
∵抛物线的开口方向向上，
故当时，x的取值范围是或．
14．【解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数中的
∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线，
当时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：；
（3）解：与（2）同理得二次函数的开口方向向下，最大值为5，
把代入，
得，
把代入，
得，
当时，y的取值范围是，
故答案为：．
（4）解：∵将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，
∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为，
即平移后的函数解析式是，
故答案为：．
15．【解】（1）解：由题意，当时，
，
∴当时，y取最小值为；
（2）解：小滨的想法正确．理由如下：
由题意，，
∴当时，y取最小值为．
∵，
∴当时，有最大值0，
∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．
故小滨的想法正确．
16．【解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴令，则，故；
∴令，则，解得
故；
∵抛物线经过A、C两点，
∴把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：过点D作直线轴，交于一点H，如图所示：
由（1）得，，
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴
则
∵
∴开口向下，
∴在对称轴时，有最大值，
且．
（3）解：连接，如图所示：
由（1）得，，
∴令时，则，
即
解得
∵
∴
设的解析式为
把，代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
即
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
则，
∴，
∵M为线段的中点时，
∴，
∴再把分别代入，
得，
整理得，
∴，
解得（舍去），
把代入，
得，
即点D的坐标为．
17．【解】（1）①每件商品的利润为元，
故答案为：；
②每星期卖出商品的件数为：，
故答案为：；
（2）设每件商品降价元，依题意得：
关于的函数关系式是：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，售价为（元）．
答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件．
（3）解：设总利润为，依题意得：
，
∴，
当时，取得最大值6750，此时售价为（元，
答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．
18．【解】（1）解：由题意得：，
∴，
，
；
（2）解：，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴，
设，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
当，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或；
当，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或；
∴点Q的坐标为或或或．

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