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2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
专题3.1 方程与列方程
知识点一、方程的有关概念
1、定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2、列方程
知识点二、方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解
要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
知识点三、列方程（组）解应用题的一般步骤
题型01：方程的概念
【例1】下列式子是方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】下列说法中正确的是（ ）
A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的式子叫方程
C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式
【例3】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4】已知下列式子：．其中方程的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型02：检验是不是方程的解
【例5】下列方程中，解为的是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】下列是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【例7】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解
(1)；
(2)．
题型03：根据方程的解求参数或代数式的值
【例8】若是关于x的方程的解，则a的值是( ) ．
A． B．0 C．2 D．3
【例9】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ．
【例10】若是方程的解，则的值为 ．
【例11】小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（ ）
A． B．4 C． D．2
【例12】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（ ）
x 0 1 2
4 2 0
A． B． C． D．
题型04：列方程（和差倍关系）
【例13】根据下列条件，列出方程．
（1）x的倒数减去-5的差为9；
（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；
（3）y减去13的差的一半为x的．
【例14】六（1）班参加植树活动，种松树和樟树共134棵，种的松树比樟树的3倍还多14棵。两种树各种多少棵？
【例15】妈妈和小智5年后的年龄和为58岁，今年妈妈年龄是小智年龄的3倍，妈妈和小智今年各几岁？
【例16】甲、乙两个化肥厂共生产化肥640吨，甲厂的产量比乙厂的3倍多10吨，两厂各生产化肥多少吨？
【例17】只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
题型05：列方程（几何问题）
【例18】一个长方形周长是122米，长比宽多11米，长和宽各是多少米？它的面积是多少？
【例19】已知梯形的面积是78平方米，上底是下底的一半，上底长10.4米，高是多少米？
【例20】广场上要做一个星形形状的花园，由四个相同的三角形组成，中间是正方形。已知每个三角形的高为5米，面积为9平方米。那么正方形周长为多少米？
【例21】如图，已知AB=25cm，CD=36cm，BE=22.5cm，求AC的长.
【例22】如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
题型06：列方程（调配问题）
【例23】某班男生比女生多10人，后来转走了5名女生，这时男生人数正好是女生人数的2倍，男生有多少人？
【例24】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例25】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．8x+4=7x-3
【例26】学校新进一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本；如果每人发9
本，还差2本．请问有多少老师？多少本书？
【例27】老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃子，就多出9个桃子；每只小猴分11个桃子，
就多出来两个桃子，那么一共有多少只小猴？老猴子一共有多少个桃子？
【例28】红领巾小队的同学去栽树，如果每人栽8棵则少27棵，如果每人栽6棵则少5棵．红领
巾小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？
题型07：列方程（其他问题）
【例29】在一个两位数的末尾添上一个零，所得的三位数比原来的两位数大702.原来这个两位数是几？
【例30】父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄正好是儿子的3倍，今年儿子几岁？
【例31】甲乙两数之和是99，乙数末尾添上0后和甲数相等，甲乙两数各是多少？
【例32】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
题型08：有规律的方程的解
【例33】已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ．
【例34】若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例35】已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于的方程的两个解是 和 ；
(2)已知关于的方程，则的两个解是多少？
【例36】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
题型09：综合提升
【例37】关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ．
【例38】已知关于的方程，当，为何值时：
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解．
一、选择题
1．（2024-25六年级上闵行期末）下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024-25六年级上徐汇期末）下面说法正确的是（ ）．
A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式
3.（24-25六年级上·上海闵行·期末）有一个方程的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024-25六年级上松江期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024-25建华中学六年级上期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．70x﹣60x＝1 B．60x﹣70x＝1 C． D．＝1
二、填空题
7.（2024六年级上·上海松江·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）．
8．（2024-25六年级上建平中学期末） 方程的解．（填“是”或“不是”）
9．（23-24六年级下·上海静安·期末）已知是关于的方程的解，那么的值等于 ．
10．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程的解是，那么的值是 ．
11．（2024-25六年级上模范中学期末）根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ．
12．（2024-25六年级上市北中学期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为
13.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ．
14.（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解．
15．（2024-25六年级上奉贤期末）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ．
0 2
0
16．（2024-25六年级上黄浦期末）已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ．
17.（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程是_______
18.（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ．
三、解答题
19．，各是下列哪个方程的解？
（1）；
（2）；
（3）．
20．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
21.一个长方形周长是19.2米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少米？它的面积是多少？
22、一个梯形的面积是420平方分米，上底是9分米，下底比上底多2分米，那么这个梯形的高是多少分米？
23.有两缸金鱼，第二缸的金鱼条数是第一缸的1.4倍多8条，第二缸的金鱼比第一缸的多24条，两缸金鱼各几条？
24.如图，平行四边形ABCD的周长为80cm，BC=24cm，AE=5cm。求AF的长。
25.军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人没有房间可以住；如果每间住4人，那么 有10人没有房间可以住，现在每间住6人，可以空出多少个房间？
三年级的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒就少6粒．问：有
多少位同学分多少糖果？
用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如绳子3折时，差4米，求绳子的长度和井的深度．2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
专题3.1 方程与列方程
知识点一、方程的有关概念
1、定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2、列方程
知识点二、方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解
要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
知识点三、列方程（组）解应用题的一般步骤
题型01：方程的概念
【例】下列式子是方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案．
【详解】解：∵不是等式，
∴A选项不是方程，
∵不是等式，
∴B选项不是方程，
∵是代数式，没有等号，
∴C选项不是方程，
∵符合方程的定义，
∴是方程，
故选：D．
【例】下列说法中正确的是（ ）
A．含有未知数的式子叫方程 B．能够成为等式的式子叫方程
C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知数的等式
【答案】D
【分析】根据方程的定义结合选项选出正确答案即可．
【解析】A、含有未知数，但不是方程，A选项错误；
B、是等式，但不是方程，B选项错误；
C、是等式，但不是方程，C选项错误；
D、方程就是含有未知数的等式，D选项正确；
故选：D．
【例】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．
【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程．
不是等式，因而不是方程．
（a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程．
故有3个式子是方程．
故选：C．
【例】已知下列式子：．其中方程的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：不是等式，所以它不是方程；
是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程；
不是等式，所以它不是方程；
都具备方程的两个条件，所以都是方程．
故选：C．
题型02：检验是不是方程的解
【例】下列方程中，解为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方程解的定义，将所给的数代入方程，看是否能使方程的左右两边相等．
根据方程解的定义，将分别代入各选项的方程，看是否能使方程的左右两边相等．
【详解】A、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误；
B、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误；
C、把代入，左边，右边，左边右边，即是该方程的解，故本选项正确；
D、把代入，左边，右边，左边≠右边，即不是该方程的解，故本选项错误，
故选C．
【例】下列是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意；
B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意；
C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意；
D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意；
故选：B．
【例】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解
(1)；
(2)．
【答案】(1)是
(2)否
【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是；
（2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：当时，
左边，
右边，
左边右边，
∴是该方程的解．
（2）解：当时，
左边，
右边，
左边右边，
∴不是方程的解．
题型03：根据方程的解求参数或代数式的值
【例】若是关于x的方程的解，则a的值是( ) ．
A． B．0 C．2 D．3
【答案】A
【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【解析】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
【例】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可．
【详解】解：把代入方程中得，，
∴，
∴
．
故答案为：0．
【例】若是方程的解，则的值为 ．
【答案】2035
【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：2035．
【例】小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得：，
故选：C．
【例】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（ ）
x 0 1 2
4 2 0
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方程的解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题．
【详解】解：，
解得：，
由表可知：当时，，
故选：C．
题型04：列方程（和差倍关系）
【例】根据下列条件，列出方程．
（1）x的倒数减去-5的差为9；
（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；
（3）y减去13的差的一半为x的．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程；
（2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程；
（3）根据长方形周长公式即可得方程；
（4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程．
【解析】（1）根据题意，得：，
故答案为：；
（2）根据题意，得：，
故答案为：；
（3）根据题意，得：，
故答案为：．
【例】六（1）班参加植树活动，种松树和樟树共134棵，种的松树比樟树的3倍还多14棵。两种树各种多少棵？
答案：樟树30棵，松树104棵
【例】妈妈和小智5年后的年龄和为58岁，今年妈妈年龄是小智年龄的3倍，妈妈和小智今年各几岁？
解：设今年小智x岁，
x+5+3x+5=58
x=12
12×3=36（岁）
答：妈妈今年36岁，小智今年12岁.
【例】甲、乙两个化肥厂共生产化肥640吨，甲厂的产量比乙厂的3倍多10吨，两厂各生产化肥多少吨？
解：设乙厂生产化肥x吨
3x+10+x=640
X=157.5
3×157.5+10=482.5（吨）
答：甲、乙两厂各生产化肥482.5吨、157.5吨。
【例】只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
【解析】（1）解：设这个班女生有人，
由题意列方程为．
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，
由题意列方程为．
题型05：列方程（几何问题）
【例】一个长方形周长是122米，长比宽多11米，长和宽各是多少米？它的面积是多少？
解：设宽为x米，则长为（11+x）米
（x+11+x）×2=122
2x+11=61
x=25
宽为25米，长为36米，S=36×25=900m2
【例】已知梯形的面积是78平方米，上底是下底的一半，上底长10.4米，高是多少米？
解：设高为x米，
（10.4+10.4×2）x÷2=78
x=5
【例】广场上要做一个星形形状的花园，由四个相同的三角形组成，中间是正方形。已知每个三角形的高为5米，面积为9平方米。那么正方形周长为多少米？
解：设三角形的底为x米
5x÷2=9
x=3.6
正方形的周长为3.6×4=14.4米
【例】如图，已知AB=25cm，CD=36cm，BE=22.5cm，求AC的长.
解：设AC的长为xcm
22.5x÷2=25×36÷2
x=40
【例】如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案．
（2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：，
因此周长为：，
面积为：．
（2）由题意得，
，
解得，
a的值为．
【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键．
题型06：列方程（盈亏与调配问题）
【例】某班男生比女生多10人，后来转走了5名女生，这时男生人数正好是女生人数的2倍，男生有多少人？
解：男生有30人
【例】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解，
本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式．
【详解】解：根据题意得：，
【例】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．8x+4=7x-3
【答案】B
【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程．
【详解】解：设人数为x，
根据题意可得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
【例】学校新进一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本；如果每人发9
本，还差2本．请问有多少老师？多少本书？
答：盈亏总和为9-2＝7（本），两次分配之差是10-9＝1（本），因此有7÷1＝7（人），
共有7×10-9＝61（本）
【例】老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃子，就多出9个桃子；每只小猴分11个桃子，
就多出来两个桃子，那么一共有多少只小猴？老猴子一共有多少个桃子？
答：老猴子第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和为9-1＝7个，
两次分配之差是11-10＝1（个），因此有小猴7÷1＝7（只），一共有桃子7×1
0+9＝79（个）
【例】红领巾小队的同学去栽树，如果每人栽8棵则少27棵，如果每人栽6棵则少5棵．红领
巾小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？
答：根据题目中条件可知，第一种方案要比第二种方案多27-5＝22棵，为什么会多22
棵呢？因为第一种方案比第二种方案每人多栽了8-6＝2棵，每人多栽2棵，多少人
就栽22棵呢？22÷2＝11人．这就是这个小队的人数，再用6×11-5或者8×11-27
就可以求出一共要栽多少棵树了．
题型07：列方程（其他问题）
【例】在一个两位数的末尾添上一个零，所得的三位数比原来的两位数大702.原来这个两位数是几？
解：设原来的两位数为x
10x-x=702
x=78
【例】父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄正好是儿子的3倍，今年儿子几岁？
答案：今年儿子14岁
【例】甲乙两数之和是99，乙数末尾添上0后和甲数相等，甲乙两数各是多少？
答案：甲90，乙9
【例】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可．
【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，
由题意得．
故选：．
题型08：有规律的方程的解
【例】已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ．
【答案】5
【分析】根据一元一次方程解的定义,把 代入原方程得到关于 的方程,求出 的值，然后解关于 的方程即可；
【详解】解：把 代入方程 ，
得 ，
解得 ，
把 代入方程 ，
得 ，
，
，
，
；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等
【例】若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握换元法是解答本题的关键．
设，将替换为x代入方程可得，据此求解即可．
【详解】解：设，
则变形为，
∴，解得：．
故选：．
【例】已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于的方程的两个解是 和 ；
(2)已知关于的方程，则的两个解是多少？
【答案】(1)11，
(2)，
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是，
∴方程的两个解是，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．
【例】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据换元法得出y+1=3，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=3，
∴关于y的一元一次方程，y+1=3，
解得：y=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据换元法解答．
题型09：综合提升
【例】关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ．
【答案】
【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解．
【详解】把代入方程，得：，即，
代入所求方程，得：，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
【例】已知关于的方程，当，为何值时：
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次方程的解；
（1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可；
（2）根据方程有无数解确定出条件即可；
（3）根据方程无解确定出条件即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴当时，即，方程有唯一解
（2）∵方程有无数个解，
∴，即
（3）∵方程无解，
∴，
∴
一、选择题
1．（2024-25六年级上闵行期末）下列式子中，方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键．
根据方程的定义求解即可．
【详解】解：①中不含有未知数，不是方程；
②不是等式，不是方程；
③、④符合方程的定义；
⑤是代数式，不是等式，不是方程；
综上，方程有2个．
故本题选：A．
2．（2024-25六年级上徐汇期末）下面说法正确的是（ ）．
A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式
【答案】D
【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键；
根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可．
【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意；
B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意；
C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意；
D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意．
故选：D．
3.（24-25六年级上·上海闵行·期末）有一个方程的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程，计算出方程左右两边的值，看是否相等即可．
【详解】解：A、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意；
B、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，故此选项不符合题意；
C、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意；
D、把代入方程中，左边右边，故是方程的解，故此选项不符合题意；
故选：D．
4．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据文字描述，直接列出等式即可．
【详解】解：由题意，得
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系．
5．（2024-25六年级上松江期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得：调往乙处人，
则可列方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
6．（2024-25建华中学六年级上期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．70x﹣60x＝1 B．60x﹣70x＝1 C． D．＝1
【答案】C
【分析】设A、B两地间的路程为x km，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1h即可列出方程．
【详解】解：设A、B两地间的路程为x km，
根据题意得
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1h列出方程，此题难度不大．
二、填空题
7.（2024六年级上·上海松江·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）．
【答案】②③
【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
根据含有未知数的等式叫方程，可得答案．
【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程；
∵②③，含有未知数的等式，故是方程；
④，含有未知数但不是等式，故不是方程，
故答案为：②③．
8．（2024-25六年级上建平中学期末） 方程的解．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】把代入看能否使方程左右两边相等，即可得出答案．
【解析】解：把代入，
左边，右边，
∴左边右边，
∴是方程的解．
故答案为：是．
9．（23-24六年级下·上海静安·期末）已知是关于的方程的解，那么的值等于 ．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解，直接将代入方程计算即可得出答案．
【详解】将代入方程，得
故答案为：．
10．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程的解是，那么的值是 ．
【答案】
【分析】把代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵关于的方程的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
11．（2024-25六年级上模范中学期末）根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列方程，a的2倍为，则比a的2倍大5的数为，据此列出方程即可．
【详解】解：“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为，
故答案为：．
12．（2024-25六年级上市北中学期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为
【答案】
【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得，
故答案为：．
13.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14.（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解．
【答案】，，
【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解．
【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解．
将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解．
将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解．
故答案为：，，．
15．（2024-25六年级上奉贤期末）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ．
0 2
0
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，据表格提供的数据可直接得出方程的解．
【详解】解：由，化简得：
根据表格得：当时，，
故的的解为．
故答案为：．
16．（2024-25六年级上黄浦期末）已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解，方程无数解的条件，求代数式的值，熟练掌握解是解题的关键．
【详解】∵方程的解总是2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
故答案为：．
17.（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程是_______
【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可．
【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6，
则，
18.（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ．
【答案】4
【分析】此题考查方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值．
【详解】解：将，代入方程中，
得，
∴，
即z的值为4．
故答案为：4．
三、解答题
19．，各是下列哪个方程的解？
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解
【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断；
将代入方程（1），使方程左右两边相等，即可判断；
将代入方程（2），使方程左右两边相等，即可判断．
【解析】解：将x＝3代入，左边＝22，右边＝，故不是方程的解；
将x＝3代入，左边＝10，右边＝，故不是方程的解；
将x＝3代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解；
将x＝0代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解；
将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；
将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；
将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；
将代入，左边＝，右边＝，故是方程的解；
将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解；
是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解．
20．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
【详解】（1）解：设这个班女生有人，
由题意列方程为．
（2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，
由题意列方程为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
21.一个长方形周长是19.2米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少米？它的面积是多少？
答案：长是7.2米，宽是2.4米，面积是17.28平方米
22、一个梯形的面积是420平方分米，上底是9分米，下底比上底多2分米，那么这个梯形的高是多少分米？
答案：高是42分米
23.有两缸金鱼，第二缸的金鱼条数是第一缸的1.4倍多8条，第二缸的金鱼比第一缸的多24条，两缸金鱼各几条？
答案：第一缸有金鱼40条，第二缸有64条
24.如图，平行四边形ABCD的周长为80cm，BC=24cm，AE=5cm。求AF的长。
解：CD=80÷2-24=16cm
AF=24×5÷16=7.5cm
25.军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人没有房间可以住；如果每间住4人，那么 有10人没有房间可以住，现在每间住6人，可以空出多少个房间？
答：这是“盈盈”问题，两次分配方案人数相差20-10＝10（人），每间房间相差4-3 ＝1（人），所以共有房间10÷1＝10（间），共有人数10×3+20＝50（人），现在 6人一间，50÷6＝8…2（人），因此用掉9个房间，还空出1间．
三年级的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒就少6粒．问：有
多少位同学分多少糖果？
答：由题目条件可知，学生人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，一种盈一种
亏，相差9+6＝15（粒），相差的原因在于分配数不同，两次分配之差为5-4＝1
（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，参与分配糖果的学生数是15÷1＝15（人）， 因此粒数为4×15+9＝69（粒），人数是15人．
用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如绳子3折时，差4米，求绳子的长度和井的深度．
答：井深为份数，绳长为总数，即2折时多出5×2＝10（米），3折时绳子少3×4＝
12（米），所以直接将问题转化成“盈亏”型问题，所以井深为（10+12）÷（3
-2）＝22（米），绳子长度为（22+5）×2＝54（米）．

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