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广东省深圳市部分学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·深圳开学考）勾股定理适用的条件是 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
2．（2025八上·深圳开学考）下列图形中是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八上·深圳开学考）有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在0.000000002~0.000000005米范围内.数据0.000000002用科学记数法可表示为(　　)
A．2×108 B． C． D．2×109
4．（2025八上·深圳开学考）下列算式计算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
5．（2025八上·深圳开学考） 如图， CD， CE， CF分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是 (　　)
A．AB=2BF B．AE=BE
C． D．CD⊥AB
6．（2025八上·深圳开学考）如图是北京、绵阳2024年二十四节气白昼时长对比图：单位(小时)，由图可知，错误的是(　　)
A．从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短
B．白昼时长最长是夏至，最短是冬至
C．在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳小
D．春分和秋分的白昼时长和夜晚时长接近
7．（2025八上·深圳开学考） 如图，直线AB， CD相交于点O， OE⊥CD. 若∠1减少2°，则下列说法正确的是(　　)
A．∠3减少2° B．∠2增加2°
C．∠1与∠2的和不变 D．∠2减少2°
8．（2025八上·深圳开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　)
A．3 B．2 C． D．
9．（2025八上·深圳开学考）计算 　 　.
10．（2025八上·深圳开学考）小松一家暑假到贵州旅游，小松想借此机会尝尝贵州当地的特色美食，于是把想吃的“织金宫保鸡”“毕节烙锅”“豆花鱼”“纳雍火把鱼”四种美食写在完全相同的卡片上，从中任意抽出一张，恰好抽到“毕节烙锅”的概率是　 　.
11．（2025八上·深圳开学考）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，只需携带　 　即可(填“①”“②”“③”).
12．（2025八上·深圳开学考） 如果(x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项， 则m的值为　 　.
13．（2025八上·深圳开学考）如图，等边三角形ABC中，AD 是BC边上的中线，点E为AD上的一动点，连接BE，在BE的右侧作等边△BEF，连接DF.若BD=m，AD=n， 则BF+DF的最小值为　 　(用含有m或n的式子表示).
14．（2025八上·深圳开学考）计算：
（1）
（2）用简便方法计算：
15．（2025八上·深圳开学考）先化简，再求值： 其中
16．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 已知AB=3， AC=5， 完成以下问题：
（1）利用尺规作图，作出△ABC的中线AM；(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 过点M与BC 垂直的直线 MD交AC于点 D，求△ABD的周长.
17．（2025八上·深圳开学考）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系.下表是小亮测得的一些数据：
购物车数量/辆 1 2 3 4 5
车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
根据上表回答下列问题：
（1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　 　m.
（2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式.
18．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积.
19．（2025八上·深圳开学考） 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”.
（1）【理解概念】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，请判断△ACD与△CBD　 　(填“是”或“否”)为“等角三角形”.
（2） 如图2， 在△ABC中， CD为角平分线， ∠A=40°， ∠B=60°， 请说明CD 是△ABC的“巧等线”.
（3）【应用概念】：
在△ABC中， 若∠A=40°， CD为△ABC的“巧等线”， 请直接写出所有可能的∠B度数.
20．（2025八上·深圳开学考）已知： △ABC中，∠ACB=90°， AC=CB， D为直线BC上一动点， 连接AD， 在直线AC右侧作AE⊥AD， 且AE=AD.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证： EH=AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M ，求证：BM=EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M ，若2AC=5CM，请求出 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为勾股定理是直角三角形三边之间的关系，
所以 勾股定理适用的条件是 ：直角三角形。
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理的内容，可直接得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：图案不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，所以B符合题意；
C：图案不是轴对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000002 =2×10-9
故答案为：B .
【分析】根据小于1 的科学记数法的规范写法，可得出 0.000000002 =2×10-9，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： ，原等式错误，故A计算不正确；
B：，原等式错误，故B计算不正确；
C：，原等式正确，故C计算正确；
D：，原等式错误，故D计算不正确；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法分别进行计算，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A：根据CF是 △ABC 的中线，可得出 AB=2BF ，故A正确；
B：因为CF是 △ABC 的中线，所以AF=BF，故B错误；
C：因为CE是△ABC 的角平分线，可得出，故C正确；
D：因为CD是△ABC 的高，所以CD⊥AB，故D正确。
故答案为：B .
【分析】分别根据三角形的高、角平分线、中线的概念， 分别进行判断，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A：观察图象，可得出北京，绵阳从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短，故A正确；
B：观察图象，可得出北京，绵阳白昼时长最长是夏至，最短是冬至，故B正确；
C：观察图象，可得出在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳大故C错误；
D：观察图像可知：春分和秋分时白昼时长都接近12个小时，故而D正确。
故答案为：C .
【分析】结合对比图，可逐项进行判断，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】角的运算；邻补角；余角；垂线段的概念
【解析】【解答】解：因为 OE⊥CD ，可得出∠COE=90°，故∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°，
A： ∠1减少2°， 则∠3增加2°，所以A不正确；
B： ∠1减少2°， 则∠3增加2°，那么∠2减少2°，所以B不正确；
C：由A，B知，∠1与∠2的和减少4°，所以C不正确；
D：由B知：∠2减少2°，故D正确
故答案为：D .
【分析】首先根据垂直定义得出∠COE=90°，故∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°，然后逐项进行分析，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠C=90°，
∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2.
故答案为：B .
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ADB=∠DBC，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，进而得出∠ABD=∠DBC，再根据角平分线的性质定理可得出点D 到边AB的距离 =DC=2.
9．【答案】4
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：4 .
【分析】根据算术平方根的性质可得出.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P恰好抽到“毕节烙锅”=.
故答案为： .
【分析】根据概率计算公式可得出P恰好抽到“毕节烙锅”=.
11．【答案】①
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：因为①中含有两角和夹边，根据ASA可由①得出与原瓷砖完全相同的瓷砖。
故答案为：① .
【分析】根据ASA即可得出答案。
12．【答案】-3
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： (x+m)(x+3) =x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
∵ (x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
∴m=-3.
故答案为：-3 .
【分析】首先进行 (x+m)(x+3) =x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，再根据(x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项，即可得出3+m=0，即可得出m的值。
13．【答案】或n
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，
"∵∠ABE +∠EBD=60°，∠CBF+∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF (SAS)；
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，
∴∠CBF=∠BCF，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF=FG，
.当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.
∴∠GCF=∠BCF=30°，
∴∠BCG =60°，∠CBF =30°．
∴∠BGC = 180°－30°—60°= 90°，
∴CG=BC=m
∴BG===n，
∴BF + DF的最小值为或n.
故答案为：或n.
【分析】根据SAS可证得△ABE≌△CBF，进而根据三线合一的性质可得出∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，进而得出∠CBF=∠BCF，作点D关于CF的对称点G，再根据轴对称的性质可得出当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CG=BC=m，再根据勾股定理即可得出BG===n。
14．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据0整数指数幂和负整数指数幂以及绝对值的性质进行化简，进而再进行有理数的加法运算即可；
（2）首先把109改写成110-1，再运用完全平方公式进行简便运算即可。
15．【答案】解：；
把 中 代入原式，可得：
原式=。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据整式的混合运算进行化简，然后再把代入原式，并进行计算即可。
16．【答案】（1）解：作BC的垂直平分线，交BC于点M，连接AM，
AM即为所求。
（2）解：△ABD 周长 = AB + AD + BD = AB + (AD + DC) = AB + AC = 3 + 5 = 8。
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于点M，连接AM即可；
（2） 过M作BC的垂线MD交AC于D，根据垂直平分线的性质，可得出BD=CD，进而得出 △ABD的周长即为AB+AC，进一步即可求解。
17．【答案】（1）0.2
（2）解：由（1）知：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
∴。
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）观察表格可得出：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
故答案为：0.2；
【分析】（1）观察表格可得出：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米；
（2）由（1）知：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，即可得出。
18．【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8，
∴，
∴AD⊥BC；
在 Rt△ADC 中，；
∴△ABC 面积 =
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可得出AD⊥BC，进而根据勾股定理，可得出，再根据三角形面积计算公式，即可得出△ABC 面积 =。
19．【答案】（1）是
（2）解： ∠A= 40°，∠B=60°，
∴∠ACB =180°-∠A- ∠B= 80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠A，
∴CD=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∴∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 40°-40°=100°，
∴∠BDC =180°-100° = 80°，
∴∠BCD=∠ACB，∠B=∠B，
∴△ABC与△CBD是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的“巧等线”.
（3）∠B的度数为30°或60°或或。
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：(1)∵ CD⊥AB，
∴∠ADC =∠CDB =90°，
∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD与△CBD是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：根据题意可知，存在以下四种情况：
①当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC =∠ACD=70°，∠BCD =∠A= 40°，
∴∠B=180° -∠A- ∠ACD -∠BCD = 30°；
②当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠A=∠ACD=40°，
∴∠B = 180° - ∠A- ∠ACD -∠BCD = 60°；
③当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD，
∴∠B=；
④当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B，∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD=40°+∠B，
∴在△BCD中，40°+ ∠B + 40° + ∠B+ ∠B =180°，
∠B=
故：∠B的度数为30°或60°或或。
【分析】（1）根据“等角三角形的定义，即可得出答案；
（2）首先可证得△ACD 为等腰三角形；再证明△BCD 与△ABC 为 “等角三角形”，进而根据“巧等线”的定义，即可得出结论；
（3）根据题意可分成以下四种情况：①当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，②当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，B=60°；③当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠B=；④当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠B=。
20．【答案】（1）证明：∵AE⊥AD，EH⊥AC，
∴∠DAE=∠AHE=90°，∠DAC + ∠EAH=90°，∠AEH + ∠EAH=90°，
∴∠DAC=∠AEH；
∵AD=AE，
∴△ADC≌△EAH（AAS），
∴EH=AC；
（2）证明： 证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵ADAE， EN⊥AM，
∠ANE = ∠EAD=∠ACB=90°.
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC + ∠EAN= 90°，
∴∠EAN= ∠ADC，
又∵AD=AE、∠ACD=∠ANE =90°，
，△ANE≌△DCA(AAS)，
∴EN = AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN、∠BCM=∠ENM=90°
∴△BCM≌△ENM (AAS)，
∴BM=EM；
（3）解： ①当点D在线段BC上时，如图，
∵2AC=5CM，
设CM=2a，AC=5a，
由(1)得：△AHE*△DCA，
..AH=DC、EH=AC=5a，
∵AC=BC=5a，
.BC=EH= 5a，
又∵∠BMC=EMH、∠BCM=∠EHM=90°
∴△BCM≌△EHM (AAS)，
∴HM=CM=2a，
'AH=AC-CM-HM=a，
∴AM = AH +HM =3a，BD=BC-CD= 4a，
∴
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
由图可得：AC，此情况不存在；
③当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵2AC=5CM，
∴设CM = 2a，AC=5a，
∵AD⊥AE， EN⊥AM.
∴∠ANE= ∠EAD=∠ACB=90°，
∴.∠DAC+∠ADC =90°，∠DAC + ∠EAN=90°，
∴∠EAN= ∠ADC，
又∵AD=AE、∠ACD=∠ANE=90°，
∴△ANE≌△DCA (AAS)，
∵.EN= AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN，∠BCM=∠ENM=90°，
∴△BCM≌△ENM (AAS).
.CM=MN -2a，BC=NE=AC=5a，
.AN=AC+CM + MN =9a，AM =AC
+CM= 7a，
∵ △ANE=△DCA，
∴AN=CD=9a，
∴BD=4a，
∴=
综上，的值为或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 （1）通过构造全等三角形证明EH=AC；
（2）通过全等三角形证明BM=EM；
（3）分情况讨论点D的位置，利用面积公式计算比值。)①当点D在线段BC上时，；当点D在线段BC的延长线上时，此情况不存在；当点D在CB延长线上时，=；综上，的值为或.
1 / 1广东省深圳市部分学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·深圳开学考）勾股定理适用的条件是 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：因为勾股定理是直角三角形三边之间的关系，
所以 勾股定理适用的条件是 ：直角三角形。
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理的内容，可直接得出答案。
2．（2025八上·深圳开学考）下列图形中是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：图案不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，所以B符合题意；
C：图案不是轴对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．（2025八上·深圳开学考）有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在0.000000002~0.000000005米范围内.数据0.000000002用科学记数法可表示为(　　)
A．2×108 B． C． D．2×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000002 =2×10-9
故答案为：B .
【分析】根据小于1 的科学记数法的规范写法，可得出 0.000000002 =2×10-9，即可得出答案。
4．（2025八上·深圳开学考）下列算式计算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： ，原等式错误，故A计算不正确；
B：，原等式错误，故B计算不正确；
C：，原等式正确，故C计算正确；
D：，原等式错误，故D计算不正确；
故答案为：C .
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法分别进行计算，即可得出答案。
5．（2025八上·深圳开学考） 如图， CD， CE， CF分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是 (　　)
A．AB=2BF B．AE=BE
C． D．CD⊥AB
【答案】B
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A：根据CF是 △ABC 的中线，可得出 AB=2BF ，故A正确；
B：因为CF是 △ABC 的中线，所以AF=BF，故B错误；
C：因为CE是△ABC 的角平分线，可得出，故C正确；
D：因为CD是△ABC 的高，所以CD⊥AB，故D正确。
故答案为：B .
【分析】分别根据三角形的高、角平分线、中线的概念， 分别进行判断，即可得出答案。
6．（2025八上·深圳开学考）如图是北京、绵阳2024年二十四节气白昼时长对比图：单位(小时)，由图可知，错误的是(　　)
A．从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短
B．白昼时长最长是夏至，最短是冬至
C．在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳小
D．春分和秋分的白昼时长和夜晚时长接近
【答案】C
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A：观察图象，可得出北京，绵阳从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短，故A正确；
B：观察图象，可得出北京，绵阳白昼时长最长是夏至，最短是冬至，故B正确；
C：观察图象，可得出在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳大故C错误；
D：观察图像可知：春分和秋分时白昼时长都接近12个小时，故而D正确。
故答案为：C .
【分析】结合对比图，可逐项进行判断，即可得出答案。
7．（2025八上·深圳开学考） 如图，直线AB， CD相交于点O， OE⊥CD. 若∠1减少2°，则下列说法正确的是(　　)
A．∠3减少2° B．∠2增加2°
C．∠1与∠2的和不变 D．∠2减少2°
【答案】D
【知识点】角的运算；邻补角；余角；垂线段的概念
【解析】【解答】解：因为 OE⊥CD ，可得出∠COE=90°，故∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°，
A： ∠1减少2°， 则∠3增加2°，所以A不正确；
B： ∠1减少2°， 则∠3增加2°，那么∠2减少2°，所以B不正确；
C：由A，B知，∠1与∠2的和减少4°，所以C不正确；
D：由B知：∠2减少2°，故D正确
故答案为：D .
【分析】首先根据垂直定义得出∠COE=90°，故∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°，然后逐项进行分析，即可得出答案。
8．（2025八上·深圳开学考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　)
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠C=90°，
∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2.
故答案为：B .
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ADB=∠DBC，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，进而得出∠ABD=∠DBC，再根据角平分线的性质定理可得出点D 到边AB的距离 =DC=2.
9．（2025八上·深圳开学考）计算 　 　.
【答案】4
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：4 .
【分析】根据算术平方根的性质可得出.
10．（2025八上·深圳开学考）小松一家暑假到贵州旅游，小松想借此机会尝尝贵州当地的特色美食，于是把想吃的“织金宫保鸡”“毕节烙锅”“豆花鱼”“纳雍火把鱼”四种美食写在完全相同的卡片上，从中任意抽出一张，恰好抽到“毕节烙锅”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P恰好抽到“毕节烙锅”=.
故答案为： .
【分析】根据概率计算公式可得出P恰好抽到“毕节烙锅”=.
11．（2025八上·深圳开学考）王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，只需携带　 　即可(填“①”“②”“③”).
【答案】①
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：因为①中含有两角和夹边，根据ASA可由①得出与原瓷砖完全相同的瓷砖。
故答案为：① .
【分析】根据ASA即可得出答案。
12．（2025八上·深圳开学考） 如果(x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项， 则m的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： (x+m)(x+3) =x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
∵ (x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
∴m=-3.
故答案为：-3 .
【分析】首先进行 (x+m)(x+3) =x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，再根据(x+m)与(x+3) 的乘积中不含x的一次项，即可得出3+m=0，即可得出m的值。
13．（2025八上·深圳开学考）如图，等边三角形ABC中，AD 是BC边上的中线，点E为AD上的一动点，连接BE，在BE的右侧作等边△BEF，连接DF.若BD=m，AD=n， 则BF+DF的最小值为　 　(用含有m或n的式子表示).
【答案】或n
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，
"∵∠ABE +∠EBD=60°，∠CBF+∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF (SAS)；
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，
∴∠CBF=∠BCF，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF=FG，
.当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.
∴∠GCF=∠BCF=30°，
∴∠BCG =60°，∠CBF =30°．
∴∠BGC = 180°－30°—60°= 90°，
∴CG=BC=m
∴BG===n，
∴BF + DF的最小值为或n.
故答案为：或n.
【分析】根据SAS可证得△ABE≌△CBF，进而根据三线合一的性质可得出∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，进而得出∠CBF=∠BCF，作点D关于CF的对称点G，再根据轴对称的性质可得出当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CG=BC=m，再根据勾股定理即可得出BG===n。
14．（2025八上·深圳开学考）计算：
（1）
（2）用简便方法计算：
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据0整数指数幂和负整数指数幂以及绝对值的性质进行化简，进而再进行有理数的加法运算即可；
（2）首先把109改写成110-1，再运用完全平方公式进行简便运算即可。
15．（2025八上·深圳开学考）先化简，再求值： 其中
【答案】解：；
把 中 代入原式，可得：
原式=。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据整式的混合运算进行化简，然后再把代入原式，并进行计算即可。
16．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 已知AB=3， AC=5， 完成以下问题：
（1）利用尺规作图，作出△ABC的中线AM；(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 过点M与BC 垂直的直线 MD交AC于点 D，求△ABD的周长.
【答案】（1）解：作BC的垂直平分线，交BC于点M，连接AM，
AM即为所求。
（2）解：△ABD 周长 = AB + AD + BD = AB + (AD + DC) = AB + AC = 3 + 5 = 8。
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于点M，连接AM即可；
（2） 过M作BC的垂线MD交AC于D，根据垂直平分线的性质，可得出BD=CD，进而得出 △ABD的周长即为AB+AC，进一步即可求解。
17．（2025八上·深圳开学考）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系.下表是小亮测得的一些数据：
购物车数量/辆 1 2 3 4 5
车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
根据上表回答下列问题：
（1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　 　m.
（2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式.
【答案】（1）0.2
（2）解：由（1）知：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
∴。
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）观察表格可得出：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
故答案为：0.2；
【分析】（1）观察表格可得出：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米；
（2）由（1）知：每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，即可得出。
18．（2025八上·深圳开学考）如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积.
【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8，
∴，
∴AD⊥BC；
在 Rt△ADC 中，；
∴△ABC 面积 =
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可得出AD⊥BC，进而根据勾股定理，可得出，再根据三角形面积计算公式，即可得出△ABC 面积 =。
19．（2025八上·深圳开学考） 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”.
（1）【理解概念】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，请判断△ACD与△CBD　 　(填“是”或“否”)为“等角三角形”.
（2） 如图2， 在△ABC中， CD为角平分线， ∠A=40°， ∠B=60°， 请说明CD 是△ABC的“巧等线”.
（3）【应用概念】：
在△ABC中， 若∠A=40°， CD为△ABC的“巧等线”， 请直接写出所有可能的∠B度数.
【答案】（1）是
（2）解： ∠A= 40°，∠B=60°，
∴∠ACB =180°-∠A- ∠B= 80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠A，
∴CD=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∴∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 40°-40°=100°，
∴∠BDC =180°-100° = 80°，
∴∠BCD=∠ACB，∠B=∠B，
∴△ABC与△CBD是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的“巧等线”.
（3）∠B的度数为30°或60°或或。
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：(1)∵ CD⊥AB，
∴∠ADC =∠CDB =90°，
∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD与△CBD是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：根据题意可知，存在以下四种情况：
①当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC =∠ACD=70°，∠BCD =∠A= 40°，
∴∠B=180° -∠A- ∠ACD -∠BCD = 30°；
②当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠A=∠ACD=40°，
∴∠B = 180° - ∠A- ∠ACD -∠BCD = 60°；
③当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD，
∴∠B=；
④当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B，∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD=40°+∠B，
∴在△BCD中，40°+ ∠B + 40° + ∠B+ ∠B =180°，
∠B=
故：∠B的度数为30°或60°或或。
【分析】（1）根据“等角三角形的定义，即可得出答案；
（2）首先可证得△ACD 为等腰三角形；再证明△BCD 与△ABC 为 “等角三角形”，进而根据“巧等线”的定义，即可得出结论；
（3）根据题意可分成以下四种情况：①当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，②当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，B=60°；③当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠B=；④当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠B=。
20．（2025八上·深圳开学考）已知： △ABC中，∠ACB=90°， AC=CB， D为直线BC上一动点， 连接AD， 在直线AC右侧作AE⊥AD， 且AE=AD.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证： EH=AC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M ，求证：BM=EM；
（3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M ，若2AC=5CM，请求出 的值.
【答案】（1）证明：∵AE⊥AD，EH⊥AC，
∴∠DAE=∠AHE=90°，∠DAC + ∠EAH=90°，∠AEH + ∠EAH=90°，
∴∠DAC=∠AEH；
∵AD=AE，
∴△ADC≌△EAH（AAS），
∴EH=AC；
（2）证明： 证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵ADAE， EN⊥AM，
∠ANE = ∠EAD=∠ACB=90°.
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC + ∠EAN= 90°，
∴∠EAN= ∠ADC，
又∵AD=AE、∠ACD=∠ANE =90°，
，△ANE≌△DCA(AAS)，
∴EN = AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN、∠BCM=∠ENM=90°
∴△BCM≌△ENM (AAS)，
∴BM=EM；
（3）解： ①当点D在线段BC上时，如图，
∵2AC=5CM，
设CM=2a，AC=5a，
由(1)得：△AHE*△DCA，
..AH=DC、EH=AC=5a，
∵AC=BC=5a，
.BC=EH= 5a，
又∵∠BMC=EMH、∠BCM=∠EHM=90°
∴△BCM≌△EHM (AAS)，
∴HM=CM=2a，
'AH=AC-CM-HM=a，
∴AM = AH +HM =3a，BD=BC-CD= 4a，
∴
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，
由图可得：AC，此情况不存在；
③当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵2AC=5CM，
∴设CM = 2a，AC=5a，
∵AD⊥AE， EN⊥AM.
∴∠ANE= ∠EAD=∠ACB=90°，
∴.∠DAC+∠ADC =90°，∠DAC + ∠EAN=90°，
∴∠EAN= ∠ADC，
又∵AD=AE、∠ACD=∠ANE=90°，
∴△ANE≌△DCA (AAS)，
∵.EN= AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN，∠BCM=∠ENM=90°，
∴△BCM≌△ENM (AAS).
.CM=MN -2a，BC=NE=AC=5a，
.AN=AC+CM + MN =9a，AM =AC
+CM= 7a，
∵ △ANE=△DCA，
∴AN=CD=9a，
∴BD=4a，
∴=
综上，的值为或.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 （1）通过构造全等三角形证明EH=AC；
（2）通过全等三角形证明BM=EM；
（3）分情况讨论点D的位置，利用面积公式计算比值。)①当点D在线段BC上时，；当点D在线段BC的延长线上时，此情况不存在；当点D在CB延长线上时，=；综上，的值为或.
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