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启东市南苑中学2025～2026学年第一学期第一次统一作业
八年级 数学
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1．下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个
①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若点A（m﹣2，3）与点B（4，3）关于y轴对称，则m的值是（　　）
A．6 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3
3．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BC摆出△ABC，再将木棍AC绕点A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
C．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
D．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
5．有下列命题：
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a＝b，则|a|＝|b|；
A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②
6．如图△ABC的两个角平分线AP与BP交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于三角形三条边，下列说法不正确的是（　　）
A．PD＝PE＝PF
B．△ABP，△ACP，△BCP的面积相等
C．CP平分∠ACB
D．△ABC的面积等于它的周长与PF乘积的一半
7．在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　）
A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．24
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC
10．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G，若BE平分∠ABC，则下列结论：①∠DAC＝∠EAB；②∠ADC＝∠AEB；③CD∥AB；④CB＝BF中，正确的是（　　）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．
11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　 ．
12．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据△O′C'D'≌△OCD，可得∠A'O'B'＝∠AOB，则说明△O'C'D'≌△OCD的依据是 　 　 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝3，AD＝5，则AB的取值范围是 　 　 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC形外一点，DA平分∠BAC，且∠CBD＝50°，求∠DCB＝　 　 ．
15．（4分）如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 　 　 种不同的移法．
16．（4分）如图，动点C与线段AB构成△ABC，其边长满足AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3．点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC＝90°，则a的取值范围是 　 　 ，△ABD的面积的最大值为 　 　 ．
三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
17．（本小题满分10分）
如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你的猜想．
18．（本小题满分10分）
如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F）．
（2）求四边形ABED的面积．
19．（本小题满分10分）
尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）按要求画图，并解答问题：
如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）①作边AB的垂直平分线DF，交BC于点D，交AB于点F；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E．
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
20．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，D是AC上一点，BF∥AC，DF交BC于点E，DE＝EF．
（1）求证：△CDE≌△BFE；
（2）若AC＝8，BF＝6，求AD的长．
21．（本小题满分10分）
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和而点E．将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
【定理证明】
已知：如图①，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．求证：PD＝PE．
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO．只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．
（1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交CB于点D．若过点D作DF⊥AB，垂足为F，点E在AC上，且DE＝BD，请你判断AE，AF，BF之间的数量关系，并说明理由．
22．（本小题满分10分）
如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
23．（本小题满分12分）
如图，在△ABC和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．
求证：（1）△ABD≌△ACE；
（2）DF＝CE．
24．（本小题满分13分）
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积．
25．（本小题满分13分）
如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
启东市南苑中学2025～2026学年第一学期第一次统一作业
八年级 数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B D B C A B D
二．填空题（共6小题，满分22分）
11．三角形具有稳定性．
12．SSS．
13．7＜AB＜13．
14． 60°．
15．4．
16．a＞2.5，．
三．解答题（共9小题，满分98分）
17．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝25°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝180°﹣75°﹣70°＝35°；
（2）猜想∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
理由如下：∠BDO＝∠A+∠C，∠BOC＝∠BDO+∠B，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
18．【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）四边形ABED的面积为：（6+2）×1＝4．
19．【解答】（1）解：①如图，DF即为所求；
②如图，点E即为所求；
（2）∵∠C＝40°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
∵DF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴．
20．【解答】（1）证明：∵BF∥AC
∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠BFE，
在△CDE和△BFE中，
，
∴△CDE≌△BFE（AAS）；
（2）∵△CDE≌△BFE，
∴CD＝BF＝6，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣6＝2．
21．【解答】（1）证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△POD与△POE中，∠POD＝∠POE
，
∴△POD≌△POE（AAS），
∴PD＝PE；
（2）解：AF＝AE+BF，理由如下：
∵DF⊥AB，
∴∠C＝∠AFD＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DF，
在Rt△ACD≌Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC＝AF，
在Rt△DCE≌Rt△DFB中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴CE＝BF，
∵AF＝AC＝AE+DE，
∴AF＝AE+BF．
22．【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
23．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠ABC＝∠C＝∠DBA，
即∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝CE．
24．【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）证明：∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，
∵∠ADB＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△EAC和△DBA中，
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示：∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠M＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAM＝90°，
∴∠ABG＝∠DAM，
在△ABG和△DAM中，
，∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM＝AG，同理可证明：△AGC≌△ENA，
∴EN＝AG，
∴DM＝EN＝AG，
∵S△DAE＝S△AHD+S△AHE
AH DMAH EN，
＝AH×2DM
＝AH×AG
＝5×12
＝60
∴△ADE的面积等于60．
25．【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积2；
（2）CD＝BD+AC．
证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/22 15:07:38；用户：徐陈；邮箱：15851883763；学号：50733122

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