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云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知某总体分为两层，第一层总体数量为，第二层总体数量为，采用分层抽样抽取样本，第一层样本平均数为；第二层样本平均数为，则该总体平均数的估计值为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，集合，若，则由实数组成的集合为( )
A. B. C. D.
4.若，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，那么 D. 若，则
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.抛物线的焦点为，点在上，则( )
A. B. C. D.
7.若数列满足，，则其前项的和为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，已知，且，则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，当时，，则( )
A. B. C. D.
10.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若有两个不同的实根，则的取值范围是
11.设双曲线的左、右焦点分别为，点在第一象限并且在双曲线的渐近线上，且满足，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为平行四边形，则下列选项中正确的是( )
A. 的离心率为
B. 四边形的面积为
C.
D. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，则向量与的夹角为 ．
13.已知函数的图象在处的切线与直线平行，则 ．
14.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则该正四棱台的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的左焦点为，点在上．
求椭圆的离心率；
若为坐标原点，直线与相交的另一个交点为，关于轴对称点为，若四边形的面积为，求．
16.本小题分
如图，三棱柱的高为分别是的中点，平面．

证明：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，，．
若，求的面积；
若，，求．
18.本小题分
已知函数．
若存在两个零点，求实数的取值范围；
设函数，若有两个极值点，证明：．
19.本小题分
在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为，求的分布列和数学期望；
为验证抽球实验成功的概率不超过，有名志愿者独立地进行该抽球实验，用表示成功时抽球的轮次数，表示对应的人数，以下是部分统计数据：
求关于的回归方程，并预测当时的值；
若在前轮就成功的概率为，证明：．
附：回归方程系数：；
参考数据：其中，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因点在上，所以，即，所以椭圆的离心率为．
因，结合椭圆的对称性可得，，，
因，轴，
则，，
四边形的面积为，则，
则，
由可得，，则，则，
则．

16.设的中点为，连结，
因为是的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
又分别是的中点，
故，又，故，
又因为平面平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面；

因为平面，平面，所以平面平面，
过点做边上的垂线交于，所以平面，
又因为三棱柱的高为，所以，
因为，由勾股定理得，
又，，故与重合，
以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
由知，平面平面，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
解得，令得，故，
设平面与平面的夹角为，
则，
故，所以平面与平面的夹角为．

17.解：在中，由余弦定理得，，
即，解得或舍去，
所以．
设，在中，
由正弦定理得，，即，所以．
在中，，，则，即，即，
整理得联立，解得，
即．

18.函数的定义域为，则，
当时，，此时在上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，由可得；由，可得．
则在上单调递增，在上单调递减，
又当时，，当时，，
故有最大值，若存在两个零点，则需使，解得．
综上，实数的取值范围为．
因，则
有两个极值点，不妨设，
则，即，
故，
令，所以．
要证，即证，即证，
即证，只需证．
令，则
故在上单调递增，所以，即．
故成立，即成立．

19.由题意知，的取值可能为，，，
，，
所以的分布列为
则的数学期望．
令，则由题意知，，，．
则，则，则有，
故回归方程为当时，，故预测的值约为．
由题意知在前轮就成功的概率为
．
则在前轮没有成功的概率为
，
即，所以故．

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