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2026年高考数学（函数的基本性质）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得函数关于对称，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
2．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用已知条件易得是周期为的奇函数，且是一条对称轴，再结合各项判断是否一定有成立即可.
【详解】由题设，即，
所以是周期为的奇函数，且是一条对称轴，
当时，则，，不符合
当时，则且，不符合；
当时，则，，故；
当时，则且，不符合；
故选：C
3．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD
【详解】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，
即C项错误.
由，令，得，
即B项错误.
又，
所以D项正确.
故选：D
4．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心 B．有对称轴
C．是增函数 D．是减函数
【答案】B
【分析】依题意取特值即可求解.
【详解】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的图象关于直线关于对称，
故选：B.
5．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案.
【详解】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以4为周期的周期函数，
则.
故选：D.
6．已知函数满足．当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以是以6为周期的函数，
所以 ，
故选：C.
7．设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】因为 ，所以，，
则，即，
的函数图象如图所示：

由函数图象可知当时，且在上单调递减，
所以等价于，即，
解得，即.
故选：A.
8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
二、多选题
9．已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称 D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数为偶函数，
则，因此函数为奇函数，A错误；
对于B，令，，
于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确；
对于C，由选项B知，函数的图象关于对称，
又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确；
对于D，由，得，
所以，D错误.
故选：BC
10．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
【答案】AB
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，
又函数是R上的奇函数，所以，故A正确；
因为，故是一个周期为的奇函数，
因为是的对称中心，
所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确；
作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有个零点，故D不正确.
故选：AB.
11．已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.
【详解】由可得函数关于中心对称，
且，又因为为偶函数，
所以，令等价于，所以
可知函数关于轴对称，再令替换，所以，
所以知，，
，所以，即是函数的周期，
由，令，则，故A正确；
因为，由已知条件无法求出，故C不正确；
由可得，所以B不正确；
由可得与关于中心对称，
所以是函数的周期，，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.
三、填空题
12．已知，函数在上的最小值为2，则实数 .
【答案】1
【分析】利用导数分类为与讨论，得出在上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.
【详解】，
，
当时，即时，
则在上恒成立，则在上单调递增，
在上的最小值为，解得，
当时，即时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上的最小值为，舍去，
综上所述：，
故答案为：1.
13．设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】因为是奇函数，且是偶函数，
所以，
所以，即，
故是4为周期的周期函数，且有，
则.
故答案为：
14．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：
①若，则；
②函数与函数无公共点；
③；
④所有满足的点组成区域的面积为．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④．
【详解】对于①：若，则，则，
，
即，故①正确；
对于②：函数与函数的图象如图所示，
由图可得函数与函数无公共点，故②正确；
对于③：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，故③错误；
对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为，
综上点组成区域的面积为，故④正确．
故答案为：①②④.2026年高考数学（函数的基本性质）
训练时间40分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在上的奇函数满足，则对所有这样的函数，由下列条件一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
4．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心 B．有对称轴
C．是增函数 D．是减函数
5．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知函数满足．当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称 D．
10．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
11．已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知，函数在上的最小值为2，则实数 .
13．设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 .
14．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：
①若，则；
②函数与函数无公共点；
③；
④所有满足的点组成区域的面积为．
其中所有正确结论的序号是 ．

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