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2026年高考数学（基本不等式）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．7
【答案】D
【分析】对于，利用以值代参，求解基本不等式.
【详解】
，
当且仅当,即取等号．
故选：D．
2．已知，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由，
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令，显然有，但，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，，显然有，但，C不是；
对于D，当，则，即，
反过来，令，不等式成立，而， D是.
故选：D
4．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】已知，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
5．在直角中，是直角，斜边为，两直角边为 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求出的范围，即可求出的范围.
【详解】，当且仅当时等号成立，
∴，
∴.
故选：B.
6．若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.
故选：A.
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可.
【详解】,
由于，
当且仅当，即取等号.
则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值.
8．已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解．
【详解】由得，，
所以，即，
因为，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值．
二、多选题
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.
【详解】选项A：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C：因为, ,，故C错误；
选项D：因为, ,,故D错误．
故选:AB．
10．设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，，为正实数，则，故，
即，故，A错误；
对于B，由于，当且仅当即时取等号，
，当且仅当即时取等号，
故，B正确；
对于C，因为，为正实数，，故，
故，即，C正确；
对于D，因为，为正实数，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，D错误，
故选：BC
11．若，x，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题目的已知条件灵活运用基本不等式放缩求解即可．
【详解】解：，
，故A正确；
取，，满足，
但，故B错误；
，
，
，
，
故，所以C正确，D错误．
故选：AC．
【点睛】本题的解题关键是根据的结构，运用基本不等式把整体放缩成，从而得到的不等式组，解之求得结论．
12．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确.
对于B，由及，得，所以.同理可得.
又，所以，所以，B正确.
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误.
对于D，由，得，所以.
因为，，所以，所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，函数有最小值，则 ．
【答案】4
【分析】利用均值不等式求得最小值，进而计算可求得的值.
【详解】，
令，则或（舍），
故答案为：.
14．已知，，且满足，则的最小值为 ．
【答案】/3.5
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，，所以
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：
15．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .
【答案】-1
【分析】设，可得，再结合基本不等式可得，进而可得.
【详解】设的
则，，，，
所以，
又，
所以
当且仅当，时取等号，所以，则，
故的最大值为.
故答案为：
16．已知，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将变形为，然后利用对勾函数求得，再根据对勾函数求得，再次利用对勾函数的性质即可求解.
【详解】
设
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，
，
设，
，
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，由题中可得，
，
设，
，
根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增，
，又，
，
的最小值为（当时取得)，
故答案为：.
【点睛】求解本题的关键是将原式化简，指定主元，多次利用对勾函数的性质进行求解.2026年高考数学（基本不等式）
训练时间40分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．7
2．已知，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在直角中，是直角，斜边为，两直角边为 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若、都有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
二、多选题
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，x，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．
三、填空题
13．已知，函数有最小值，则 ．
14．已知，，且满足，则的最小值为 ．
15．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .
16．已知，，，则的最小值为 ．

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