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2026年高考数学（不等式性质与一元二次不等式）
训练时间40分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
3．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足，当取到最小值时，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．当时，函数的最大值为
C．关于的不等式的解为或
D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
11．已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为
13．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ．
14．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．2026年高考数学（不等式性质与一元二次不等式）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，解得.
即实数的取值范围是.
故选：A.
2．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围.
【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，
整理得，令，
则，解得或.
故选：A
3．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【详解】不等式化为，即，
当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；
当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，
不等式的解为，由题意，，解得；
当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是.
故选：C
4．命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.
【详解】因命题为真，故在上恒成立，
故，解得，
故命题为真的一个充分不必要条件为的子集，
故选：B
5．已知实数满足，当取到最小值时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，结合二次函数的性质可知，进而得解.
【详解】因为，
所以，
当，取到最小值，此时可得．
故选：D
6．已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
【详解】，
①当时，，对称轴为，
在上单调递增，
所以，则，
所以.
②当时，，对称轴为，
在上递增，在上递减，
所以，则，
所以.
③当时，
若，，；
若，， .
当时，，
，；
当时，，
，.
综上所述：的最小值为.
故选：C.
7．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用三角换元转化目标式为，即可得结果.
【详解】因为，且，
所以设．
则，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
综上，的最小值为
故选：C
二、多选题
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.
【详解】对于A项，，因为，所以，所以，
所以，即：，故A项错误；
对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；
对于C项，，因为，所以，，，
所以，即：，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，所以，，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD
10．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．当时，函数的最大值为
C．关于的不等式的解为或
D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
【答案】ACD
【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出.
【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故，
对称轴为，故，
图象与轴交点在轴正半轴，故，
所以，故，A正确；
B选项，因为，故，
因为，所以，
当时，随着的增大而减小，
所以时，取得最大值，最大值为，B错误；
C选项，因为，所以，
，
故不等式变形为，
因为，，解得：或，故C正确；
D选项，，当时，取得最小值，最小值为，
，当时，取得最小值，最小值为，
所以，即，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
11．已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；
对于B，结合代换即可用基本不等式解决；
对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题；
对于D，结合代换即可用基本不等式解决.
【详解】对于A，
因为a，b均为正实数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，
，
当且仅当即时，等号成立，故B错误；
对于C，
，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，
，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为
【答案】
【分析】
根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可.
【详解】由不等式的解集为，则，
则，则，即为，
解得：.
故答案为：
13．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】令，分、、三种情况，结合一元二次方程的解法分别求解即可．
【详解】由题意可得，①
令，
若，则以及，则，即；
由①式消去c，得，
即，即或；
所以，解得，
时“”成立，故；
若，则以及，则，即；
由①式消去c，得，
即，②
当时，②式成立；
当时，由②式得或，
所以，解得，故，
时“”成立，所以，
若，则以及，则，即，
由①式消去a，整理得，
即，即或，
所以，解得，
时“”成立，故．
综上所述，，取“”成立时，或，
故．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
14．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【详解】由函数，作出的图象如下：
由题得：，
当时，函数在上的最大值为，即，
要使，则，令，解得：，，，，
由图可得，要使函数在上的最大值为，且，
则，或，解得：.
当时，
由图，在上最大值，
在上单调递增，最大值，
不可能成立，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：.

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