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高一数学必修一人教版第三章章末检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．和
4．已知函数，对所有的正实数x都成立，且，则满足的正实数x的最小值为（ ）
A．2001 B．186 C．429 D．543
5．函数被称为狄利克雷函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
6．已知函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．无穷大
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
二、多选题
9．下列各对函数是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．定义一种运算：，设，则下面结论中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象与直线有三个公共点
C．函数的单调递减区间是和
D．函数的最小值是2
11．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为（ ）
A． B．1
C．2 D．3
三、填空题
12．函数的定义域为 .
13．已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 .
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．
①；
②对于任意两个不同的正数，都有恒成立；
③对于任意两个不同的实数，都有．
四、解答题
15．某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
16．已知函数.
(1)求；
(2)画出的图象；
(3)若，求的值.
17．已知函数，.
(1)当时，求函数的值域；
(2)记函数的最大值，求的解析式．
18．已知幂函数的图象过点.
(1)求此函数的解析式；
(2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性.
19．近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
(2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
1．A
【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案.
【详解】令，则，
则，解得，即定义域为.
故选：A.
2．D
【分析】构造函数，由其在上单调递减，分类讨论即可求出.
【详解】时，都有恒成立.
不妨设，则.
设函数，则且，即，
则函数在上单调递减.
（1）当时，在上单调递减，符合题意.
（2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去.
（3）当时，若使函数在上单调递减，只需，.
综上所述，.
故选：D
3．D
【分析】利用f（x）与y的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）的图像是由y的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y的单调性相同，
而函数y的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．
4．C
【分析】由得，计算出，故，画出的图象，并求出时，，从而得到方程，解得或，所以正实数x的最小值为429
【详解】由得，
，故，
其中，又，
可画出的图象，如下：

当时，的最大值为，
当时，的最大值为，
故与前面区间上的图象无交点，
且时，，
令，解得或，
所以正实数x的最小值为429
故选：C
5．C
【分析】利用定义结合分段函数性质计算即可.
【详解】由题意可知.
故选：C
6．B
【详解】试题分析：对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，即有
即有，即为，由题意可得，且，
解得-1≤t≤0，由，可得最大值为1+1+1=3，即有m≤3，可得m的最大值为3
考点：二次函数的性质
7．C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为偶函数，排除A，B；
易知当时，单调递增，且增加幅度较为缓和，所以D错误.
故选：C
8．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
9．BD
【分析】运用同一函数的定义依次判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，错误；
对于B，函数的定义域为，的定义域为，且函数解析式相同，所以表示的是同一函数，正确；
对于C，由可知定义域为，函数定义域为，
两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，错误；
对于D，函数解析式与表示字母无关，所以，表示的是同一个函数，正确；
故选：BD
10．ACD
【分析】根据运算的定义，作出的图象，数形结合，对每个选项逐一分析即可.
【详解】由题意，，
作出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数的图象关于直线对称，故A正确；
函数的图象与直线有四个公共点，故B错误；
函数的单调递减的区间是和，故C正确；
函数的最小值是2，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是化简得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想.
11．BD
【分析】根据常见幂函数奇偶性逐一判断选择.
【详解】当α＝时，幂函数y＝的定义域为[0，＋∞)，A不符合题意；
当α＝1时，幂函数y＝x的定义域为R且为奇函数，B符合题意；
当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；
当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．
故选：B、D．
【点睛】本题考查常见幂函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.
12．
【分析】令，解出不等式可得函数的定义域．
【详解】令，即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．
13．
【分析】通过赋值，可得到函数是关于对称，利用对称性即可求解.
【详解】令，可得到，
令，可得到，所以，
所以该函数是关于对称，
假设当在处取得最大值，那么会在处取得最小值，
根据函数是关于对称，
所以．
故答案为：.
14．（答案不唯一）
【分析】取，再逐一验证即可.
【详解】当时，
对于①，，故满足①；
对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立，
得函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，故满足②；
对于③，任取，
则，
因为，所以，
即，
所以，故满足③.
故答案为：（答案不唯一）.
15．边长为的正方形时
【解析】设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解.
【详解】解：设广告牌的长为，则宽为.
设广告牌的面积为.则.
当时，y取最大值.此时宽为.
∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题.
16．(1)，
(2)图见解析
(3)，
【分析】（1）按变量所在区间代入解析式即可；
（2）分段画图即可；
（3）从各段上分别找满足方程的值即可.
【详解】（1）由于，所以；
由于，所以，
由于，所以.
（2）函数图象如图所示：

（3）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）.
所以的值为，.
17．(1).
(2)
【分析】（1）利用换元法和二次函数单调性求值域即可；
（2）分和两种情况求最值即可.
【详解】（1）令，则，，，
则原函数转换为，
当时，，，
函数在区间上的单调递增，对应的函数值的取值范围是；
函数在区间上的单调递减，对应函数值的取值范围是；
所以函数的值域是，所以函数的值域是.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，，
所以.
18．(1)；
(2)在上的单调递减.
【分析】（1）设，将所过点坐标代入求参数，即得解析式；
（2）任取，判断的符号即可得单调性.
【详解】（1）设（是常数），过，故，可得，
所以.
（2）在上的单调递减，判断如下：
任取，则，
而，，故，即，
所以在上的单调递减.
19．(1)
(2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式；
（2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以
（2）若，即，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.

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