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四川省南充市阆中东风中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 1,2,3,4,5 ，集合 = 1,2 , = 3,4 ，则 ( ∪ ) =( )
A. 5 B. 1,2 C. 3,4 D. 1,2,3,4
2.下列命题正确的是( )
A. 0 ∈ ， 20 + 2 0 + 3 = 0 B. > 1 是 2 > 1 的充分不必要条件
C. ∈ ， 3 > 2 D.若 > ，则 2 > 2
3 1 1.已知函数 ( ) = 3 26 2 ( > 0, > 0)的一个极值点为 1，则 的最大值为( )
A. 1 B. 12 C.
1
4 D.
1
16

4 1.若 + 2 的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中
2的系数是( )
A. 32 B. 64 C. 80 D. 16
5.设{ }是等比数列，且 1 + 2 + 3 = 1， 2 + 3 + 4 = 2，则 6 + 7 + 8 =( )
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
6.若将函数 = sin(2 4 )

的图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移6个单位，
则所得函数 ( )图象的一个对称中心为( )
A. ( 5 12 , 0) B. ( 4 , 0) C. (

6 , 0) D. (

12 , 0)
2 27.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，点 在 的左支上，过点 作 的一条
渐近线的垂线，垂足为 ，则当 2 + | |取最小值 16 时， 1 2面积的最大值为( )
A. 16 B. 32 C. 36 D. 64
8.设函数 ( )的定义域为 ，导数为 ′( )，若当 ≥ 0 时， ′( ) > 2 1，且对于任意的实数 ， ( ) =
( ) + 2 ，则不等式 (2 + 1) < ( ) + 3 2 + 3 的解集为( )
A. ( ∞, 1) B. 13 , + ∞
C. 1, 13 D. ( ∞, 1) ∪
1
3 , + ∞
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
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A.若 4为第四象限角，sin + 3cos = 1，则 tan = 3
B.函数 ( ) = 2 + + 1的定义域是 ，则 的取值范围是(0,4]
sin 3π2 + +2cos π C. 3已知角 的终边在直线 3 = 0 上，则 =
sin π2 sin π 2
D.若奇函数 ( )的图象关于直线 = 1 对称且 (5) = 1，则 (2025) = 1．
10.已知数列 满足 1 + 2 2 + + 2 1 = 2 ，则( )
A. = + 1 B. ( +2) 的前 项和为 2
C. ( 1) 的前 100 项和为 100 D. 5 的前 30 项和为 357
11.不动点理论的研究兴起于 20 世纪初.设连续函数 ( )的定义域为 ，如果存在 0 ∈ ，使得 0 = 0，
那么我们称 0为该函数的一个不动点.在数学中被称为布劳威尔不动点定理，是拓扑学里一个非常重要的定
理.随着数学的不断发展，布劳威尔不动点定理得以推广，又新定义；若 0满足 0 = 0，则称 0为 ( )
的次不动点.下列结论正确的是( )
A. 1对于函数 ( ) = e 1，存在不动点，但不存在次不动点
B.对于函数 ( ) = 3 sin ，既存在不动点，也存在次不动点
C.函数 ( ) = ( 1)ln 1 的不动点和次不动点的个数都是 2 个
D.函数 ( ) = log 2 4 2 + 1 在[0,1]
3
上仅有一个不动点和一个次不动点，则 的取值范围是 1, 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在等差数列 中，已知 6 = 10， 12 = 30，则 18 = ．
13 4 5.已知 ， 为锐角，tan = 3，cos( + ) = 5 ，则 tan( ) = ．
14.若函数 ( ) = e 2 2 + 1 恒有 2 个零点，则 的取值范围 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 4sin sin + π2 1( ∈ )．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
(2) π求函数 ( )在区间 0, 2 上的值域．
16.(本小题 15 分)
已知四棱锥 ， // ， = = 1， = 3， = = 2， 是 上一点， ⊥ ．
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(1)若 是 中点，证明： //平面 ．
(2)若 ⊥平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选
出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.70，对快递的满意率为 0.60，商品
和快递都满意的交易次数为 80 次．
(1)根据已知条件完成下面的 2 × 2 列联表，根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，判断是否有充分的理由
认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”
对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 80
对商品不满意
合计 200
(2)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量
，求 的分布列和数学期望 ( )．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ，
0.050 0.010 0.001
2 3.841 6.635 10.828
18.(本小题 17 分)

2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆
过 (2,1)，直线 ： = + 与椭圆 交于 、 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 1、 2，求两直线斜率 1 + 2的值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2 ( > 0, ≠ 1)．
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(1)当 > 1 时，求证：函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
(2)若函数 = | ( ) | 1 有三个零点，求 的值；
(3)若存在 1， 2 ∈ [ 1,1]，使得| ( 1) ( 2)| ≥ 1，试求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.60
13. 211
14. 1e , + ∞
15.(1) ( ) = 4sin sin + π2 1 = 4sin cos 1 = 2sin2 1，
π π由 2 + 2 π ≤ 2 ≤ 2 + 2 π, ∈ 得
π π
4 + π ≤ ≤ 4 + π, ∈ ，
所以 ( ) π π的单调递增区间为 4 + π, 4 + π , ∈ ．
(2) π当 ∈ 0, 2 时，2 ∈ 0, π ，所以 0 ≤ sin2 ≤ 1，
所以 1 ≤ 2sin2 1 ≤ 1 π，即函数 ( )在区间 0, 2 上的值域为[ 1,1]．
16.(1)取 的中点为 ，接 , ，则 // , = 12 = 1，
而 // , = 2 ，故 // , = ，故四边形 为平行四边形，
故 // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
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因为 = 2，故 = 1，故 // , = ，
故四边形 为平行四边形，故 // ，所以 ⊥平面 ，
而 , 平面 ，故 ⊥ , ⊥ ，而 ⊥ ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2)，
则 = (0, 1, 2), = (1, 1, 2), = (1,0, 2), = (0,2, 2),
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则由 = 0
2 = 0
可得 ，取 = (0, 2,1)，
= 0 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则由 = 0 2 = 0可得 ，取 = (2,1,1)，
= 0 2 2 = 0
故，
30
故平面 与平面 夹角的余弦值为 30 ．
17.(1)网购者对商品的满意人数为 200 × 0.70 = 140，对快递的满意人数为 200 × 0.60 = 120，
列联表如下：
对快递满意对快递不满意合计
对商品满意 80 60 140
对商品不满意 40 20 60
合计 120 80 200
2 = 200×(80×20 40×60)
2
120×80×140×60 ≈ 1.587 < 6.635，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关
系”；
(2) 80 2每次购物时，对商品和快递都满意的概率为200 = 5，
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所以 3, 25 ，
3 1 2
故 ( = 0) = C0 3 27 1 2 3 543 5 = 125， ( = 1) = C3 5 5 = 125，
2 1 3
( = 2) = C2 2 3 = 36， ( = 3) = C3 2 83 5 5 125 3 5 = 125，
所以 的分布列如下：

0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
数学期望为 ( ) = 3 × 2 = 65 5．
2 + 2 = (2 )2 = 6
18.(1) 2 2由题意可知{ = + 2 ，解得{ = 3 ,
4 + 1 2 2 = 1 = 3

2 2
故椭圆 的标准方程为 6 + 3 = 1；
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ，
= +
联立 2 2 ，消去 得 3 2 + 4 + 2 2 6 = 0
6 + 3 = 1
，
= 16 2 4 × 3 × 2 2 6 = 8 9 2 > 0，解得 3 < < 3，
+ = 4 = 2
2 6
1 2 3 ， 1 2 3 ，
= 则 1 1、 2 11 2 2 = 2，1 2
1 1 2 1 1 1 2 2 + 2 1 1 2 1 + 2 = 1 2
+ =2 2 1 2 2 2
2 1 2 2 1 +2+ 1 2 1 2 2 +2= 1 2 2 2
2 1 + 2 2 = 1
+ +2+ 1 2 + 1 2 2 + +2
1 2 2 2
2
= 1
2 + ( 3) 1 + 2 4 +4
1 2 2 2
2
2 × 2 63 + ( 3) ×
4
3 4 +4
= 1 2 2 2
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4 2 12 4 2 +12 12 +12
= 3 1 2 2 2
= 0，
故两直线斜率 1 + 2 = 0．
19.(1) ′( ) = ln + 2 ln = 2 + ( 1)ln
由于 > 1，故当 ∈ (0, + ∞)时，ln > 0, 1 > 0，所以 ′( ) > 0，
故函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
(2)当 > 0, ≠ 1 时，因为 ′(0) = 0，且 ′( )在 上单调递增，
故 ′( ) = 0 有唯一解 = 0．
所以 , ′( ), ( )的变化情况如下表所示：
( ∞, 0) (0, + ∞)
0
′( )
0 +
( )
递减 极小值 递增
又函数 = ( ) 1 有三个零点，所以方程 ( ) = ± 1 有三个根，
而 + 1 > 1，所以 1 = ( ( ))min = (0) = 1，解得 = 2．
(3)因为存在 1, 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) ( 2) ≥ 1，
所以当 ∈ [ 1,1]时， ( ( ))max ( ( ))min = ( ( ))max ( ( ))min ≥ 1．
由(2)知， ( )在[ 1,0]上递减，在[0,1]上递增，
所以当 ∈ [ 1,1]时，( ( ))min = (0) = 1, ( ( ))max = max ( 1), (1) ．
而 (1) ( 1) = ( + 1 ln ) ( 1 + 1 + ln ) =
1
2ln ，
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记 ( ) = 1 2ln ( > 0)
1 2 1
，因为 ′( ) = 1 + 2 = (
2
1) 0(当 = 1 时取等号)，
1
所以 ( ) = 2ln 在 ∈ (0, + ∞)上单调递增．
而 (1) = 0，故当 > 1 时， ( ) > 0；当 0 < < 1 时， ( ) < 0.即当 > 1 时， (1) > ( 1)；
当 0 < < 1 时， (1) < ( 1)．
①当 > 1 时，由 (1) (0) ≥ 1 ln ≥ 1 ≥ ；
0 < < 1 1②当 时，由 ( 1) (0) ≥ 1 + ln ≥ 1 0 < ≤
1
．
1
综上可知，所求 的取值范围为 ∈ 0, ∪ [ , + ∞)．
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