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吉林省白山市第一中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 π.命题 ∈ 0, 2 , sin + cos < 1 的否定为( )
A. 0, π2 , sin + cos < 1 B. 0,
π
2 , sin + cos ≥ 1
C. ∈ 0, π2 , sin + cos < 1 D. ∈ 0,
π
2 , sin + cos ≥ 1
2.已知集合 = x 2 3 < 0 , = 0,1,2,4 ,则 ∩ =( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 0,4 D. 1,2,4
3.函数 = 2 2 的值域为( )
A. ∞, 2 B. 0, 2 C. 0, 2 D. 1, 2
4.已知 ( ) = log1 2 + 3 在区间[2, + ∞)上单调递减，则实数 的取值范围是
2
A. ( 4,4) B. [ 4,4) C. ( 4,4] D. [ 4,4]
5.已知函数 ( ) = ln 1 + 2 11+ 2，则不等式 ( 1) > (2 3)的解集为( )
A. 4 4 43 , + ∞ B. 3 , 2 C. ( ∞,2) D. 0, 3
2
6.函数 ( ) = 1 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数 ( ) = e 2， ( ) = ln + 13 3，若 ( ) = ( )( , ∈ )成立，则 的最小值为( )
A. ln3 1 13 B. ln3 + 3 C. 1 + ln3 D. 1 ln3
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8 ( ) ′( ) 3+ 3.已知函数 及其导函数 定义域均为 ，满足 2 2 = 2 ，记 ( ) =
′( )，其导函
数为 ′( )且 ′(3 )的图象关于原点对称，则 ′(9) + 92 =( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.函数 ( ) = 2 +23 , ( ) = ln 1 + 9
2 3 ，则下列说法正确的是( )
A. ( ) + ( )是偶函数 B. ( ) ( )是奇函数
C. ( ) ( )是奇函数 D. ( ) 是奇函数
10.已知函数 ( ) = 2 2 e ，其导函数为 ′( )，则下列说法正确的是( )
A. (1) = ′(1)
B. ( )在区间( 2,2)上单调递减
C. ( )无最大值，有最小值
D.若函数 = ( ) ( ∈ )有两个零点，则 = 2+ 2 2 e 2或 2 2 2 e 2 < ≤ 0
11.已知函数 ( )的定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，且满足 ( ) = ( ) + ( ) 1，则下列说法正确的有( )
A. (1) = 1
B.函数 = ( ) 是奇函数
C. ( + 1) = ( 1) + 2
D.若当 > 1 时， ( ) > 1，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知2 = 3，log 84 3 = ，则 + 2 的值为 ．
13.已知函数 = log ( 2) 1 的图象过定点( , )，正实数 ,
1 3
，满足 = 1，则 + 的最小值
为 ．
14.已知函数 ( )的导函数 ′( )满足 ′( ) < ( )在 上恒成立，则不等式e3 ( 2) e3 (1 2 ) > 0
的解集是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 : ( + 4)( 1) ≤ 0， : 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0．
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(1)若 = 1， ， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
( ) = 2 2 ln 1已知函数 22 + 2 在(0, + ∞)上单调递增．
(1)求 的值；
(2)设 ( ) = ( ) ，证明： ( )存在最小值且最小值小于 1．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 2 3 是 上的奇函数，函数 ( ) = ( ) 2 + 2 ( ) + 2．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ( )在[1, + ∞)上的最小值为 11，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ln + 2 1( ∈ )．
(1)若 = 52，求函数 ( )的图象在 1, (1) 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≥ 0 在区间[1, + ∞)上恒成立，求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
定义 = [ ]是取整函数，也称高斯函数，其中[ ]表示不超过 的最大整数．
(1) 1 1写出函数 = ， ∈ 2 , + ∞ 的值域；
(2)已知函数 ( ) = e 2 + [ ] ∈ R ，e = 2.71828 是自然对数的底数．
①若 ( ) > e 1，求 的取值范围；
②若 ( )在[0,3) 7 2 1+ 3上恰有 4 个零点，经计算e2 < 3 < 1，求实数 的取值范围．e
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.12
14.( ∞,1)
15.【详解】(1)由( + 4)( 1) ≤ 0，得 4 ≤ ≤ 1；
当 = 1 时，由 2 3 + 2 ≤ 0，得 1 ≤ ≤ 2．
若 ， 有且只有一个为真命题，则 真 假，或 假 真，
4 ≤ ≤ 1 4 ≤ ≤ 1当 真 假时， < 1或 > 2，得 4 ≤ < 1；
< 4 > 1当 假 真时， 1 ≤ ≤ 2或 1 ≤ ≤ 2，解得 1 < ≤ 2，
综上，实数 的取值范围为{ ∣ 4 ≤ < 1 或 1 < ≤ 2}．
(2)由 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0，得 ≤ ≤ + 1．
≥ 4
因为 是 的充分不必要条件，则 + 1 ≤ 1，且等号不同时成立，解得 4 ≤ ≤ 0，
所以实数 的取值范围为 ∣ 4 ≤ ≤ 0 ．
16.【详解】(1) ′( ) = (2 2 )ln + 2 + 2 = (2 2 )ln ，
因为 ( )在(0, + ∞)上单调递增，故 ′( ) ≥ 0，
而 0 < < 1 时，ln < 0，故 2 2 ≤ 0 即 ≥ 1；
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而 > 1 时，ln > 0，故 2 2 ≥ 0 即 ≤ 1，
故 = 1．
2 2 ln 1 2+2
(2) ( ) = 2 = ( 2)ln 1 2 + 2，
故 ′( ) = 2 + ln
1
2 =
1
2
2
+ ln ，
设 ( ) = 1 22 + ln
2 1
，则 ′( ) = 2 + > 0，
故 ( )即 ′( )在(0, + ∞)上单调递增．
而 ′(2) = ln2 1 = 12 2 ln4 1 > 0，
′(1) = 32 < 0，
故 ( )在(1,2)存在一个零点 0且：
当 0 < < 0时， ′( ) < 0；当 > 0时， ′( ) > 0，
故 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
故 ( )min = 0 = 0 2 ln 0
1
2 0 + 2，
1
而2
2
+ ln 0 = 0，故 ln 0 =
2 1
0
，
0 2
( ) 2 1 1 4故 min = 0 = 0 2 0 + 2 = 5 0 + ，0 2 2 0
4 4
而 1 < 0 < 2，双勾函数 = 0 + 在(1,2)为减函数，故 4 < 0 + < 5，0 0
故 ( )min = 0 < 1．
17.【详解】(1)因为 ( )是 上的奇函数，所以 ( ) = ( )，
即3 2 3 = 3 + 2 3 ，整理得(2 1) 3 + 3 = 0，
所以 2 1 = 0， = 12，
所以 ( ) = 3 3 1，检验可知符合题意，所以 = 2．
(2)由(1)知， ( ) = 3 3 ，所以 ( ) = 3 3 2 + 2 3 3 + 2．
令 = 3 3 ( ≥ 1)，
因为函数 = 3 和 = 3 在上区间[1, + ∞)都单调递增，
所以函数 = 3 3 在区间[1, + ∞) 8上单调递增，所以 ≥ 3，
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则 ( ) = 2 + 2 + 2 ≥ 83 ( ( )的最小值 11 就是 ( )的最小值)，抛物线开口向上，对称轴为直线 =
，
当 < 83，即 >
8
3时， ( )min =
8 = 643 9 +
16
3 + 2 = 11
17
，解得 = 48．
当 ≥ 8 83，即 ≤ 3时， ( )min = ( ) =
2 2 2 + 2 = 11，
解得 2 = 9，无解．
17
综上所述，实数 的值为48．
18.【详解】(1) 5当 = 2时， ( ) = 5ln +
2 1 ′( ) = 5， + 2 ．
所以 (1) = 0， ′(1) = 3，
所以函数 ( )在 1, (1) 处的切线方程为 = 3( 1)，即 3 + 3 = 0．
2
(2)由 ( ) = 2 ln + 2 1 ′( ) = 2 + 2 =
2 +
( > 0)，
若 ≥ 0，则 ′( ) > 0 恒成立，即 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
< 0 ′( ) = 2 + 若 ，则 ( > 0)，
所以 > 时， ′( ) > 0，0 < < 时， ′( ) < 0，
即 ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
(3)由(2)可知，若 ≥ 0， ( )在[1, + ∞)上单调递增，
此时 ( ) ≥ (1) = 0，符合题意；
当 < 0 时，
( )若 ≤ 1，即 ∈ [ 1,0)时，此时仍有 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，符合题意；
( )若 > 1，即 ∈ ( ∞, 1)时，此时有 ( )在 1, 上单调递减，
所以 < (1) = 0，不符合题意，
综上 ∈ [ 1, + ∞)满足题意，故 的最小值为 1．
19. 1【详解】(1) > 1 时，0 < < 1， =
1
= 0；
1
2 < ≤ 1 1 ≤
1
时， < 2
1
， = = 1；
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= 1 12时， = = [2] = 2，所以函数的值域为 0,1,2 ；
(2)①法一：由 ( ) > e 1 得 2 + [ ] > 1，[ ] > 2 1，
由定义知[ ] ≤ ，所以 > 2 1 1 5，解得 2 < <
1+ 5
2 ，
1 5
当 2 < < 0 时，[ ] = 1，[ ] >
2 1 无解，
当 0 ≤ < 1 时，[ ] = 0，[ ] > 2 1 即 2 < 1，解得 0 ≤ < 1，
1 ≤ < 1+ 5当 2 22 时，[ ] = 1，[ ] > 1 化为 < 2，解得 1 ≤ < 2．
综上， 的取值范围是 0, 2 ．
法二：函数 ( )是分段函数，
当 ∈ [ , + 1)( 是整数)时， ( ) = e 2 + ，
( ) > e 1 化为 2 + > 1，
令 ( ) = 2 + ，则 ( )在( ∞,0]上递增，在[0, + ∞)上递减，
所以当 ≤ 1 时， ( ) > 1 不成立，
当 ≥ 0 时， ( )在[ , + 1)上递减， ( )最大值为 2 + ，
若 ( ) > 1，则 2 + > 1 1+ 5，所以 0 ≤ < 2 ，因为 是整数，所以 = 0,1，
当 = 0 时， ∈ [0,1), ( ) = 2 > 1 成立，
当 = 1 时， ∈ [1,2), ( ) = 2 + 1 > 1, 2 < 2,1 ≤ < 2,
所以 的取值范围是 0, 2 ．
2
② ∈ [ , + 1)( 是整数)，由 ( ) = 0 得 = e ；
2 ∈ [0,1)时， = e ，
2 2
设函数 ( ) = e ，
′( ) = 2 e ≥ 0 对 0 ≤ < 1 成立，
函数 ( )在[0,1)为增函数，
= 0 时， (0) = 0， = 1 1时， (1) = e；
2
∈ [1,2) 1时， = e ，
2 2
设函数 ( ) = 1 ′ 2 +1e ， ( ) = e > 0 对 1 ≤ < 2 成立，
函数 ( )在[1,2)为增函数，
= 1 时， (1) = 0， = 2 时， (2) = 3e2；
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2
∈ [2,3)时， = 2e ，
2 2 2
令函数 ( ) = e ，
′( ) = 2 +2e ，
对 2 ≤ ≤ 1 + 3， ′( ) ≥ 0，函数 ( )在 2,1 + 3 为增函数，
对 1 + 3 ≤ < 3， ′( ) ≤ 0，函数 ( )在 1 + 3, 3 为减函数，
= 2 时， (2) = 2e2， = 1 + 3时， 1 + 3 =
2 1+ 3
，
e1+ 3
= 3 时， (3) = 7e3；
2 2e 7 e2 1 e 3
因为e2 = e3 < e3 < e3 = e = e2 < e2，
7
由e2 <
2 1+ 3
3 < 1
7 2 1+ 3 1
知
e e3
<
e1+ 3
< e，
所以 ( )的 4 个零点，在区间[0,1), [1,2)上各有 1 个，在区间[2,3)上有 2 个，
2
利用 = = ， e ， = 0，1,2, ∈ [0,3)
7 2 1+ 3
图象可知e3 < < ，e1+ 3
7 2 1+ 3即 的取值范围是 e3 , e1+ 3 ．
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