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广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级第一次月考数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“ x∈Q，︱x︱+ x≥0”的否定是（　　）
A． x∈Q，︱x︱+ x＜0 B． x∈（RQ），︱x︱+ x＜0
C． x∈Q，︱x︱+ x＜0 D． x∈Q，︱x︱+ x≥0
3．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知集合A = { x︱－1≤x＜2 }，B = { x︱x＜a }，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＞－1 B．－1＜a≤2 C．a＞－2 D．a≥2
5．集合，，的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若x＞0，则有（　　）
A．最小值7 B．最小值3 C．最大值7 D．最大值3
7．已知x，y∈R，则“x + y≤1”是“x≤且y≤”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知非空集合M满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的M的个数是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A．a＞b的一个必要条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．“”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
11. 已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为2 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．用列举法表示集合A={x∈N*|x＜3}为 .
13．命题“x∈R，方程x2+ax+1=0有解”为假命题，则实数a的取值范围为________.
14．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪、直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的有 .
①，是一个戴德金分割 ②M没有最大元素，N有一个最小元素
③M有一个最大元素，N有一个最小元素 ④M没有最大元素，N也没有最小元素
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知集合A = { x∣0＜x＜a }，B = { x∣0＜x＜3 }，记全集U = R．
（1）当a = 4时，求A∩(UB)；
（2）若BA，求实数a的取值范围.
（15分）
（1）已知1≤x≤2，2≤y≤4，求2x-y的取值范围；
（2）若正数x,y满足9x+y=xy，求2x+3y的最小值.
17．（15分）
已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}
（1）是否存在m的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围；
（3）若A∩B= ，求m的取值范围.
18．（17分）
目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E = kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
（1）请写出逆流行进时间t的表达式（用v表示）；
（2）若E(v)表示E关于v的函数，请写出E (v)；
（3）当v为多少时传感器消耗的能量E (v) 最小？并求出E (v) 的最小值.
19．（17分）
已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合A具有性质Mk.
（1）集合具有性质，求的最小值；
（2）若A具有性质，即，且，求证：；
（3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.
广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级第一次月考数学参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．B
4.A 因为A = { x︱－1≤x＜2 }，B = { x︱x＜a }，将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示，结合A∩B≠可得a＞－1，故选A．
5.C. 任取，则，，
所以，所以，任取，则，，
所以，所以，所以，任取，则，，
所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.
6.A 因为x＞0，所以=≥，当且仅当3x =即x = 1时取等号，选A．
7.B 若x≤且y≤，则x + y≤1成立，即必要性成立，当x = 1，y = 0时，满足x + y≤1，但x≤且y≤不成立，即充分性不成立，则“x + y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．
8.D 当中有元素时，，当中有元素时，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合有，共11个.
9.BCD 对于A项，取，，，，
则，，所以，故A项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C正确；
对于D选项，若且，则，所以，，D正确．故选BCD．
10．CD 对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，故集合N的个数为个，故D正确.故选：CD.
11．ABC ，当且仅当时取“=”，故A正确；
，当且仅当时取“=”，故B正确；
由，当且仅当时取“=”，故C正确；
，
当且仅当时取“=”，故D错误；故选：ABC
12.A={0,1,2}
14.②④ 对于①，因为，，
，故①错误；
对于②，若，，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故②正确；
对于③，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，
设为b，则，则，，
而内也有有理数，则，故③错误；
对于④，若，，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故④正确．故选②④．
15.（本题满分13分）已知集合A = { x∣0＜x＜a }，B = { x∣0＜x＜3 }，记全集U = R．
（1）当a = 4时，求A∩(UB)；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
解：（1）由已知，(UB) = { x∣x≤0或x≥3 }． …………………………………… 3分
当a = 4时，A = { x∣0＜x＜4 }，所以A∩(UB) = { x∣3≤x＜4 } ………………… 6分
（2）当A = 时，a≤0，符合题意； ………………… 8分
当A≠ 时，a＞0，则a≤3，此时0＜a≤3． ……………… 12分
综上，实数a的取值范围为a≤3 ……………………………………………………… 13分
16．（本题满分15分）（1）已知1≤x≤2，2≤y≤4，求2x-y的取值范围.
（2）若正数x,y满足9x+y=xy，求2x+3y的最小值.
解：（1）（1）由1≤x≤2，2≤y≤4可得2≤2x≤4，-4≤-y≤-2，故-2≤2x-y≤2…………………6分（可根据情况划分细分）
（2）由9x+y=xy可得，………………………………………………………… 8分
则2x+3y=()(2x+3y)=29++≥29+2=29+6. …………… 13分
当且仅当=，即，又9x+y=xy，即x=,y=9+时取等号。
……………………………………………………………………………………………… 15分
17.（本题满分15分）已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}
（1）是否存在m的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2）若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围.
（3）若A∩B= ，求m的取值范围.
解：（1）若存在m的值满足是的充要条件，则，
得，解得，无解，
故不存在这样的m符合题意； ……………………………… 4分
（2）若是的充分条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，. ……………………………… 9分
（3）若，
当时，，解得；
当即即时，
或，所以，
综上，或. ………………………………15分
18.（本题满分17分） 目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E = kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
（1）请写出逆流行进时间t的表达式（用v表示）；
（2）若E(v)表示E关于v的函数，请写出E (v)；
（2）当v为多少时传感器消耗的能量E (v) 最小？并求出E (v) 的最小值.
解：（1）由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间（v＞3），…… 4分
（2）所消耗的能量（v＞3）．……………………………………………… 8分
（3）有≥10k（6 + 6）= 120k，………………………………………………………………………………………… 13分
当且仅当，即v = 6 km∕h时等号成立，……………………………………… 15分
此时取得最小值120k．…………………………………………………… 17分
19.（本题满分17分）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)集合具有性质，求的最小值；
(2)已知具有性质，求证：；
(3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
解：（1）由性质定义知：，且，
所以的最小值为6.………………………………………………………………………… 5分
（2）由题知，且，
所以，……………………………………9分
所以，得证.………………………………10分
（3）由（2）知：，………………………………………11分
同（2）证明得且，故，…………………………13分
又，所以在上恒成立，………………………14分
当，取，则，故，……………………………………………15分
当，则，即.…………………………16分
综上，集合中元素个数的最大值为7.…………………………………………………17分

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