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【2025.10.9】初四上数学月考试卷-临淄雪宫中学
一．选择题（共10小题）
1．下列函数y是x的反比例函数的是（　　）
A．yx B．y C．y D．y
2．对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．tanB
4．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）
A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．函数y＝kx+b与函数y在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（　　）
A．B． C． D．
7．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3的图象在同一平面直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
8．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　）
A．4 B．3 C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
A． B． C． D．12
10．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．2
二．填空题（共5小题）
11．已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝　 　 ．
12．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是　 　 ．
13．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　 　 ．
14．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是　 　 ．
15．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BCm，则电线杆AB的长为　 　 m．
三．解答题（共9小题）
16．计算：
（1）； （2）．
17．已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1．
（1）求y关于x的函数关系式． （2）求x时，y的值．
18．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B＝60°，a＝4，解这个直角三角形．
（2）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC，求AB的长．
19．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
20．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．
21．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的函数关系式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
22．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
23．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【2025.10.9】初四上数学月考试卷-临淄雪宫中学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D C B D B B A
一．选择题（共10小题）
1．下列函数y是x的反比例函数的是（　　）
A．yx B．y C．y D．y
【解答】解：A．由yx得y是x的正比例函数，那么A不符合题意．
B．由y（a≠0）得y是x的反比例函数，那么B不符合题意．
C．由y得y是x2的反比例函数，那么C不符合题意．
D．由y得y是x的反比例函数，那么D符合题意．
故选：D．
2．对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．点（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意；
B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．tanB
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
A、sinA，故本选项正确；
B、cosA，故本选项错误．
C、tanA，故本选项错误；
D、tanB，故本选项错误；
故选：A．
4．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）
A．11米 B．（36﹣15）米
C．15米 D．（36﹣10）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB，
∵AD⊥BC，
∴sinB，
sinB＝sin∠DAC，
综上，只有C不正确
故选：C．
6．函数y＝kx+b与函数y在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当kb＞0时，函数y的图象过一三象限，当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象过一二三象限，当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象过二三四象限，故排除CD，
当kb＜0时，函数y的图象过二四象限，当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象过一三四象限，当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象过一二四象限，故排除A，
故选：B．
7．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3的图象在同一平面直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1
C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　）
A．4 B．3 C． D．
【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上，
∴k＝46，
∴反比例函数的解析式为y，
∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，），
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3，
∵点C在y上，
∴C点坐标为（3，2），
同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3，
∴求得E点坐标为（2，3），
FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6，
∴G点坐标为（1，6），
观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，
即EF＝6﹣3＝3．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）
A． B． C． D．12
【解答】解：过点M作MH⊥OB于H．
∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴（）2，
∵S△ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵DB⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴，
∴OHOB，
∴S△MOHS△OBM，
∵，
∴k，
故选：B．
10．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．2
【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y，∴C1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y得：a（4+a）＝4，
解得：a，即：y2，
同理：y3，
y4，
……
∴y1+y2+…+y10＝2，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝　3　 ．
【解答】解：由y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，得
|m|﹣4＝﹣1，且m+3≠0．
解得m＝3，
故答案为：3．
12．在△ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是　105°　 ．
【解答】解：∵|cosA|+（1﹣tanB）2＝0，
∴cosA0，
1﹣tanB＝0，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
13．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　24　 ．
【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
＝x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
＝x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
＝6×4
＝24．
故答案为：24．
14．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是　2　 ．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2（x＞0）的图象相交于点A（，2），
∴2k1，2，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y，
过点B作BD∥x轴交OA于点D，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD2×（22）2×2＝2，
故答案为2．
15．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BCm，则电线杆AB的长为　　 m．
【解答】解：如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F．
∵∠DCF＝45°，∠A＝60°，CD＝4m，
∴CF＝DFm，EF＝DFtan60°（m）．
∵，
∴（m）．
三．解答题（共9小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
17．已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）求x时，y的值．
【解答】解：（1）设，，
∵y，
∴y，
把x＝1，y＝3代入y得：3①，
把x＝﹣1y＝1代入y得：1②，
①，②联立，解得：2，1，
即y关于x的函数关系式为y＝2x2，
（2）把x代入y＝2x2，
解得y．
18．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B＝60°，a＝4，解这个直角三角形．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵a＝4，
∴c＝2×4＝8，
由知：，
∴∠A＝30°，，c＝8．
（2）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC，求AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝60°，∠C＝75°，
∴∠A＝45°，
在△ADC中，AC，
∵sinA，
∴AD＝sin45°×33＝CD，
在△BDC中，∠DCB＝30°，
∵ctgB
∴BD＝cot60°×3，
∴AB，
19．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，
∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，
设CG＝x m，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ，
∴EG，
∴DG＝DE+EG＝30，
在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα，
∴0.75，
解得x≈60.85，
经检验x是方程的解，
∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），
答：摩天轮CF的高度约为62.5米．
20．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，
在Rt△ABD中，
∵sinB，AD＝12，
∴，
∴AB＝15，
∴BD，
又∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝5；
（2）在Rt△ACD中，
∵E为斜边AC的中点，
∴ED＝ECAC，
∴∠C＝∠EDC，
∴tan∠EDC＝tanC．
21．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的函数关系式；
（2）连接OA、OC，求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵把A（﹣2，﹣5）代入代入y2，得：m＝10，
∴y2，
∵把C（5，n）代入得：n＝2，
∴C（5，2），
∵把A、C的坐标代入y1＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴y1＝x﹣3，
∴反比例函数的表达式是y2，一次函数的表达式是y1＝x﹣3；
（2）∵把y＝0代入y1＝x﹣3得：x＝3，
∴D（3，0），OD＝3，
∴S△AOC＝S△DOC+S△AOD
3×23×|﹣5|
＝10.5，
即△AOC的面积是10.5；
（3）根据图象和A、C的坐标得出，当﹣2＜x＜0或x＞5时，y1＝kx+b的值大于反比例函数y2的值．
22．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y，
将（8，100）的坐标代入y，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y；
（2）将y＝20代入y，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
23．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE＝x，
依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝105，
∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x，
∴EC＝ED+DC＝x+5，
在Rt△BCE中，EC，
∴，
解得：x＝15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15，
∴AE＝BE tan14°≈15×0.25＝3.75，
∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75，
23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．

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