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【2025.10.9】初三上数学月考试卷-临淄雪宫中学
一．选择题（共10小题）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
2．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
3．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠3且x≠﹣2 B．x≠3且x≠4 C．x≠3且x≠﹣3 D．x≠﹣2且x≠3且x≠4
5．甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇（　　）
A．（m+n）小时 B．小时 C．小时 D．小时
6．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
小芳的做法是：原式1．
对于这三名同学的做法，你的判断是（　　）
A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确
7．在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
8．将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（　　）
A．﹣2 B．﹣15m2 C．8m D．﹣8m
9．已知3，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，则的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣4＝　 　 ．
12．若分式的值为零，则x的值是　 　 ．
13．若m+2n＝1，则3m2+6mn+6n的值为 　 　 ．
14．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简（）”，其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为　 　 ．
15．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2，a3，…，an，则a1×a2×a3×…×a2020＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．将下列各式因式分解：
（1）x（x﹣3）﹣x+3； （2）x3y﹣0.01xy3； （3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）x2﹣7x+10； （5）-a3﹣10a2﹣25a； （6）（a-3）2+（3-a）．
17．利用分解因式简便运算：
（1）10012﹣9992 （2）3.282﹣1.28×6.56+1.282．
18．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）； （7）．
19．（1）先化简（x+3），再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
（2）已知，求实数A，B．
20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3； （2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
21．阅读理解
例题：已知实数x满足x4，求分式的值．
解：∵x4．
∴的倒数x3＝4+3＝7
∴
（1）已知实数a满足a5，求分式的值．
（2）已知实数b满足b9，求分式的值．
22．阅读材料：
已知0，求的值．
解：设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴．（第二步）
（1）回答下列问题：
第一步运用了 　 　 的基本性质；由得利用了 　 　 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
①已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
②已知，求
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）；
．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：　 　 ；
（3）应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？
【2025.10.9】初三上数学月考试卷-临淄雪宫中学
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D B C A B A B
一．选择题（共10小题）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【解答】解：A．右边为多项式，不是因式分解，不符合题意；
B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），是因式分解，正确，符合题意；
C．右边为多项式，不是因式分解，不符合题意；
D．x2+2x+1＝（x+1）2，因式分解错误，不符合题意；
故选：B．
2．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【解答】解：根据分式的定义可知：
①，③是分式，
故选：C．
3．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：（x﹣2）（x+b）＝x2+（﹣2+b）x﹣2b，
∵x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），
∴﹣a＝﹣2+b，﹣2b＝﹣1，
∴a，b，
∴a+b＝2，
故选：D．
4．使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠3且x≠﹣2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠﹣3 D．x≠﹣2且x≠3且x≠4
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，x﹣4≠0，x+2≠0，
解得：x≠3，x≠4，x≠﹣2，
故选：D．
5．甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇（　　）
A．（m+n）小时 B．小时 C．小时 D．小时
【解答】解：依题意得：1÷（）＝1（小时）．故选B．
6．学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
小芳的做法是：原式1．
对于这三名同学的做法，你的判断是（　　）
A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确
【解答】解：小明的作法是错误的，错误在于第二个等号后面的分子书写错误，忘记加括号了，分子部分正确书写是（x+3）（x﹣2）﹣（x﹣2）；
小亮的作法是错误的，错误在于第一个等号后面的部分，此处应该是通分，而小亮直接把分母漏掉了；
小芳的作法是正确的；
故选：C．
7．在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
【解答】解：m，
去分母得：m2+ ＝m（m+1），
解得： ＝m，
∴
＝m．
故选：A．
8．将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（　　）
A．﹣2 B．﹣15m2 C．8m D．﹣8m
【解答】解：A、16m2+1﹣2＝16m2﹣1＝（4m+1）（4m﹣1），不符合题意；
B、16m2+1﹣15m2＝m2+1，不能分解，符合题意；
C、16m2+1+8m＝（4m+1）2，不符合题意；
D、16m2+1﹣8m＝（4m﹣1）2，不符合题意．
故选：B．
9．已知3，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵3，
∴3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
则原式
，
故选：A．
10．已知，则的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
【解答】解：∵，
∴m2+n2＝4n﹣4m﹣8，
∴（m2+4m+4）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+2＝0，n﹣2＝0，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴
＝0．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣4＝　（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）　 ．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4
＝（a2﹣2ab+b2）﹣4
＝（a﹣b）2﹣22
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2），
故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．
12．若分式的值为零，则x的值是　﹣2　 ．
【解答】解：由题意可得|x|﹣2＝0且x2﹣5x+6≠0，
解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．若m+2n＝1，则3m2+6mn+6n的值为 　3　 ．
【解答】解：∵m+2n＝1，
∴3m2+6mn+6n
＝3m(m+2n)+6n
＝3m×1+6n
＝3m+6n
＝3(m+2n)
＝3×1
＝3,
故答案为：3．
14．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简（）”，其中“ ”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“ ”处的式子为　　 ．
【解答】解：根据题意得： ，
则“ ”处的式子为．
故答案为：．
15．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2，a3，…，an，则a1×a2×a3×…×a2020＝　 　 1　 ．
【解答】解：a1×a2×a3×…×a2020
＝[（﹣1）2]673×（﹣1）
＝（﹣1）673×（﹣1）
＝（﹣1）×（﹣1）
＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共8小题）
16．将下列各式因式分解：
（1）x（x﹣3）﹣x+3； （2）x3y﹣0.01xy3； （3）（a2+4）2﹣16a2；
（4）x2﹣7x+10； （5）-a3﹣10a2﹣25a； （6）（a-3）2+（3-a）．
【解答】解：（1）x（x﹣3）﹣x+3
＝（x﹣3）（x﹣1）
（2）x3y﹣0.01xy3
＝xy（x2﹣0.01y2）
＝xy（x﹣0.1y）（x+0.1y）
（3）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2．
x2﹣7x+10
＝（x-5）（x﹣2）
（5）-a3﹣10a2﹣25a
＝-a（a2+10a+25）
＝-a（a+5）2
（a-3）2+（3-a）
＝（a-3）（a-4）
17．利用分解因式简便运算：
（1）10012﹣9992
（2）3.282﹣1.28×6.56+1.282．
【解答】（1）10012﹣9992
＝（1001﹣999）（1001+999）
＝4000；
（2）3.282﹣1.28×6.56+1.282
＝（3.28﹣1.28）2
＝4．
18．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）； （7）．
【解答】解：（1）
=
=
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
（5）
=
=
（6）
=
=1
（7）
=
=
=2x+8
（1）先化简（x+3），再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
（2）已知，求实数A和B的值．
【解答】（1）解：（x+3）
＝（）

，
当x＝1时，原式．
（2）解：∵，
∴3x﹣4＝（A+B）x+（﹣2A﹣B），
比较两边分子的系数，，
∴A＝1，B＝2．
20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+（）29＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣18≥﹣18，
∴多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．
21．阅读理解
例题：已知实数x满足x4，求分式的值．
解：∵x4．
∴的倒数x3＝4+3＝7
∴
（1）已知实数a满足a5，求分式的值．
（2）已知实数b满足b9，求分式的值．
【解答】解：（1）∵a5，
∴的倒数3（a）+5＝20，
∴；
（2）b9，
∴b+110，
∴的倒数（b+1）+3＝13，
∴．
22．阅读材料：
已知0，求的值．
解：设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴．（第二步）
（1）回答下列问题：
第一步运用了 　 等式 　 的基本性质；由得利用了 　 分式 　 的基本性质．
（2）模仿材料解题：
①已知x：y：z＝2：3：4，求的值．
②已知，求
【解答】解：（1）第一步运用了等式的基本性质，
由得利用了分式的基本性质，
故答案为：等式，分式；
（2）①∵x：y：z＝2：3：4，
∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴
．
②
∵
∴设m＝5k，n＝3k
∴原式＝
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 　①③④　 （填序号）；
．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：　a﹣1　 ；
（3）应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？
【解答】解：（1）①1；
②；
③1；
④1；
∴上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）
＝a﹣1，
故答案为：a﹣1；
（3）

＝2，
当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，﹣3或1，
∵分式有意义时，x≠0，x≠﹣1，x≠1，x≠﹣2，
∴x＝﹣3，
∴x＝﹣3时，该式的值为整数．

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